準正規演算子

作用素理論において、準正規作用素は、正規作用素の要件を弱めることによって定義される有界作用素のクラスです。

すべての準正規演算子は非正規演算子です。有限次元ヒルベルト空間上のすべての準正規演算子は正規演算子です。

A をヒルベルト空間H上の有界作用素とすると、A がA*Aと可換であるとき、 A は準正規作用素であるという。すなわち、

${\displaystyle A(A^{*}A)=(A^{*}A)A.\,}$

正規演算子は必然的に準正規演算子です。

A = UP をAの極分解とします。Aが準正規分布であれば、UP = PUです。これを確認するには、極分解の正の因子Pが ( A*A ) ^{1 ⁄ 2}という形式、つまりA*Aの唯一の正の平方根であることに注目してください。準正規性とは、 A がA*Aと可換であることを意味します。自己随伴演算子の連続関数計算の結果として、A はP = ( A*A ) ^{1 ⁄ 2}とも可換です。つまり、

${\displaystyle UPP=PUP.\,}$

したがって、Pの値域ではUP = PU です。一方、h ∈ H がPの核に含まれる場合、明らかにUP h = 0 です。しかし、PU h = 0 でもあります。これは、U が、初期空間が値域Pの閉包である部分等長変換であるためです。最後に、 Pの自己随伴性は、 H がその値域と核の直和であることを意味します。したがって、与えられた議論は、 HのすべてでUP = PU であることを証明しています。

一方、UP = PUの場合、A は準正規でなければならないことは容易に確認できます。したがって、演算子A は、 UP = PUの場合にのみ準正規です。

Hが有限次元のとき、すべての準正規演算子Aは正規である。これは有限次元の場合、極分解A = UPの部分等長変換Uがユニタリとみなせるためである。このことから、

${\displaystyle A^{*}A=(UP)^{*}UP=PU(PU)^{*}=AA^{*}.\,}$

一般に、部分等長変換はユニタリ演算子に拡張できない可能性があり、したがって準正規演算子は正規である必要はありません。たとえば、片側シフト Tを考えてみましょう。T *Tは恒等演算子なので、T は準正規です。しかし、Tは明らかに正規ではありません。

一般に、ヒルベルト空間H上の有界演算子A が非自明な不変部分空間を持つかどうかはわかっていません。しかし、 Aが正規の場合、スペクトル定理により肯定的な答えが与えられます。すべての正規演算子A は、 Aのスペクトル、σ ( A ) 上のスペクトル測度E = { E _B }に関して恒等関数を積分することによって得られます。

${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,dE(\lambda ).\,}$

任意のボレル集合B ⊂ σ ( A ) に対して、射影E _{B は}Aと可換であり、したがってE _Bの値域はAの不変部分空間である。

上記は準正規演算子に直接拡張できます。A がA*Aと可換であるということは、 A が( A*A ) ^{1 ⁄ 2}と可換であるということです。しかし、これはA が( A*A ) ^{1 ⁄ 2}のスペクトル測度における任意の射影E _Bと可換であることを意味し、これは不変部分空間の主張を証明します。実際、より強い結論を導くことができます。 E _Bの値域は実際にはAの縮小部分空間であり、つまりその直交補空間もAの下で不変です。

• P. ハルモス、ヒルベルト宇宙問題集、スプリンガー、ニューヨーク、1982 年。