非正規演算子

数学、特に作用素論において、非正規作用素は、正規作用素に対する要求を弱めることによって定義されるヒルベルト空間上の有界作用素である。^[1]非正規作用素の例としては、等長変換や解析記号を持つテプリッツ作用素などがある。

H をヒルベルト空間とする。H上の有界作用素Aが非正規であるとは、 A が正規拡大 を持つ場合を言う。言い換えると、H がKに埋め込まれるようなヒルベルト空間Kが存在し、次の形式の 正規作用素N が存在する場合、 A は非正規であるという。

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}A&B\\0&C\end{bmatrix}}}$

いくつかの有界演算子について

${\displaystyle B:H^{\perp }\rightarrow H、\quad {\mbox{and}}\quad C:H^{\perp }\rightarrow H^{\perp }.}$

定義により、すべての正規演算子は非正規演算子ですが、その逆は一般には成り立ちません。ユニタリ演算子の特性を弱めることによって、簡単な例のクラスを得ることができます。ユニタリ演算子は、密な 範囲を持つ等長演算子です。ここで、範囲が必ずしも密ではない等長演算子Aを考えてみましょう。具体的な例として、片側シフトがありますが、これは正規ではありません。しかし、A は非正規演算子であり、これは明示的に示すことができます。上の 演算子U を定義します。

${\displaystyle H\oplus H}$

による

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&-A^{*}\end{bmatrix}}.}$

直接計算すると、Uはユニタリであり、したがってAの正規拡張であることがわかります。演算子U は、等長変換Aのユニタリ拡大と呼ばれます。

演算子A がA*Aと可換である場合、演算子Aは準正規演算子と呼ばれます。^[2]したがって、正規演算子は準正規演算子です。逆は真ではありません。上記のように、片側シフトによって反例が与えられます。したがって、正規演算子の族は、準正規演算子と非正規演算子の両方の適切なサブセットです。当然の疑問は、準正規演算子と非正規演算子がどのように関連しているかです。

準正規演算子は必然的に非正規演算子であるが、その逆は成り立たないことを示します。したがって、正規演算子は準正規演算子の適切なサブファミリーであり、準正規演算子は非正規演算子に含まれています。準正規演算子が非正規であるという主張を論じるには、準正規演算子の次の特性を思い出してください。

事実:有界演算子Aが準正規演算子となるのは、その極分解 A = UPにおいて、部分等長演算子Uと正演算子Pが可換である場合に限ります。^[3]

準正規分布Aが与えられたとき、 UとPの拡大を十分に良い方法で構築して、すべてが交換できるようにするという考え方です。ここではUが等長行列であると仮定します。V をUのユニタリ拡大行列とします。

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}U&I-UU^{*}\\0&-U^{*}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}U&D_{U^{*}}\\0&-U^{*}\end{bmatrix}}.}$

定義する

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}P&0\\0&P\end{bmatrix}}.}$

演算子N = VQ は明らかにAの拡張である。直接計算により、これが正規拡張であることを示す。V のユニタリ性は 、

${\displaystyle N^{*}N=QV^{*}VQ=Q^{2}={\begin{bmatrix}P^{2}&0\\0&P^{2}\end{bmatrix}}.}$

一方で、

${\displaystyle NN^{*}={\begin{bmatrix}UP^{2}U^{*}+D_{U^{*}}P^{2}D_{U^{*}}&-D_{U^{*}}P^{2}U\\-U^{*}P^{2}D_{U^{*}}&U^{*}P^{2}U\end{bmatrix}}.}$

UP = PUであり、P は自己随伴なので、U*P = PU*かつD _U* P = D _U* Pとなります。エントリを比較すると、Nが正規であることがわかります。これは、準正規性が非正規性を意味することを証明しています。

逆が真でないことを示す反例として、片側シフトA を再度考えてみましょう。あるスカラーsに対する演算子B = A + s は、非正規のままです。しかし、Bが準正規である場合、簡単な計算でA*A = AA*となり、矛盾が生じます。

非正規作用素Aが与えられた場合、その正規拡大B は一意ではない。例えば、A をl ² ( N )上の片側シフトとすると、正規拡大の 1 つはl ² ( Z )上の両側シフトBで、次のように定義される。

${\displaystyle B(\ldots ,a_{-1},{{\hat {a}}_{0}},a_{1},\ldots )=(\ldots ,{{\hat {a}}_{-1}},a_{0},a_{1},\ldots ),}$

ここで、ˆは0番目の位置を表す。Bは演算子行列で表される。

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&A^{*}\end{bmatrix}}.}$

別の通常の拡張は、上で定義したAの単位拡大B'によって与えられます。

${\displaystyle B'={\begin{bmatrix}A&I-AA^{*}\\0&-A^{*}\end{bmatrix}}}$

その動作は次のように説明される

${\displaystyle B'(\ldots ,a_{-2},a_{-1},{{\hat {a}}_{0}},a_{1},a_{2},\ldots )=(\ldots ,-a_{-2},{{\hat {a}}_{-1}},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ).}$

したがって、ある意味で最小の正規拡大に興味がある。より正確には、ヒルベルト空間Kに作用する正規作用素B は、 K' ⊂ KがBの縮小部分空間であり、H ⊂ K'であるとき、K' = K であるとき、サブ正規Aの最小拡大であると言われる。（サブスペースは、BとB* の両方で不変である場合にBの縮小部分空間である。）^[4]

2つの演算子B ₁とB _{2 がそれぞれ}K ₁とK ₂上の極小拡張である場合、ユニタリ演算子が存在すること が示される。

${\displaystyle U:K_{1}\rightarrow K_{2}.}$

また、次のような絡み合い関係が成り立ちます。

${\displaystyle UB_{1}=B_{2}U.\,}$

これは構成的に示せます。次の形式のベクトルからなる 集合S を考えます。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i}=h_{0}+B_{1}^{*}h_{1}+(B_{1}^{*})^{2}h_{2}+\cdots +(B_{1}^{*})^{n}h_{n}\quad {\text{where}}\quad h_{i}\in H.}$

K' ⊂ K _1をSの線型範囲の閉包である部分空間とします。定義により、K' はB ₁ *で不変であり、 H を含みます。 B ₁の正規性とH がB ₁で不変であるという仮定は、K' がB ₁で不変であることを意味します。したがって、K' = K ₁です。ヒルベルト空間K _{2 はまったく同じ方法で識別できます。ここで、演算子}U を次のように定義します。

${\displaystyle U\sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i}=\sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}h_{i}}$

なぜなら

${\displaystyle \left\langle \sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i},\sum _{j=0}^{n}(B_{1}^{*})^{j}h_{j}\right\rangle =\sum _{ij}\langle h_{i},(B_{1})^{i}(B_{1}^{*})^{j}h_{j}\rangle =\sum _{ij}\langle (B_{2})^{j}h_{i},(B_{2})^{i}h_{j}\rangle =\left\langle \sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}h_{i},\sum _{j=0}^{n}(B_{2}^{*})^{j}h_{j}\right\rangle ,}$

、演算子Uはユニタリです。直接計算すると次のことが分かります (ここではB ₁とB _{2 の両方が}Aの拡張であるという仮定が必要です)

${\displaystyle {\text{if }}g=\sum _{i=0}^{n}(B_{1}^{*})^{i}h_{i},}$

${\displaystyle {\text{then }}UB_{1}g=B_{2}Ug=\sum _{i=0}^{n}(B_{2}^{*})^{i}Ah_{i}.}$

B ₁とB ₂が最小であると仮定されない場合、同じ計算により、U が部分等長変換である場合に上記の主張がそのまま成り立つことが示されます。