フィッティング長さ

数学、特に群論として知られる代数学の分野において、フィッティング長（または冪零長）は、解ける群が冪零からどれだけ離れているかを測定するものです。この概念は、冪零正規部分群の研究を行ったハンス・フィッティングにちなんで名付けられました。

フィッティングチェーン（またはフィッティングシリーズまたは群のべき零級数 ( nilpotent series ) はべき零商を持つ非正規級数です。言い換えると、グループ全体と自明なグループの両方を含む部分群正規部分群、連続する項の商がべき零グループであるようなものです。

グループのフィッティング長またはべき零長は、フィッティング チェーンが存在する場合、そのチェーンの可能な最小の長さとして定義されます。

中心系列の中で上中心系列と下中心系列が極値であるのと同様に、冪零系列の中にも極値となる類似の系列が存在します。

有限群Hに対して、フィッティング部分群 Fit ( H ) は最大正規冪零部分群であり、それによる商が冪零となる最小正規部分群はγ _∞ ( H ) であり、これは（有限）下中心級数の交差であり、冪零残差と呼ばれる。これらは中心と交換子部分群に対応する（それぞれ上中心級数と下中心級数の場合）。これらは無限群には当てはまらないため、以降ではすべての群が有限であると仮定する。

有限群の上フィッティング級数は、Fit 0 ( G ) = 1、およびFit n +1 ( G )/ Fit n ( G ) = Fit (G/ Fit n ( G ))で定義される特性サブグループFit n ( ^G )のシーケンスです^。これは、各ステップ^で最大の可能なサブグループ^を取る、昇順の^冪零級数です。

有限群Gの下フィッティング級数は、F ₀ ( G ) = GおよびF _{n +1} ( G ) = γ _∞ ( F _n ( G ) )によって定義される特性部分群F _n ( G )の列です。これは下降するべき零級数であり、各ステップで最小の可能な部分群を取ります。

• 非自明な群は、それが冪零である場合に限り、フィッティング長さが 1 になります。
• 3 点上の対称群のフィッティング長さは 2 です。
• 4 点上の対称群のフィッティング長さは 3 です。
• 5 点以上の対称群にはフィッティング チェーンがまったく存在せず、解決できません。
• 3 点上の対称群のn個のコピーの反復リース積のフィッティング長さは 2 nです。

• グループがフィッティング チェーンを持つのは、それが解ける場合のみです。
• 下側のフィッティング級数がフィッティング チェーンとなるのは、最終的に自明な部分群に到達し、 Gが解ける場合のみです。
• 上側のフィッティング級数がフィッティング チェーンとなるのは、最終的にグループG全体に到達し、かつGが解ける場合のみです。
• 下のフィッティング系列はすべてのフィッティングチェーンの中で最も速く下降し、上のフィッティング系列はすべてのフィッティングチェーンの中で最も速く上昇します。明示的には、すべてのフィッティングチェーン 1 = H ₀ ⊲ H ₁ ⊲ … ⊲ H _n = Gについて、 H _i ≤ Fit ⁱ ( G )、および F _i ( G ) ≤ H _{n − i}が成り立ちます。
• 解けるグループの場合、下側のフィッティング シリーズの長さは上側のフィッティング シリーズの長さに等しく、この共通の長さがグループのフィッティング長になります。

詳しい情報は（Huppert 1967、Kap. III、§4）に記載されています。

中心級数がべき零群に対して行うことは、フィッティング級数が可解群に対して行うことです。群が中心級数を持つのは、それがべき零である場合に限ります。また、フィッティング級数を持つのは、それが可解である場合に限ります。

解けるグループが与えられた場合、下フィッティング級数は下中央級数よりも「粗い」分割になります。下フィッティング級数はグループ全体の級数を与えますが、下中央級数はグループ全体からフィッティング級数の最初の項までのみ下降します。

下のフィッティングシリーズは次のように進行します。

G = F ₀ ⊵ F ₁ ⊵ ⋯ ⊵ 1,

中央下部のシリーズは最初のステップを細分化し、

G = G ₁ ⊵ G ₂ ⊵ ⋯ ⊵ F ₁、

そして、最初の商F ₀ / F ₁の下中心級数の持ち上げであり、これはべき零である。

この方法（フィッティング級数の各商について下側の中心級数を持ち上げる）で進めると、非正規級数が得られます。

G = G ₁ ⊵ G ₂ ⊵ ⋯ ⊵ F ₁ = F _1,1 ⊵ F _1,2 ⊵ ⋯ ⊵ F ₂ = F _2,1 ⊵ ⋯ ⊵ F _n = 1,

定規の粗い目盛りと細かい目盛りのように。

連続する商はアーベルであり、解けることとフィッティング級数を持つことの同値性を示しています。

• 中央シリーズ
• 3ステップグループ

• Huppert, B. (1967)、Endliche Gruppen (ドイツ語)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-03825-2、MR  0224703、OCLC  527050
• トゥルール、アレクサンドル (2001) [1994]、「フィッティング長さ」、数学百科事典、EMS プレス
• トゥルール、アレクサンドル (2001) [1994]、「フィッティングチェーン」、数学百科事典、EMS プレス