主曲率

微分幾何学では、表面の特定の点における2 つの主曲率は、その点の形状演算子の固有値によって表される曲率の最大値と最小値です。それらは、その点における表面がさまざまな方向にさまざまな量でどのように曲がるかを測定します。

3 次元ユークリッド空間の微分可能曲面の各点pにおいて、単位法線ベクトルを選択できます。p における法平面は法線ベクトルを含む平面であり、したがって、面に対する唯一の接線方向も含み、法線断面 と呼ばれる平面曲線で面を切断します。この曲線は一般に、 pにおける異なる法平面に対して異なる曲率を持ちます。pにおける主曲率( k ₁およびk ₂で示される) は、この曲率の最大値と最小値です。

ここで、曲線の曲率は定義により接触円の半径の逆数です。曲線が面の選択された法線と同じ方向に曲がる場合は曲率が正、そうでない場合は負になります。法線平面内で曲率が最大値と最小値をとる方向は、k _{1 が}k ₂と等しくない場合は常に垂直であり、これはオイラー(1760)の結果であり、主方向と呼ばれます。現代的な観点からは、これらの方向は対称テンソル(第 2 の基本形式)の主軸であるため、この定理はスペクトル定理から得られます。主曲率と主方向の​​体系的な分析は、ガストン・ダルブーによってダルブー・フレームを使用して行われました。

2つの主曲率の積k ₁ k _2はガウス曲率Kであり、平均 ( k ₁  +  k ₂ )/2 は平均曲率Hです。

主曲率の少なくとも 1 つがあらゆる点でゼロである場合、ガウス曲率は0 になり、表面は可展面になります。極小曲面の場合、平均曲率はあらゆる点でゼロになります。

M をユークリッド空間の第二基本形式 を持つ曲面とする。点p ∈ Mと、pにおける接ベクトルの正規直交基底X ₁、X _{2 を}固定する。主曲率は対称行列の固有値である。 ${\displaystyle I\!I(X,Y)}$

${\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]={\begin{bmatrix}I\!I(X_{1},X_{1})&I\!I(X_{1},X_{2})\\I\!I(X_{2},X_{1})&I\!I(X_{2},X_{2})\end{bmatrix}}.}$

X ₁とX ₂を選択して行列が対角行列となるようにした場合、これらは主方向と呼ばれます。表面が方向付けられている場合、多くの場合、ペア ( X ₁、X ₂ ) は指定された方向に対して正の方向である必要があります。 ${\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]}$

特定の正規直交基底を参照しない場合、主曲率は形状演算子の固有値であり、主方向はその固有ベクトルです。

高次元ユークリッド空間の超曲面の場合、主曲率は直接類似した方法で定義できます。主曲率は、接空間の正規直交基底における第 2 基本形式の行列の固有値です。主方向は、対応する固有ベクトルです。 ${\displaystyle I\!I(X_{i},X_{j})}$

同様に、M がリーマン多様体 Nの超曲面である場合、主曲率はその第 2 基本形式の固有値です。k ₁、...、k _{n が}点p ∈ M における n 個の主曲率で、X 1、... 、_X nが_対応する正規直交固有ベクトル (主方向) である場合、pにおけるMの断面曲率は次のように表されます。

${\displaystyle K(X_{i},X_{j})=k_{i}k_{j}}$

すべての人のために。 ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle i\neq j}$

• 楕円点では、両方の主曲率は同じ符号を持ち、表面は局所的に凸状になります。
  • 臍点では、両方の主曲率が等しく、すべての接線ベクトルを主方向と見なすことができます。これらは通常、孤立した点で発生します。
• 双曲点では、主曲率は反対の符号を持ち、表面は局所的に鞍型になります。
• 放物点では、主曲率の 1 つがゼロになります。放物点は通常、楕円領域と双曲領域を分ける曲線上にあります。
  • 平坦な臍点では、両方の主曲率はゼロです。一般的な面には平坦な臍点は含まれません。モンキー サドルは、孤立した平坦な臍を持つ 1 つの面です。

曲率線または曲率線は、常に主方向に接する曲線です (主方向場の積分曲線です)。臍点以外の各点を通る曲率線は 2 本あり、それらの線は直角に交差します。

臍の付近では、曲率線は典型的には星、レモン、モンスター（レモン星に由来 ）の3つの配置のいずれかを形成します。^[2]これらの点は、Leçons（ 1896）の第4巻455ページで初めて体系的な研究を行ったガストン・ダルブーに敬意を 表して、ダルブーの臍（D ₁、D ₂、D ₃ ）とも呼ばれています。

• 臍の近くの曲率線の構成
• 
  レモン - D ₁
• 
  モンスター - D ₂
• 
  スター - D ₃

これらの図では、赤い曲線は主方向の 1 つのファミリーの曲率線であり、青い曲線は他のファミリーの曲率線です。

曲率線が同じ主曲率の極値を持つ場合、曲線には尾根点があります。これらの尾根点は、表面上で尾根と呼ばれる曲線を形成します。尾根曲線は臍線を通過します。星型パターンの場合、臍線を通過する尾根線は 3 本または 1 本ですが、モンスターとレモンの場合は 1 本のみが通過します。^[3]

主曲率方向と表面法線は、表面点における 3D 方向フレームを定義します。たとえば、円筒形の表面の場合、物理的に触れたり視覚的に観察したりすることで、特定の方向に沿って表面が平らである (円筒の軸に平行である) ことがわかり、したがって表面の方向に注目します。各表面点でのこのような方向フレームの意味は、対応する方向フレームの変化を考慮するだけで、時間の経過に伴う表面の回転を判断できることを意味します。これにより、コンピューター ビジョンにおける単一表面ポイントの動き推定およびセグメンテーションアルゴリズムが生まれました。^[4]

• 地球の半径#主要セクション
• オイラーの定理（微分幾何学）

• ダルブー、ガストン (1896) [1887]。表面の一般的な理論。ゴーティエ・ヴィラール。
• グッゲンハイマー、ハインリッヒ (1977)。「第 10 章 表面」。微分幾何学。ドーバー。ISBN 0-486-63433-7。
• 小林昭七・野水勝美 (1996) 『微分幾何学の基礎』第2巻（新版） Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5。
• スピヴァック、マイケル(1999)。微分幾何学の包括的入門 (第 3 巻)。Publish or Perish。ISBN 0-914098-72-1。
• ソトマイヨール、J. (1993)。 「O elipsóide de Monge」(PDF)。レビスタ マテマティカ ウニベルシタリア。15：33～47。
• ソトマイヨール、J. (2007)。 「モンジュの楕円形と曲線の直線」。材料マテマティックス。01：1～25。

• モンジュの楕円体と R3 に浸漬された表面上の曲率線の構成に関する歴史的コメント