非コンパクト性の尺度

関数解析では、非コンパクト性の 2 つの尺度が一般的に使用されます。これらは、コンパクトな集合はすべて尺度 0 を取得し、その他の集合はコンパクト性から「どれだけ」離れているかに応じて尺度が大きくなるように、集合に数値を関連付けます。

基本的な考え方は次のとおりです。境界のある集合は、ある半径の 1 つの球で覆うことができます。場合によっては、より小さな半径の複数の球で集合を覆うこともできます。コンパクトな集合は、完全に境界があるため、実際には任意の小さな半径の有限個の球で覆うことができます。そこで、「有限個の球で集合を覆うことができる最小の半径はどれくらいか」という疑問が生じます。

形式的には、距離空間 Mと部分集合Xから始める。非コンパクト性の球測度は次のように定義される。

α( X ) = inf { r > 0 : Xを覆う半径rの球が有限個存在する}

クラトフスキーの非コンパクト性尺度は次のように定義される。

β( X ) = inf { d > 0 : Xを覆う直径が最大でdの集合が有限個存在する}

半径rの球の直径は最大でも2rなので、α( X )≤β( X )≤2α( X )が成り立ちます。

2 つの尺度 α と β は多くの特性を共有しており、以降ではどちらか一方を表すために γ を使用します。ここに事実の集合を示します。

• γ( X )<∞の場合にのみ、Xは有界となる。
• γ( X ) = γ( X ^cl )、ここでX ^{cl は}Xの閉包を表す。
• Xがコンパクトであれば、γ( X ) = 0 です。逆に、γ( X ) = 0かつXが完全であれば、Xはコンパクトです。
• 任意の2つの部分集合XとYに対してγ( X∪Y ) = max(γ( X ),γ( Y ) ) 。
• γ は集合のハウスドルフ距離に関して連続である。

非コンパクト性の尺度は、M がノルムベクトル空間である場合に最も一般的に使用されます。この場合、さらに次の式が成り立ちます。

• γ( aX ) = | a | γ( X ) 任意のスカラー aに対して
• γ( X + Y ) ≤ γ( X ) + γ( Y )
• γ(conv( X )) = γ( X )、ここでconv( X )はXの凸包を表す。

これらの非コンパクト性の尺度はユークリッド空間 Rn^の部分集合には役に立たないことに注意してください。ハイン・ボレルの定理により、すべての有界閉集合はそこではコンパクトであり、Xが有界であるかどうかに応じてγ( X ) = 0または∞になります。

しかし、非コンパクト性の尺度は、例えば無限次元バナッハ空間の研究には有用である。この文脈では、半径rの任意の球B はα( B ) = rかつ β( B ) = 2 rであることを証明できる。

• クラトフスキーの交差定理

1. ユゼフ・バナシュ、カジミエシュ・ゲーベル:バナハ空間における非コンパクト性の測定、ポーランド科学アカデミー数学研究所、ワルシャワ 1979
2. カジミェシュ・クラトフスキ：トポロジー Vol I、PWN。ワルシャワ 1958
3. RR Akhmerov、MI Kamenskii、AS Potapova、AE Rodkina、BN Sadovskii、「非コンパクト性の尺度と凝縮演算子」、Birkhäuser、バーゼル 1992