部分的に順序付けられたグループ

抽象代数学において、半順序群とは、並進不変な半順序「≤」を備えた群( G , +) のことである。言い換えれば、「≤」は、Gのすべてのa、b、gに対して、a ≤ bならばa + g ≤ b + gおよびg + a ≤ g + bという性質を持つ。

Gの要素xは、 0 ≤ x を満たす場合に正であると呼ばれる。0 ≤ x を満たす要素の集合は、しばしばG ⁺と表記され、Gの正錐と呼ばれる。

並進不変性により、0 ≤ - a + bの場合に限りa ≤ bが成り立ちます。したがって、部分順序を単項性質に還元できます。つまり、 - a + b ∈ G ⁺の場合に限りa ≤ bが成り立ちます。

一般群Gにおいて、正錐の存在はG上の順序を規定する。群Gが半順序可能群であるのは、 Gの部分集合H ( G ⁺である)が存在し、以下の条件を満たす場合に限る。

• 0 ∈ H
• a ∈ Hかつb ∈ Hならばa + b ∈ H​
• a ∈ Hならば、 Gの各xに対して- x + a + x ∈ Hが成り立つ。
• a ∈ Hかつ- a ∈ Hならばa = 0

正錐G ⁺を持つ半順序群Gは、ある正の整数nに対してn · g ∈ G ^+ならばg ∈ G ⁺となる場合、非穿孔群であると言われる。非穿孔群であるということは、正錐G ⁺に「隙間」がないことを意味する。

群の順序が線形順序である場合、それは線形順序群と呼ばれます。群の順序が格子順序、つまり任意の2つの要素が最小上界を持つ場合、それは格子順序群（略してl群、通常はlの文字で表記される：ℓ群）と呼ばれます。

リース群は、格子順序群であることよりもわずかに弱い性質を持つ、穴のない半順序群です。すなわち、リース群はリース補間性質を満たします。つまり、 x ₁、x ₂、y ₁、y _{2 が}Gの要素であり、x _i ≤ y _jであるならば、 x _i ≤ z ≤ y _jとなるz ∈ Gが存在します。

GとHが2つの半順序群である場合、 GからHへの写像は、群準同型かつ単調関数であるならば、半順序群の射である。半順序群は、この射の概念とともに圏を形成する。

半順序群は、フィールドの評価の定義に使用されます。

• 通常の順序で並べられた整数
• 順序付きベクトル空間は半順序群である
• リース空間は格子順序群である
• 半順序群の典型的な例はZ ⁿであり、群演算は要素ごとの加算であり、すべてのi = 1 ,..., _nに対してa _i ≤ b _i (通常の整数の順序で) の場合に限り( a ₁ ,..., a n ) ≤ ( b _{1 ,...,} b _n )と書きます。
• より一般的に言えば、Gが半順序群であり、X がある集合である場合、 XからGへのすべての関数の集合もまた半順序群となります。つまり、すべての演算は要素ごとに実行されます。さらに、Gのすべての部分群は半順序群であり、 Gの順序を継承します。
• Aがほぼ有限次元のC*-環である場合、あるいはより一般的に、Aが安定的に有限な単位元を持つC*-環である場合、K ₀ ( A )は半順序アーベル群である。（エリオット、1976）

• 巡回順序グループ​​ – グループ演算によって巡回順序が尊重されるグループ 
• 線形順序群– 並進不変な全順序を持つ群 
• 順序付き体– 順序構造を持つ代数的オブジェクト 
• 指輪を注文しました
• 順序付き位相ベクトル空間
• 順序付きベクトル空間– 部分順序を持つベクトル空間 
• 部分順序リング– 互換性のある部分順序を持つリング 
• 半順序空間– 半順序位相空間 

• M.アンダーソンとT.フェイル、『格子順序群入門』、D.ライデル、1988年。
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