シュタインハウスの定理

実解析の数学の分野において、シュタインハウスの定理は、正測度の集合の差分集合にはゼロの開近傍が含まれることを述べています。これはヒューゴ・シュタインハウスによって最初に証明されました。^[1]

Aを実数直線上のルベーグ測度が0でないルベーグ測度集合とする。このとき差分集合

${\displaystyle AA=\{ab\mid a,b\in A\}}$

原点の開いた近傍が含まれます。

アンドレ・ヴェイユ^[2]によって最初に証明された定理の一般版は、Gが局所コンパクト群であり、A⊂G が正 （左）ハール測度の部分集合である場合、

${\displaystyle AA^{-1}=\{ab^{-1}\mid a,b\in A\}}$

統一されたオープンな近隣環境が含まれています。

この定理は、ベールの性質を持つ非貧弱集合に拡張することもできます。これらの拡張の証明は、シュタインハウスの定理とも呼ばれ、以下のものとほぼ同じです。

次の簡単な証明は、アルメニアのエレバン国立大学の故 HM Martirosian 教授の問題集に掲載されています (ロシア語)。

任意の に対して、かつとなる開集合 が存在する。 は開区間の和集合なので、与えられた に対して、となる区間を見つけることができます。ここで です。 ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \,{\cal {U}}}$${\displaystyle A\subset {\cal {U}}}$${\displaystyle \mu ({\cal {U}})<\mu (A)+\varepsilon }$${\displaystyle \,{\cal {U}}}$${\displaystyle \alpha \in (1/2,1)}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle \mu (B)>\alpha (ba)}$${\displaystyle B=(a,b)\cap A}$

とする。矛盾のために、となる が存在すると仮定する。すると、 となり、したがって ${\displaystyle \delta =(2\alpha -1)(ba)}$${\displaystyle |x|<\delta }$${\displaystyle (x+A)\cap A=\varnothing }$${\displaystyle (x+B)\cap B=\varnothing }$

${\displaystyle \mu ((x+B)\cup B)=2\mu (B)}$

しかし、私たちには

${\displaystyle \mu ((x+B)\cup B)\leq \mu ((a,b+|x|))<b-a+\delta }$、

つまり、それは矛盾します。 ${\displaystyle 2\mu (B)<b-a+\delta =2\alpha (ba)}$${\displaystyle \mu (B)>\alpha (ba)}$

したがって、すべての に対して、 となり、 が望みどおりに成り立つことが直ちにわかります。 ${\displaystyle (x+A)\cap A\neq \varnothing }$${\displaystyle |x|<\delta }$${\displaystyle \{x:|x|<\delta \}\subset AA}$

この定理の帰結として、の任意の測定可能な真部分群は測度が 0 であるということです。 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$

• ファルコナーの推測

• シュタインハウス、ヒューゴ(1920)。 「ポジティブな距離とポイントのアンサンブル」(PDF)。基金。数学。（フランス語で）。1：93-104。土井：10.4064/fm-1-1-93-104。。
• アンドレ・ヴェイユ(1940)。トポロジーとアプリケーションのグループの統合。ヘルマン。
• Stromberg, K. (1972). 「シュタインハウスの定理の初等的証明」.アメリカ数学会紀要. 36 (1): 308. doi :10.2307/2039082. JSTOR  2039082.
• アルパン、サドゥカン（2020）。 「シュタインハウスの定理の代替証明」。アメリカ数学月刊誌。127 (4): 330.arXiv : 1903.07139。土井：10.1080/00029890.2020.1711693。S2CID  84845966。

• Väth , Martin (2002)。統合理論：第2コース。World Scientific。ISBN 981-238-115-5。