正の線形演算子

数学、より具体的には関数解析において、順序付きベクトル空間から順序付きベクトル空間への正の線型作用素は、のすべての正の元に対して が成り立つような への線型作用素です。言い換えれば、正の 線型作用素は、定義域の正の錐を余域の正の錐に写します。 ${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle (Y,\leq )}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\geq 0,}$${\displaystyle f(x)\geq 0.}$

すべての正の線形関数は、正の線形演算子の一種です。正の線形演算子の重要性は、リース・マルコフ・角谷表現定理などの結果にあります。

順序付きベクトル空間上の線形関数 は、次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 正であると呼ばれます。${\displaystyle f}$

1. ${\displaystyle x\geq 0}$暗示する${\displaystyle f(x)\geq 0.}$
2. もしそうなら^[1]${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$

正錐を持つベクトル空間上のすべての正線型形式の集合は双対錐と呼ばれ、 で表され、の極に等しい錐である。 上の線型関数の空間上の双対錐によって誘導される前順序は と呼ばれる。${\displaystyle C,}$${\displaystyle C^{*},}$${\displaystyle -C.}$${\displaystyle X}$二重予約注文。^[1]

順序ベクトル空間の順序双対は、次のように定義される集合である。${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+},}$${\displaystyle X^{+}:=C^{*}-C^{*}.}$

とを順序付きベクトル空間とし、をからへのすべての線型写像の空間とします。におけるすべての正の線型作用素の 集合は、における順序を定義する における錐です。が のベクトル部分空間であり、 が真錐である場合、この真錐は を定義します。${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle (Y,\leq )}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(X;Y)}$${\displaystyle H\cap M}$半順序ベクトル空間にすると正規半順序^{となる。 [2]}${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

とが順序付き位相ベクトル空間であり、が の有界部分集合の族でその和が を覆う場合、からへのすべての連続線型写像の成す空間である の正錐は、 が-位相を備えているときで閉じています。^[2]が の真錐である ためには、 の正錐がで全であること（つまり、 の正錐のスパンがで稠密であること）で十分です。が 0 より大きい次元の局所凸空間である場合、この条件も必要です。^[2] したがって、 の正錐がで全であり が局所凸空間である場合、によって定義されるの標準順序は正則順序です。^[2]${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle (Y,\leq )}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

命題: およびが、すべての正線型関数が連続するマッキー空間である局所凸位相ベクトル空間であるとする。 の正錐が の弱正規錐である場合、からへのすべての正線型演算子は連続である。^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

命題: がを満たす正錐を持つ樽型順序付き位相ベクトル空間(TVS) であり、が正錐である正錐を持つ半反射順序付き TVS であるとします。その標準順序を与え、が上向きで、メジャー化 (つまり、 の何らかの要素によって上方に有界化) されているか、単純に有界化されているの部分集合であるとします。すると が存在し、セクション フィルタは^[2]のすべてのプレコンパクト部分集合上で一様にに収束します。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle X=C-C}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle D}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle L(X;Y)}$${\displaystyle u=\sup {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {U}})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle X.}$

• コーン飽和
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• ベクトル格子 – 格子として順序付けられた、部分的に順序付けられたベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets

• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.