アルトゲ変換

数学、より正確には関数解析において、アルトゲ変換はヒルベルト空間の有界作用素の集合上で定義される演算である。これは、p-準正規線型作用素を研究するためにアリヤダサ・アルトゲによって導入された。^[1]

をヒルベルト空間とし、 を からまでの線型作用素の代数とします。極分解定理により、および と なる一意の部分等長変換が存在します。ここで は 作用素 の平方根です。 および がその極分解である場合、 の Aluthge 変換は 次のように定義される作用素です。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle B(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle T=U|T|}$${\displaystyle \ker(U)\supset \ker(T)}$${\displaystyle |T|}$ ${\displaystyle T^{*}T}$${\displaystyle T\in B(H)}$${\displaystyle T=U|T|}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Delta (T)}$

${\displaystyle \Delta (T)=|T|^{\frac {1}{2}}U|T|^{\frac {1}{2}}.}$

より一般的には、任意の実数に対して、-Aluthge変換は次のように定義される。 ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle \Delta _{\lambda }(T):=|T|^{\lambda }U|T|^{1-\lambda }\in B(H).}$

ベクトルに対して、 次のように定義される演算子を 表すものとする。${\displaystyle x,y\in H}$${\displaystyle x\otimes y}$

${\displaystyle \forall z\in H\quad x\otimes y(z)=\langle z,y\rangle x.}$

基本的な計算^[2]によれば、${\displaystyle y\neq 0}$${\displaystyle \Delta _{\lambda }(x\otimes y)=\Delta (x\otimes y)={\frac {\langle x,y\rangle }{\lVert y\rVert ^{2}}} y\otimes y.}$

• アンテザナ、ホルヘ。プハルス、エンリケ R.ストヤノフ、デメトリオ（2008）。 「反復された Aluthge 変換: 簡単な調査」。アルゼンチン マテマティカ レビスタ デ ラ ユニオン。49：29～41。

• 数学系譜プロジェクトの Ariyadasa Aluthge