ナイキスト・シャノン標本化定理

ナイキスト・シャノンのサンプリング定理は、信号の周波数範囲と、エイリアシングと呼ばれる歪みを回避するために必要なサンプル レートを結び付ける、デジタル信号処理の重要な原理です。この定理では、エイリアシングを回避するには、サンプル レートが信号の帯域幅の 2 倍以上でなければならないとされています。実際には、この定理は、アナログ信号をサンプリングするとき、またはデジタル信号処理機能内でサンプル レートを変更するときに、エイリアシングを許容量未満に保つために、帯域制限フィルターを選択するために使用されます。

ナイキスト・シャノンのサンプリング定理は、信号処理の分野における定理であり、連続時間信号と離散時間信号の間の基本的な橋渡しとして機能します。これは、離散サンプルシーケンスが有限帯域幅の連続時間信号からすべての情報を取得できるようにするサンプルレートの十分な条件を確立します。

厳密に言えば、この定理は、有限の周波数領域以外ではフーリエ変換がゼロになる数学関数のクラスにのみ適用されます。直感的には、連続関数を離散列に縮小し、連続関数に補間すると、結果の忠実度は元のサンプルの密度 (またはサンプル レート) に依存することが予想されます。サンプリング定理は、特定の帯域幅に帯域制限された関数のクラスに対して完全な忠実度を得るのに十分なサンプル レートの概念を導入し、サンプリング プロセスで実際の情報が失われないようにします。十分なサンプル レートは、関数のクラスの帯域幅で表されます。この定理は、サンプルから元の連続時間関数を完全に再構築するための式も導きます。

サンプルレートの基準が満たされない場合でも、信号に関する他の制約が分かっていれば、完全な再構成が可能な場合があります（以下の§ 非ベースバンド信号のサンプリングと圧縮センシングを参照）。場合によっては（サンプルレートの基準が満たされない場合）、追加の制約を利用することで近似再構成が可能になります。これらの再構成の忠実度は、ボクナーの定理を利用して検証および定量化できます。^[1]

ナイキスト・シャノンの標本化定理という名前は、ハリー・ナイキストとクロード・シャノンに敬意を表してつけられたものです。しかし、この定理は以前にE.T. ウィテカーによっても発見されており (1915 年に発表)、シャノンは自身の研究でウィテカーの論文を引用しています。そのため、この定理はウィテカー・シャノン標本化定理、ウィテカー・シャノン、ウィテカー・ナイキスト・シャノンとも呼ばれ、補間の基数定理と呼ばれることもあります。

サンプリングとは、信号（例えば、連続した時間や空間の関数）を値のシーケンス（離散的な時間や空間の関数）に変換するプロセスです。シャノンの定理は次のように述べられています。^[2]

したがって、十分なサンプル レートとは、1 秒あたりのサンプル数よりも大きいものです。同様に、特定のサンプル レートでは、帯域制限 に対して完全な再構築が可能であることが保証されます。 ${\displaystyle 2B}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle B<f_{s}/2}$

帯域制限が高すぎる場合（または帯域制限がない場合）、再構成にはエイリアシングと呼ばれる不完全さが見られます。定理の現代的な記述では、 が正確に 周波数 で正弦波成分を含まないこと、または がサンプル レートの半分より厳密に小さくなければならないことを明示的に述べるように注意することがあります。しきい値はナイキスト レートと呼ばれ、サンプリングされる連続時間入力の属性です。サンプルが を表現するのに十分であるためには、サンプル レートはナイキスト レートを超えている必要があります。  しきい値はナイキスト周波数と呼ばれ、サンプリング装置の属性です。適切にサンプリングされた のすべての意味のある周波数成分は、ナイキスト周波数より下にあります。これらの不等式によって記述される条件は、ナイキスト基準、またはラーベ条件と呼ばれます。定理は、デジタル化された画像の場合の空間など、他のドメインの機能にも適用できます。他のドメインの場合の唯一の変更点は、およびに割り当てられた測定単位です。${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle B}$${\displaystyle 2B}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t).}$${\displaystyle f_{s}/2}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle f_{s},}$${\displaystyle B.}$

記号は、サンプル間の間隔を表すために慣例的に使用され、サンプル期間またはサンプリング間隔と呼ばれます。関数のサンプルは、のすべての整数値に対して、一般的に^[3]で表されます(または、古い信号処理の文献では )。   乗数は、連続時間から離散時間への移行の結果であり (離散時間フーリエ変換#フーリエ変換との関係を参照)、 が変化するときに信号のエネルギーを保存します。 ${\displaystyle T\triangleq 1/f_{s}}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x[n]\triangleq T\cdot x(nT)}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

シーケンスを補間する数学的に理想的な方法は、 sinc 関数を使用することです。シーケンス内の各サンプルは、サンプルの元の位置を時間軸の中心とする sinc 関数に置き換えられ、sinc 関数の振幅はサンプル値にスケールされます。その後、sinc 関数は連続関数に合計されます。数学的に同等の方法は、ディラック コームを使用し、1 つの sinc 関数を、サンプル値で重み付けされた一連のディラック デルタパルスと畳み込むことによって進めます。どちらの方法も数値的には実用的ではありません。代わりに、有限の長さの sinc 関数の何らかの近似が使用されます。近似に起因する不完全性は、補間誤差として知られています。 ${\displaystyle nT,}$${\displaystyle x(nT).}$

実際のデジタル-アナログ コンバータは、スケーリングされ遅延されたsinc 関数も、理想的なディラック パルスも生成しません。代わりに、スケーリングされ遅延された矩形パルスの区分的に一定のシーケンス(ゼロ次ホールド) を生成し、通常はローパス フィルタ(「アンチイメージング フィルタ」と呼ばれる) がその後に続き、元のベースバンド信号の不要な高周波レプリカ (イメージ) を除去します。

関数がフーリエ変換される場合:${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(f)}$

${\displaystyle X(f)\ \triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ {\rm {d}}t,}$

すると、 のサンプルはの周期的な合計を作成するのに十分です(離散時間フーリエ変換#フーリエ変換との関係を参照) 。${\displaystyle x[n],}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle X(f).}$

これは周期関数であり、係数が であるフーリエ級数としての同等の表現です。この関数は、サンプルシーケンスの 離散時間フーリエ変換(DTFT)としても知られています。${\displaystyle x[n]}$

図に示すように、 のコピーはサンプリング レートの倍数だけシフトされ、加算によって結合されます。 帯域制限された関数と が十分に大きい場合、コピーが互いに異なるままになる可能性があります。 しかし、ナイキスト基準が満たされない場合、隣接するコピーは重なり合い、一般には明確な を識別することは不可能です。より高い周波数成分は、コピーの 1 つに関連付けられたエイリアスと呼ばれる低周波成分と区別できません。 このような場合、慣例的な補間技術では、元の成分ではなくエイリアスが生成されます。 サンプル レートが他の考慮事項 (業界標準など) によって事前に決定されている場合、 は通常、サンプリングされる前に、高周波数を許容レベルまで下げるためにフィルタリングされます。 必要なフィルタの種類はローパス フィルタで、このアプリケーションではアンチエイリアシング フィルタと呼ばれます。 ${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle f_{s}=1/T}$${\displaystyle (X(f)=0,{\text{ for all }}|f|\geq B)}$${\displaystyle f_{s},}$${\displaystyle X(f).}$${\displaystyle f_{s}/2}$${\displaystyle x(t)}$

のコピー（「イメージ」とも呼ばれる）が重なり合わない場合、式 1の項は次の積で復元できます。 ${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle k=0}$

$${\displaystyle X(f)=H(f)\cdot X_{1/T}(f),}$$

どこ：

$${\displaystyle H(f)\ \triangleq \ {\begin{cases}1&|f|<B\\0&|f|>f_{s}-B.\end{cases}}}$$

は一意に を決定するので、サンプリング定理は証明されます。 ${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle x(t)}$

残っているのは、再構成の公式を導出することだけです。はその領域ではゼロなので、領域で正確に定義する必要はありません。ただし、最悪のケースはナイキスト周波数のときです。その場合とそれほど深刻ではないすべての場合に十分な関数は次のとおりです。${\displaystyle H(f)}$${\displaystyle [B,\ f_{s}-B]}$${\displaystyle X_{1/T}(f)}$${\displaystyle B=f_{s}/2,}$

$${\displaystyle H(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)={\begin{cases}1&|f|<{\frac {f_{s}}{2}}\\0&|f|>{\frac {f_{s}}{2}},\end{cases}}}$$

ここで は長方形関数です。したがって、 ${\displaystyle \mathrm {rect} }$

${\displaystyle X(f)=\mathrm {rect} \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)\cdot X_{1/T}(f)}$

${\displaystyle =\mathrm {rect} (Tf)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\ e^{-i2\pi nTf}}$      （  上記式1より）。

${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \underbrace {T\cdot \mathrm {rect} (Tf)\cdot e^{-i2\pi nTf}} _{{\mathcal {F}}\left\{\mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\right\}}.}$     ^[あ]

両辺を逆変換すると、ウィテカー・シャノン補間式が得られる。

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {t-nT}{T}}\right),}$

これは、サンプルを組み合わせて を再構築する方法を示しています。 ${\displaystyle x(nT)}$${\displaystyle x(t)}$

• 必要以上に大きい の値（ の小さい値）はオーバーサンプリングと呼ばれ、再構成の結果には影響を及ぼさず、が自由に中間値をとることができる遷移帯域の余地を残すという利点があります。エイリアシングの原因となるアンダーサンプリングは、一般に可逆的な操作ではありません。${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H(f)}$
• 理論的には、補間式はローパスフィルタとして実装できます。このフィルタのインパルス応答は で、入力は信号サンプルによって変調されたディラック櫛形関数です。実際のデジタル-アナログ変換器(DAC) は、ゼロ次ホールドのような近似を実装します。その場合、オーバーサンプリングによって近似誤差を減らすことができます。${\displaystyle \mathrm {sinc} (t/T)}$${\displaystyle \textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT),}$

ポアソンは、式 1のフーリエ級数が、 およびに関係なく、の周期的な和を生成することを示しています。しかし、シャノンは の場合のみ級数係数を導出します。実質的にシャノンの元の論文を引用します。 ${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f_{s}=2B}$

のスペクトルを  次のようにします。${\displaystyle X(\omega )}$${\displaystyle x(t).}$

${\displaystyle x(t)={1 \over 2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ={1 \over 2\pi }\int _{-2\pi B}^{2\pi B}X(\omega )e^{i\omega t}\;{\rm {d}}\omega ,}$

はバンドの外側ではゼロであると仮定されるので、 が任意の正または負の整数であると  すると、次の式が得られます。${\displaystyle X(\omega )}$${\displaystyle \left|{\tfrac {\omega }{2\pi }}\right|<B.}$${\displaystyle t={\tfrac {n}{2B}},}$${\displaystyle n}$

左側には、サンプリング ポイントでの の値があります。右側の積分は、基本的に^[a]区間を基本周期とする関数のフーリエ級数展開における係数として認識されます。つまり、サンプルの値が の級数展開におけるフーリエ係数を決定するということです。  したがって、 は よりも高い周波数では 0 であり、低い周波数では がそのフーリエ係数が決まっている場合に決定されるため、が決定されます。しかし、 は元の関数を完全に決定します。関数は、そのスペクトルがわかっていれば決定されるためです。したがって、元のサンプルは関数を完全に決定します。${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle n^{th}}$${\displaystyle X(\omega ),}$${\displaystyle -B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x(n/2B)}$${\displaystyle X(\omega ).}$${\displaystyle X(\omega ),}$${\displaystyle X(\omega )}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle X(\omega )}$${\displaystyle X(\omega )}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)}$

シャノンの定理の証明はその時点で完了しているが、彼はsinc関数による再構成、つまり上で議論したように現在ではウィテカー・シャノン補間公式と呼ばれているものについて議論を続ける。彼はsinc関数の特性を導出したり証明したりしていない。なぜなら、rect（長方形関数）とsinc関数の間のフーリエ対関係は当時よく知られていたからである。^[4]

をサンプルとします。関数は次のように表されます。 ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n^{th}}$${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}{\sin(\pi (2Bt-n)) \over \pi (2Bt-n)}.}$

他の証明と同様に、元の信号のフーリエ変換の存在が想定されているため、この証明では、サンプリング定理が帯域制限された定常ランダムプロセスに拡張されるかどうかは述べられていません。

サンプリング定理は通常、単一変数の関数に対して定式化されます。したがって、この定理は時間依存信号に直接適用でき、通常はそのコンテキストで定式化されます。ただし、サンプリング定理は、任意の数の変数の関数に簡単に拡張できます。たとえば、グレースケール画像は、行と列のサンプル位置の交差点にあるピクセル(画素) の相対的な強度を表す実数の 2 次元配列 (または行列) として表現されることがよくあります。その結果、画像では、各ピクセルを一意に指定するために、行に 1 つ、列に 1 つの独立した変数、つまりインデックスが必要になります。

カラー画像は通常、3 つの個別のグレースケール画像の合成で構成され、各画像は 3 つの原色 (赤、緑、青、または略してRGB ) を表します。色に 3 ベクトルを使用するその他の色空間には、HSV、CIELAB、XYZ などがあります。シアン、マゼンタ、イエロー、ブラック (CMYK) などの一部の色空間では、色を 4 次元で表すことができます。これらはすべて、2 次元のサンプリングされたドメイン上の ベクトル値関数として扱われます。

1 次元の離散時間信号と同様に、画像もサンプリング解像度またはピクセル密度が不十分な場合はエイリアシングの影響を受ける可能性があります。たとえば、高周波数のストライプ シャツ (つまり、ストライプ間の距離が短い) のデジタル写真は、カメラの画像センサーでサンプリングされたときにシャツのエイリアシングを引き起こす可能性があります。エイリアシングはモアレ パターンとして表示されます。この場合、空間領域でのサンプリングを増やすための「解決策」は、シャツに近づくか、解像度の高いセンサーを使用するか、光学ローパス フィルターを使用してセンサーで画像を取得する前に画像を光学的にぼかすことです。

もう 1 つの例は、レンガ模様で示されています。上の画像は、サンプリング定理の条件が満たされていない場合の影響を示しています。ソフトウェアが画像のサイズを変更すると (下の画像に示されているサムネイルを作成するのと同じプロセス)、実際には、まず画像をローパス フィルターに通してからダウンサンプリングして、モアレ模様が現れない小さな画像を生成します。上の画像は、ローパス フィルターを使用せずに画像をダウンサンプリングした場合の結果です。つまり、エイリアシングが生じます。

サンプリング定理は、シーンとレンズがアナログ空間信号源を構成し、イメージセンサーが空間サンプリングデバイスであるカメラシステムに適用されます。これらの各コンポーネントは、そのコンポーネントで利用可能な正確な解像度（空間帯域幅）を表す変調伝達関数（MTF）によって特徴付けられます。レンズのMTFとセンサーのMTFが一致していないと、エイリアシングやぼやけの影響が発生する可能性があります。センサーデバイスによってサンプリングされた光学画像にセンサーよりも高い空間周波数が含まれている場合、アンダーサンプリングはローパスフィルターとして機能し、エイリアシングを軽減または排除します。サンプリングスポットの領域（ピクセルセンサーのサイズ）が十分な空間アンチエイリアシングを提供するのに十分大きくない場合は、光学画像のMTFを下げるために、別のアンチエイリアシングフィルター（光学ローパスフィルター）をカメラシステムに含めることができます。スマートフォンカメラのグラフィックス処理ユニットは、光学フィルターを必要とする代わりに、デジタル信号処理を実行し、デジタルフィルターでエイリアシングを除去します。デジタル フィルターは、シャープニングを適用して、高空間周波数でのレンズからのコントラストを増幅します。そうしないと、回折限界でコントラストが急激に低下します。

サンプリング定理は、アップサンプリングやダウンサンプリングなどのデジタル画像の後処理にも適用されます。エイリアシング、ぼかし、シャープ化の効果は、理論的な原理に必然的に従うソフトウェアで実装されたデジタル フィルタリングによって調整できます。

の必要性を説明するために、次の式の の異なる値によって生成される正弦波の族を考えてみましょう。 ${\displaystyle f_{s}>2B,}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x(t)={\frac {\cos(2\pi Bt+\theta )}{\cos(\theta )}}\ =\ \cos(2\pi Bt)-\sin(2\pi Bt)\tan(\theta ),\quad -\pi /2<\theta <\pi /2.}$

または同等のサンプルは次のように与えられます。 ${\displaystyle f_{s}=2B}$${\displaystyle T=1/2B,}$

${\displaystyle x(nT)=\cos(\pi n)-\underbrace {\sin(\pi n)} _{0}\tan(\theta )=(-1)^{n}}$

の値に関係なく、この種の${\displaystyle \theta .}$曖昧さが、サンプリング定理の条件の 厳密な不等式の理由です。

シャノンは次のように論じている: ^[2]

帯域がゼロ周波数ではなく、より高い値で始まる場合にも同様の結果が成り立ち、ゼロ周波数の場合の線形変換（物理的には単側波帯変調に対応）によって証明できます。この場合、基本パルスは単側波帯変調によって から取得されます。${\displaystyle \sin(x)/x}$

つまり、ベースバンドコンポーネントを持たない信号をサンプリングするための十分な無損失条件が存在し、その最高周波数コンポーネントではなく、非ゼロ周波数間隔の幅が関係します。詳細と例については、 サンプリングを参照してください。

たとえば、100～102 MHzの周波数範囲で FM ラジオ信号をサンプリングする場合、204 MHz (上限周波数の 2 倍) でサンプリングする必要はなく、4 MHz (周波数間隔の幅の 2 倍) でサンプリングすれば十分です。

バンドパス条件は、周波数のオープンバンドの外側の すべての非負値に対して次のようになります。${\displaystyle X(f)=0,}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left({\frac {N}{2}}f_{\mathrm {s} },{\frac {N+1}{2}}f_{\mathrm {s} }\right),}$

非負の整数に対して。この定式化では、通常のベースバンド条件を次のケースとして含める。${\displaystyle N}$${\displaystyle N=0.}$

対応する補間関数は、指定されたバンドの上端と下端にカットオフがある理想的なブリックウォールバンドパス フィルター(上記で使用した理想的なブリックウォールローパス フィルターとは対照的) のインパルス応答であり、これはローパス インパルス応答のペアの差です。

$${\displaystyle (N+1)\,\operatorname {sinc} \left({\frac {(N+1)t}{T}}\right)-N\,\operatorname {sinc} \left({\frac {Nt}{T}}\right).}$$

他の一般化、たとえば、複数の非連続帯域を占める信号への一般化も可能です。サンプリング定理の最も一般化された形式でさえ、証明可能な逆はありません。つまり、サンプリング定理の条件が満たされていないという理由だけで、情報が必ず失われると結論付けることはできません。ただし、エンジニアリングの観点からは、サンプリング定理が満たされていない場合は、情報が失われる可能性が高いと想定するのが一般的です。

シャノンのサンプリング理論は、非均一サンプリング、つまり時間的に等間隔にサンプリングされないサンプルの場合にも一般化できます。非均一サンプリングに対するシャノンのサンプリング理論では、平均サンプリングレートがナイキスト条件を満たす場合、帯域制限された信号はそのサンプルから完全に再構成できるとされています。 ^[5]したがって、均一間隔のサンプルでは再構成アルゴリズムが容易になる可能性がありますが、完全な再構成に必要な条件ではありません。

非ベースバンドおよび非均一サンプルの一般理論は、1967年にヘンリー・ランドーによって開発されました。^{[6]彼は、スペクトルのどの部分が占有されているかが}事前にわかっていると仮定して、平均サンプリングレート（均一またはそれ以外）は信号の占有帯域幅の2倍でなければならないことを証明しました。

1990 年代後半には、この研究は部分的に拡張され、占有帯域幅の量は既知であるが、スペクトルの実際の占有部分は不明な信号もカバーするようになりました。^{[7] 2000 年代には、}圧縮センシングを使用した完全な理論が開発されました (以下の追加制約の下でのナイキスト周波数以下のサンプリングのセクションを参照) 。特に、信号処理言語を使用したこの理論は、2009 年の Mishali と Eldar の論文で説明されています。^[8]彼らは、とりわけ、周波数位置が不明な場合は、ナイキスト基準の少なくとも 2 倍でサンプリングする必要があることを示しています。言い換えると、スペクトルの位置がわからないために、少なくとも 2 倍のコストを支払う必要があるということです。最小サンプリング要件は必ずしも安定性を保証するものではないことに注意してください。

ナイキスト・シャノンのサンプリング定理は、帯域制限された信号のサンプリングと再構成のための十分条件を提供します。再構成がウィテカー・シャノンの補間式によって行われる場合、ナイキスト基準はエイリアシングを回避するための必要条件でもあります。つまり、帯域制限の 2 倍よりも遅い速度でサンプルが取得されると、正しく再構成されない信号がいくつか存在するということです。ただし、信号にさらなる制限が課されると、ナイキスト基準は必要条件ではなくなる可能性があります。

信号についての追加の仮定を利用する重要な例として、最近の圧縮センシングの分野が挙げられます。圧縮センシングでは、ナイキスト以下のサンプリング レートで完全な再構成が可能です。具体的には、これは、ある領域でスパース (または圧縮可能) な信号に適用されます。たとえば、圧縮センシングでは、全体的な帯域幅 (たとえば、有効帯域幅) は低いものの、周波数位置が不明で、すべてが 1 つの帯域内にあるわけではない信号を扱います。そのため、パスバンド技法は適用されません。言い換えると、周波数スペクトルはスパースです。従来、必要なサンプリング レートは、したがって です。圧縮センシング技法を使用すると、信号を よりわずかに低いレートでサンプリングすると、信号を完全に再構成できます。このアプローチでは、再構成は数式ではなく、線形最適化プログラムの解によって与えられます。 ${\displaystyle EB}$${\displaystyle 2B.}$${\displaystyle 2EB.}$

サブナイキストサンプリングが最適となる別の例は、サンプリングと最適な非可逆圧縮を組み合わせたシステムのように、サンプルが最適な方法で量子化されるという追加の制約の下で発生します。^{[9]この設定は、サンプリングと}量子化の共同効果を考慮する場合に関連し、ランダム信号のサンプリングと量子化で達成できる最小再構成誤差の下限を提供できます。定常ガウスランダム信号の場合、この下限は通常、サブナイキストサンプリングレートで達成され、サブナイキストサンプリングが最適な量子化の下でこの信号モデルに最適であることを示しています。^[10]

標本化定理は、1928 年のハリー・ナイキストの研究^[11]によって示唆されました。この研究でナイキストは、独立したパルスサンプルを帯域幅のシステムに送信できることを示しましたが、連続信号の標本化と再構成の問題は明示的には考慮していませんでした。ほぼ同じ時期に、カール・キュプフミュラーは同様の結果を示し^[12]、帯域制限フィルタの sinc 関数インパルス応答を、その積分であるステップ応答正弦積分を介して説明しました。この帯域制限および再構成フィルタは標本化定理の中心となるもので、キュプフミュラーフィルタと呼ばれることもあります(ただし、英語ではほとんどそう呼ばれません)。 ${\displaystyle 2B}$${\displaystyle B}$

サンプリング定理は、本質的にはナイキストの結果の双対であり、クロード・E・シャノンによって証明されました。^[2]数学者E.T.ウィテカーは1915年に同様の結果を発表しました。^[13] JMウィテカーは1935年に、^[14]ガボールは1946年に（「通信理論」）同様の結果を発表しました。

1948年と1949年に、クロード・E・シャノンは情報理論の基礎となった2つの革命的な論文を発表しました。^{[15] [16] [2]シャノンの「}通信の数学的理論」では、サンプリング定理は「定理13」として定式化されています。W上の周波数が含まれないとします。 ${\displaystyle f(t)}$

$${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}{\frac {\sin \pi (2Wt-n)}{\pi (2Wt-n)}},}$$ どこ${\displaystyle X_{n}=f\left({\frac {n}{2W}}\right).}$

これらの論文が発表されて初めて、「シャノンのサンプリング定理」として知られる定理が通信技術者の間で共有財産となったが、シャノン自身は、これは通信技術では常識的な事実であると書いている。^[B]しかし、数行後に彼はこう付け加えている。「しかし、その明らかな重要性にもかかわらず、[それは]通信理論の文献に明示的に現れていないようだ」。シャノンのサンプリング定理が発表されたのは1940年代末であったが、シャノンは1940年には早くもサンプリング定理を導出していた。^[17]

サンプリング定理を独自に発見した人や、その発展に役割を果たした人については、Jerri ^[18]や Lüke ^{[19]など、いくつかの歴史的論文で議論されています。たとえば、Lüke は、Küpfmüller の助手であった H. Raabe が 1939 年の博士論文でこの定理を証明したことを指摘しています。Raabe}条件という用語は、明確な表現の基準 (サンプリング レートが帯域幅の 2 倍以上) に関連付けられるようになりました。Meijering ^[20]は、段落と脚注で他の数人の発見者と名前を挙げています。

ヒギンズが指摘したように、標本化定理は実際には上記のように 2 つの部分に分けて考える必要があります。1 つ目は帯域制限された関数がその標本によって完全に決定されるという事実を述べたもので、2 つ目はその標本を使用して関数を再構成する方法を説明したものです。標本化定理の両方の部分は、JM ウィテカーと、それ以前には小倉によって多少異なる形式で示されていました。彼らはおそらく、定理の最初の部分が 1897 年にボレルによってすでに述べられていたという事実に気づいていなかったのでしょう。^{[Meijering 1]}すでに見たように、ボレルもその頃に基数級数として知られるようになったものを使用していました。しかし、彼はその関連性に気付いていなかったようです。後年、標本化定理はシャノンより前にコテリニコフによってロシアの通信コミュニティに提示されていたことが判明しました。より暗黙的で言葉による形では、ドイツの文献でラーベによっても説明されていました。何人かの著者は、染谷がシャノンと並行して日本の文献で定理を紹介したと述べています。英語の文献では、ウェストンがシャノンとは独立して同時期にこれを導入した。^{[Meijering 2]}

1. ^ ブラックに続く数人の著者は、標本定理のこの最初の部分は、1841年に発表された論文でコーシーによってさらに以前に述べられていたと主張している。しかし、ヒギンズが指摘したように、コーシーの論文にはそのような記述は含まれていない。
2. ^ 標本定理の複数の独立した導入が発見された結果、人々は定理を前述の著者の名前を含めて参照するようになり、「ウィテカー・コテルニコフ・シャノン（WKS）標本定理」や「ウィテカー・コテルニコフ・ラーベ・シャノン・染谷標本定理」などのキャッチフレーズが生まれました。混乱を避けるためには、「すべての主張者にふさわしいタイトルを見つけようとするのではなく」、標本定理と呼ぶのがおそらく最善でしょう。

— エリック・メイジェリング、「古代天文学から現代の信号および画像処理までの補間の年表」（引用省略）

ロシア文学では、 1933年にこれを発見したウラジミール・コテルニコフにちなんでコテルニコフの定理として知られています。^[21]

ハリー・ナイキストがいつ、なぜ、どのようにしてサンプリング定理に自分の名前をつけたのかは、いまだにはっきりしない。ナイキスト・サンプリング定理（このように大文字で表記される）という用語は、1959年に彼の元勤務先であるベル研究所の本に登場し^[22]、1963年に再び登場し^[23]、1965年には大文字で表記されなくなった。 ^{[24]これは1954年には}シャノン・サンプリング定理と呼ばれていたが^[25]、1950年代初頭の他のいくつかの本では 単にサンプリング定理と呼ばれていた。

1958年、ブラックマンとテューキーは、情報理論のサンプリング定理の参考文献としてナイキストの1928年の論文^[26]を引用したが、その論文では他の論文のように連続信号のサンプリングと再構成を扱っていない。彼らの用語集には以下の項目が含まれている。

サンプリング定理（情報理論）

ナイキストの結果によれば、最高周波数のサイクルごとに 2 つ以上のポイントを持つ等間隔のデータにより、帯域制限関数の再構築が可能になります。(基数定理を参照。)

基数定理（補間理論）

等間隔に配置された二重無限点集合で与えられた値を補間して、関数の助けを借りて連続帯域制限関数を生成できる条件を正確に記述したもの。$${\displaystyle {\frac {\sin(x-x_{i})}{x-x_{i}}}.}$$

彼らが言及している「ナイキストの結果」が正確に何なのかは謎のままです。

シャノンが1949年の論文で標本化定理を述べて証明したとき、マイヤーリングによると^[20]「彼は、ナイキストが電信との関連でこの間隔の根本的な重要性を発見したことを認識して、臨界標本化間隔をバンドに対応するナイキスト間隔と呼んだ」。これは、ナイキストの名前が臨界間隔にはあるが、定理にはないことを説明しています。 ${\displaystyle T={\frac {1}{2W}}}$${\displaystyle W,}$

同様に、1953 年にハロルド S. ブラックによってナイキスト レートにナイキストの名前が付けられました。

重要な周波数範囲が1 秒あたりのサイクル数に制限されている場合、ピーク干渉が量子ステップの半分未満であると仮定すると、 は 1 秒あたりに明確に解決できるコード要素の最大数としてナイキストによって与えられました。このレートは一般にナイキスト レートでのシグナリングと呼ばれ、ナイキスト間隔とも呼ばれています。${\displaystyle B}$${\displaystyle 2B}$${\displaystyle {\frac {1}{2B}}}$

— ハロルド・ブラック、変調理論^[27]（太字は強調のため、斜体は原文のまま）

オックスフォード英語辞典によると、これがナイキスト レートという用語の由来であると考えられます。ブラックの用法では、これはサンプリング レートではなく、シグナリング レートです。

• 44,100 Hzは、人間の聴覚の限界とサンプリング定理に基づいて、可聴周波数をサンプリングするために使用される慣習的なレートです。
• バリアン・ロー定理は、サンプリングレートの理論的な下限値と似ているが、時間周波数変換に適用される。
• Cheung-Marks定理は、サンプリング定理による信号の復元が不適切になる可能性がある条件を規定する。
• シャノン・ハートレーの定理
• ナイキストISI基準
• ゼロクロスからの再構築
• ゼロ次ホールド
• ディラックコム

ウィキメディア・コモンズには、ナイキスト・シャノン定理に関連するメディアがあります。

• シミュレーションによる学習不適切なサンプリングの影響のインタラクティブなシミュレーション
• ウェブデモでのサンプリングと再構築のインタラクティブなプレゼンテーション シュトゥットガルト大学電気通信研究所
• アンダーサンプリングとその応用
• デジタルオーディオのサンプリング理論
• サンプリング理論に特化したジャーナル
• Huang, J.; Padmanabhan, K.; Collins, OM (2011 年 6 月)。「一定振幅可変幅パルスのサンプリング定理」IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers。58 (6): 1178– 90。doi : 10.1109/TCSI.2010.2094350。S2CID 13590085  。
• ルーク、ハンス・ディーター（1999年4月）。 「サンプリング定理の起源」(PDF)。IEEE コミュニケーション マガジン。37 (4 ) : 106–108。CiteSeerX 10.1.1.163.2887 。土井：10.1109/35.755459。