単一サブモジュール

環論と加群論として知られる抽象代数学の分野では、各右（または左）R加群Mは、 Rにおける本質的な右（または左）イデアルである零化イデアルからなる特異部分加群を持つ。集合記号では、通常次のように表される。${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{m\in M\mid \mathrm {ann} (m)\subseteq _{e}R\}\,}$一般的な環の場合、${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)}$は、ドメインに対して最もよく定義されるねじれ部分モジュールtors( M )の良い一般化です。 Rが可換ドメインの場合、${\displaystyle \operatorname {tors} (M)={\mathcal {Z}}(M)}$。

Rが任意の環である場合、${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})}$Rを右モジュールとして定義し、この場合${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})}$はRの 2 面イデアルで、Rの右特異イデアルと呼ばれます。左手側の類似物${\displaystyle {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$同様に定義されます。${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\neq {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$。

特異部分加群と特異イデアルを研究する際に用いられる定義をいくつか以下に示します。以下では、MはR加群です。

• Mは、以下の条件を満たす場合に特異モジュールと呼ばれる。${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=M\,}$。
• Mは、以下の条件を満たす場合に非特異モジュールと呼ばれる。${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{0\}\,}$。
• Rが右非特異であるのは、${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=\{0\}\,}$左非特異環も同様に、左特異イデアルを用いて定義され、環が右非特異であるが左非特異ではないということも十分にあり得る。

統一性のあるリングでは、常に次のことが当てはまります。${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})\subsetneq R\,}$そのため、「右単数環」は通常、単数加群と同じようには定義されません。一部の著者は「単数環」を「ゼロでない単数イデアルを持つ」という意味で使用していますが、この用法は加群を表す形容詞の用法とは一致しません。

単数部分モジュールの一般的な特性には、以下のようなものがあります。

• ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M_{R})\cdot \mathrm {soc} (R_{R})=\{0\}\,}$どこ${\displaystyle \mathrm {soc} (M_{R})\,}$台座を表す${\displaystyle R_{R}}$。
• f がMからNへのR加群の準同型である場合、${\displaystyle f({\mathcal {Z}}(M))\subseteq {\mathcal {Z}}(N)\,}$。
• NがMの部分加群である場合、${\displaystyle {\mathcal {Z}}(N)=N\cap {\mathcal {Z}}(M)\,}$。
• 「特異」と「非特異」という性質は、森田不変性質である。
• 環の特異イデアルは、その環の中心となる冪零元を含む。したがって、可換環の特異イデアルは、その環の冪零根基を含む。
• ねじれ部分モジュールの一般的な性質は、${\displaystyle t(M/t(M))=\{0\}\,}$しかし、これは必ずしも特異部分加群には当てはまらない。ただし、Rが右非特異環である場合、${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M/{\mathcal {Z}}(M))=\{0\}\,}$。
• NがMの必須部分加群（両方とも右加群）である場合、 M / Nは特異である。Mが自由加群である場合、またはRが右非特異である場合、その逆が成り立つ。
• 半単純加群が非特異であるのは、それが射影加群である場合に限る。
• Rが右自己単射環である場合、${\displaystyle {\mathcal {Z}}(R_{R})=J(R)\,}$ここで、J( R )はRのヤコブソン根基である。

右非特異環は非常に広いクラスであり、縮約環、右（半）遺伝環、フォン・ノイマン正則環、ドメイン、半単純環、ベア環、右リッカート環などが含まれます。

可換環においては、非特異であることは、既約環であることと同値である。

ジョンソンの定理（REジョンソンによる（ラム 1999 、p.376 ））には、いくつかの重要な同値関係が含まれている。任意の環Rに対して、以下は同値である。 

1. Rは右非特異行列である。
2. 単射包E( R _R ) は非特異右R加群である。
3. 自己準同型環${\displaystyle S=\mathrm {終了} (E(R_{R}))\,}$は半原始環（つまり、${\displaystyle J(S)=\{0\}\,}$)
4. 最大右商環${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$フォン・ノイマン正則です。

右非特異性は、右自己単射環とも強い相互作用を持つ。

定理：Rが右自己単射環であるならば、 Rに関する以下の条件は同値である：右非特異、フォン・ノイマン正則、右半遺伝的、右リッカート、ベア、半原始。（Lam 1999 、p. 262） 

その論文（Zelmanowitz 1983 ）は、非特異加群を用いて、最大右商環が特定の構造を持つ環のクラスを特徴づけた。

定理：Rが環である場合、${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$Rが右完全線形環であるのは、 R が非特異で忠実で一様な加群を持つ場合に限る。さらに、${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$が完全線形環の有限直積であるのは、R が有限一様次元の非特異忠実加群を持つ場合に限る。

• Goodearl, KR (1976), Ring theory: Nonsingular rings and modules , Pure and Applied Mathematics, No. 33, New York: Marcel Dekker Inc., pp.  viii+206, MR 0429962 
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 

• Zelmanowitz, JM (1983)、「忠実な非特異加群を持つ環の構造」、Trans. Amer. Math. Soc.、278 (1): 347–359、doi : 10.2307/1999320、ISSN 0002-9947、MR 0697079