ユール・サイモン分布

確率論と統計学において、ユール・サイモン分布は、ウドニー・ユールとハーバート・A・サイモンにちなんで名付けられた離散確率分布である。サイモンは当初、これをユール分布と呼んだ。^{[ 2 ]}

ユール・サイモン分布（ ρ ）の確率質量関数（pmf）は

${\displaystyle f(k;\rho )=\rho \operatorname {B} (k,\rho +1),}$

整数​${\displaystyle k\geq 1}$そして現実${\displaystyle \rho >0}$、 どこ${\displaystyle \operatorname {B} }$はベータ関数です。同様に、pmf は上昇階乗を用いて次のように表すことができます。

${\displaystyle f(k;\rho )={\frac {\rho \Gamma (\rho +1)}{(k+\rho )^{\underline {\rho +1}}},}$

どこ${\displaystyle \Gamma }$はガンマ関数です。したがって、${\displaystyle \rho }$は整数です。

${\displaystyle f(k;\rho )={\frac {\rho \,\rho$ !\,(k-1)!}{(k+\rho )!}}.}

パラメータ${\displaystyle \rho }$固定小数点アルゴリズムを使用して推定できます。^{[ 3 ]}

確率質量関数fは、 kが十分に大きい場合、次の性質を持つ。

${\displaystyle f(k;\rho )\estimate {\frac {\rho \Gamma (\rho +1)}{k^{\rho +1}}}\propto {\frac {1}{k^{\rho +1}}}.}$

これは、ユール・サイモン分布の裾野がジップの法則の実現であることを意味する。${\displaystyle f(k;\rho )}$例えば、相対頻度をモデル化するために使用できます。${\displaystyle k}$大規模なテキストコレクションの中で 番目に頻繁に出現する単語で、ジップの法則によれば、(通常は小さい) のべき乗に反比例する。${\displaystyle k}$。

ユール・サイモン分布は、もともとは、1925 年にウドニー・ユールが生物の上位分類群における属あたりの種数の増加を分析するために研究した特定のモデルの極限分布として現れた。^{[ 4 ]} ユールモデルは、2 つの関連するユール過程を利用しており、ユール過程は、1 つ以上の個体から始まる連続時間出生過程として定義される。ユールは、時間が無限大になると、一様にランダムに選択された属の種数の極限分布は特定の形を持ち、裾野でべき乗則の挙動を示すことを証明した。30 年後、ノーベル賞受賞者のハーバート A. サイモンは、テキストの大きな部分における新しい単語の出現を記述するために、時間離散優先アタッチメントモデルを提案した。単語数が発散するときの各単語の出現数の極限分布は、特定のパラメータの選択に対して、ユールモデルでランダムに選択された属に属する種の数の極限分布と一致する。この事実は、その極限分布に一般的に割り当てられるユール・サイモン分布という名称を説明する。ランダムグラフの文脈では、バラバシ・アルバートモデルも、特定のパラメータの選択に対応してユール・サイモン分布に等しい漸近次数分布を示し、より一般的なパラメータの選択に対しては依然としてべき乗則特性を示す。他の優先的アタッチメントランダムグラフモデルでも同様のことが起こる。^{[ 5 ]}

優先的付着プロセスは、壺プロセスとして研究することもできる。このプロセスでは、増え続ける数の壺にボールが追加され、各ボールは、その壺に既に含まれているボールの数に比例する確率で壺に割り当てられる。

この分布は複合分布としても現れ、その場合、幾何分布のパラメータは指数分布を持つ確率変数の関数として扱われます。 具体的には、${\displaystyle W}$スケールの指数分布に従う${\displaystyle 1/\rho }$または評価する${\displaystyle \rho }$:

${\displaystyle W\sim \operatorname {指数} (\rho ),}$

密度

${\displaystyle h(w;\rho )=\rho \exp(-\rho w).}$

すると、ユール・サイモン分布に従う変数Kは、 Wを条件として以下の幾何分布に従う。

${\displaystyle K\sim \operatorname {幾何級数} (\exp(-W)).}$

幾何分布の確率質量関数は

${\displaystyle g(k;p)=p(1-p)^{k-1}}$

のために$\displaystyle k\in \{1,2,\dotsc \}}$ユール・サイモン確率質量関数は、次の指数幾何複合分布となる。

${\displaystyle f(k;\rho )=\int _{0}^{\infty }g(k;\exp(-w))h(w;\rho )\,dw.}$

パラメータの最尤推定量${\displaystyle \rho }$観察結果を考慮すると${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{N}}$は不動点方程式の解である

${\displaystyle \rho ^{(t+1)}={\frac {N+a-1}{b+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{\rho ^{(t)}+j}}}},}$

どこ${\displaystyle b=0,a=1}$ガンマ分布の事前分布のレートと形状パラメータは${\displaystyle \rho }$。

このアルゴリズムは、ガルシア^{[ 3 ]}が尤度を直接最適化することによって導出したものである。ロバーツとロバーツ^{[ 6 ]}

上記の複合幾何定式化を用いて、アルゴリズムをベイズ設定に一般化する。さらに、RobertsとRoberts ^{[ 6 ]}は、期待値最大化（EM）フレームワークを用いて、固定点アルゴリズムの収束性を示すことができる。また、RobertsとRoberts ^{[ 6 ]}は、固定点アルゴリズムの収束率の劣線形性を導出している。さらに、EM定式化を用いて、固定点方程式から推定量の標準誤差の2つの異なる導出方法を示している。${\displaystyle \lambda }$推定器は

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\lambda }})={\frac {1}{{\frac {N}{{\hat {\lambda }}^{2}}}-\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{({\hat {\lambda }}+j)^{2}}}}},}$

標準誤差は、この推定値の量をNで割った値の平方根です。

元のユール分布の2パラメータ一般化では、ベータ関数が不完全ベータ関数に置き換えられます。一般化されたユール-サイモン( ρ , α )分布の確率質量関数は次のように定義されます。

${\displaystyle f(k;\rho ,\alpha )={\frac {\rho }{1-\alpha ^{\rho }}}\;\mathrm {B} _{1-\alpha }(k,\rho +1),\,}$

と${\displaystyle 0\leq \alpha <1}$。 のために${\displaystyle \alpha =0}$通常のユール・サイモン分布( ρ )は、特殊な場合として得られる。不完全ベータ関数を用いることで、上側裾に指数関数的なカットオフを導入する効果が得られる。

• ゼータ分布
• スケールフリーネットワーク
• ベータ負二項分布

• コリン・ローズ、マレー・D・スミス著『Mathematicaによる数理統計学』ニューヨーク：シュプリンガー、2002年、ISBN 0-387-95234-9（107ページを参照。そこでは「クリスマスの配布」と呼ばれている。）