ルベーグとスティルチェスの統合

測度論的 解析学および関連する数学の分野では、ルベーグ–スティルチェス積分は、リーマン–スティルチェス積分とルベーグ積分の両方を一般化し、前者の多くの利点をより一般的な測度論的枠組みで保持します。ルベーグ–スティルチェス積分は、ルベーグ–スティルチェス測度と呼ばれる測度に関する通常のルベーグ積分であり、実数直線上の任意の有界変化関数に関連付けることができます。ルベーグ–スティルチェス測度は正則ボレル測度であり、逆に実数直線上のすべての正則ボレル測度はこの種類です。

ルベーグ・スティルチェス積分は、アンリ・レオン・ルベーグとトーマス・ジョアンネス・スティルチェスにちなんで名付けられ、理論の大部分を開発したヨハン・ラドンにちなんで、ルベーグ・ラドン積分または単にラドン積分とも呼ばれています。これらは、確率過程や確率過程、およびポテンシャル理論を含む特定の解析分野で一般的に応用されています。

ルベーグ・スティルチェス積分

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

  は、がボレル測定可能かつ有界 であり、   [ a , b ]で有界変化であり右連続である場合、または  fが非負でありg が単調かつ右連続である場合に定義されます  。まず、fが非負であり、g が単調非減少かつ右連続であると仮定します。w (( s , t ]) = g ( t ) − g ( s )およびw ({ a }) = 0と定義します (あるいは、g が左連続で、w ([ s , t ]) = g ( t ) − g ( s )およびw ({ b }) = 0の場合にもこの構築は有効です)。 ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle g:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$    

カラテオドリの拡張定理によれば、 [ a , b ]上には、すべての区間I上でwと一致する唯一のボレル測度μ _gが存在する。測度μ _gは、次式で与えられる外部測度（実際には計量外部測度） から生じる。

${\displaystyle \mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\ :\ E\subseteq \bigcup _{i}I_{i}\right\}}$

Eのすべての被覆を可算個の半開区間で覆う最小値。この測度はgに関連するルベーグ・スティルチェス測度^[1]と呼ばれることもある。

ルベーグ・スティルチェス積分

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

は、測度μ _gに関するfのルベーグ積分として通常の方法で定義される。gが非増加であれば、次のように定義する。   

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),}$

後者の積分は前述の構成によって定義されます。

gが有界変化である場合、次のように書くことができる。

${\displaystyle g(x)=g_{1}(x)-g_{2}(x)}$

ここでg ₁ ( x ) = V ^x
_{1 1/2 1/4 1/6 1/8 1/2 1/2 1/4 ...}gは区間[ a , x ]におけるg の全変化であり、 g ₂ ( x ) = _g 1 ₍ x ) − g ( x )である。g 1 とg 2 は両方とも単調非減少_である。

ここで、fが有界ならば、 gに関するfのルベーグ・スティルチェス積分は次のように定義される。   

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),}$

ここで、後者の2つの積分は前述の構成によって明確に定義されます。

代替アプローチ（Hewitt & Stromberg 1965）は、ルベーグ・スティルチェス積分を通常のリーマン・スティルチェス積分を拡張したダニエル積分として定義することである。gを[ a , b ]上の非減少右連続関数とし、I (  f  )をリーマン・スティルチェス積分

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

はすべての連続関数fに対して成り立つ。関数Iは[ a , b ]上のラドン測度を定義する。この関数は、次のように設定することですべての非負関数のクラスに拡張できる。   

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],0\leq f\leq h\right\}\\{\overline {\overline {I}}}(h)&=\inf \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],h\leq f\right\}.\end{aligned}}}$

ボレル可測関数の場合、

${\displaystyle {\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),}$

そして恒等式の両辺はhのルベーグ・スティルチェス積分を定義する。外測度μ _{g は}次のように定義される。

${\displaystyle \mu_{g}(A):={\overline {I}}(\chi_{A})={\overline {\overline {I}}}(\chi_{A})}$

ここでχ _{A は}Aの指示関数です。

制限された変動の積分器は、正の変動と負の変動に分解することによって上記のように処理されます。

γ  : [ a , b ] → R ²が平面上の可換曲線であり、 ρ  : R ² → [0, ∞)がボレル可測であるとする。そのとき、 ρで重み付けされたユークリッド計量に関する γの長さを次のように定義できる。  

${\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t),}$

ここで、 はγの[ a , t ]への制限の長さです。これは、γのρ長さと呼ばれることもあります。この概念は、さまざまな用途で非常に役立ちます。たとえば、ぬかるんだ地形では、人が移動できる速度は、ぬかるみの深さによって異なります。ρ ( z )がzまたはその付近での歩行速度の逆数を表す場合、γのρ長さは、 γ を横断するのにかかる時間です。極値長の概念は、曲線のρ長さというこの概念を使用しており、等角写像の研究に役立ちます。 ${\displaystyle \ell (t)}$ 

関数fが点aにおいて「正則」であるとは、右手と左手の極限f  ( a +)とf  ( a −)が存在し、関数がaにおいて平均値 をとる場合を言う。  

${\displaystyle f(a)={\frac {f(a-)+f(a+)}{2}}.}$

有限変化の2つの関数UとVが与えられ、各点においてUまたはVの少なくとも1つが連続しているか、UとVが両方とも正則である場合、ルベーグ-スティルチェス積分の部分積分公式が成り立つ：^[2]

${\displaystyle \int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\qquad -\infty <a<b<\infty .}$

ここで、関連するルベーグ–スティルチェス測度は、関数UおよびVの右連続バージョンに関連付けられています。つまり、および 同様に です。有界区間( a , b )は、 UおよびVがこの有界区間上で有限変化する場合、有界区間(-∞, b )、( a , ∞)、または(-∞, ∞)に置き換えることができます。複素数値関数も使用できます。 ${\textstyle {\tilde {U}}(x)=\lim _{t\to x^{+}}U(t)}$${\displaystyle {\tilde {V}}(x).}$

確率計算の理論において非常に重要な別の結果は次の通りである。右連続かつ左極限を持つ有限変化の2つの関数UとV （これらはcàdlàg関数である）が与えられたとき、

${\displaystyle U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},}$

ここでΔ U _t = U ( t ) − U ( t −)である。この結果は伊藤の補題の前身とみなすことができ、確率積分の一般理論で有用である。最後の項はΔ U ( t )Δ V ( t ) = d [ U , V ] であり、これはUとVの2次共変から生じる。（前の結果はストラトノビッチ積分に関係する結果として見ることができる。）

すべての実数xに対してg ( x ) = xのとき、μ _{g は}ルベーグ測度であり、gに関するfのルベーグ・スティルチェス積分はfのルベーグ積分と等価です。     

ここで、fは実変数の連続実数値関数であり、 vは非減少実関数であるとき、ルベーグ・スティルチェス積分はリーマン・スティルチェス積分と等価であり、その場合、次のように書くことが多い。   

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dv(x)}$

ルベーグ・スティルチェス積分については、測度μ _{v を}暗黙的に残しておく。これは確率論において、 v が実数値確率変数Xの累積分布関数である場合に特によく見られる。この場合、

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)].}$

(このようなケースの扱い方の詳細については、 リーマン-スティルチェス積分に関する記事を参照してください。)

ヘンシュトック・カーツワイル・スティルチェス積分

• ハルモス、ポール R. (1974)、測定理論、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90088-9
• ヒューイット、エドウィン、ストロンバーグ、カール（1965）、実解析と抽象解析、シュプリンガー・フェアラーク。
• サックス、スタニスワフ（1937）積分理論。
• Shilov, GE、Gurevich, BL、1978年。「積分、測度、微分：統一的アプローチ」、Richard A. Silverman訳。Dover Publications。ISBN 0-486-63519-8。