非整数基数

非整数表現は、非整数数を位取り記数法の基数として使用する。非整数基数β > 1の場合、

${\displaystyle x=d_{n}\dots d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}\dots d_{-m}}$

は

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\beta ^{n}d_{n}+\cdots +\beta ^{2}d_{2}+\beta d_{1}+d_{0}\\&\qquad +\beta ^{-1}d_{-1}+\beta ^{-2}d_{-2}+\cdots +\beta ^{-m}d_{-m}.\end{aligned}}}$

数d _{i は}β未満の非負の整数です。これはβ展開とも呼ばれ、Rényi (1957) によって導入され、Parry (1960) によって初めて詳細に研究された概念です。すべての実数には少なくとも 1 つの (無限の場合もある) β展開があります。有限表現を持つすべてのβ展開の集合は、環Z [ β ,  β ⁻¹ ]のサブセットです。

β展開は符号理論^[1]や準結晶のモデル^[2]に応用されている。

β展開は、小数展開の一般化です。無限小数展開は一意ではありませんが (たとえば、1.000... = 0.999... )、有限小数展開はすべて一意です。ただし、有限β展開であっても、必ずしも一意であるとは限りません。たとえば、黄金比β = φの場合、φ + 1 = φ ²です。与えられた実数のβ展開の標準的な選択は、次の貪欲アルゴリズムによって決定できます。これは基本的に Rényi (1957) によるもので、Frougny (1992) によってここで示されているように定式化されています。

β > 1 を底とし、x を非負の実数とする。 xの床関数（つまり、 x以下の最大の整数）を⌊ x ⌋で表し、{ x } = x − ⌊ x ⌋ をxの小数部とする。β ^k ≤ x < β ^{k +1}となる整数k が存在する。

${\displaystyle d_{k}=\lfloor x/\beta ^{k}\rfloor }$

そして

${\displaystyle r_{k}=\{x/\beta ^{k}\}.\,}$

k − 1 ≥   j > −∞の場合、

${\displaystyle d_{j}=\lfloor \beta r_{j+1}\rfloor ,\quad r_{j}=\{\beta r_{j+1}\}.}$

言い換えると、xの標準β展開は、 β ^k d _k ≤ xとなる最大のd _{k を選択し、次に}β ^k d _k + β ^{k −1} d _{k −1} ≤ xとなる最大のd _{k −1}を選択する、というように定義されます。つまり、x を表す辞書式に最大の文字列を選択します。

整数を基数とすると、これは数xの通常の基数展開を定義します。この構成により、通常のアルゴリズムがβの非整数値に拡張されます。

上記の手順に従うと、実数のβ展開を作成できます（手順は の場合と同じですが、まずnに${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle n<0}$−1をプラスにするには、結果に−1 を入力すると再び負の値になります。

まず、 k値 ( nより大きいβの最も近い累乗の指数と、 の桁数( nはβ を底として表記))を定義する必要があります。nとβのk値は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \lfloor n_{\beta }\rfloor }$${\displaystyle n_{\beta }}$

${\displaystyle k=\lfloor \log _{\beta }(n)\rfloor +1}$

k値が見つかった後、dと書くことができ、ここで ${\displaystyle n_{\beta }}$

${\displaystyle d_{j}=\lfloor (n/\beta ^{j}){\bmod {\beta }}\rfloor ,\quad n=n-d_{j}*\beta ^{j}}$

k − 1 ≥   j > −∞の場合。dの最初のk個の値は小数点の左側に表示されます。

これは次の擬似コードでも記述できる: ^[3]

関数toBase ( n , b ) { k = floor ( log ( b , n )) + 1精度= 8結果= ""   
	     
	  
	  

	for ( i = k - 1 , i > - precision - 1 , i -- ) { if (結果.長さ== k )結果+= "."数字= floor (( n / b ^ i ) mod b ) n -=数字* b ^ i結果+=数字}          
		      
		
		      
		    
		  
	

	結果を返す} 

上記のコードはとにのみ有効であり、各桁を正しい記号や正しい負の数に変換しないことに注意してください。たとえば、桁の値が${\displaystyle 1<\beta \leq 10}$${\displaystyle n\geq 0}$10 は次のように表される。Aの代わりに10。

• JavaScript : ^[3]

  関数toBasePI ( num 、精度= 8 ) { let k = Math.floor ( Math.log ( num ) / Math.log ( Math.PI ) ) + 1とします。if ( k < 0 ) k = 0 ;​​​​​         
           
            
  
      数字を[]とします。   
  
      for ( let i = k - 1 ; i > ( - 1 * precision ) - 1 ; i -- ) { let digit = Math . floor (( num / Math . pow ( Math . PI , i )) % Math . PI ); num -= digit * Math . pow ( Math . PI , i ); digits . push ( digit );         
                  
               
          
  
          if ( num < 0.1 ** (精度+ 1 ) && i <= 0 ) break ; }       
              
      
  
      if ( digits . length > k ) digits . splice ( k , 0 , "." );   
            
  
      数字を返します。join ( " " ); } 
  
  

• JavaScript: ^[3]

  function fromBasePI ( num ) { let numberSplit = num . split ( /\./g ); let numberLength = numberSplit [ 0 ] . length ;  
         
         
  
      output = 0とします。digits = numberSplit.join ( "" )とします。   
         
  
      for ( let i = 0 ; i < digits.length ; i ++ ) { output + = digits [ i ] * Math.pow ( Math.PI , numberLength - i - 1 ) ; }​​​​         
               
      
  
      出力を返す; } 
  
  

√ 2 を基数とする数は、 2 進数から√ 2進数に変換するには、 2進数の各桁の間にゼロを入れるだけなので、 2 進数と非常によく似た動作をします。たとえば、1911 ₁₀ = 11101110111 ₂は 101010001010100010101 _{√ 2}になり、5118 ₁₀ = 1001111111110 ₂は 1000001010101010101010100 _{√ 2}になります。つまり、すべての整数は小数点なしで√ 2 を基数として表現できます。底は正方形の辺と対角線の関係を示すのにも使用できます。たとえば、辺の長さが 1 _{√ 2}の正方形の対角線は 10 _{√ 2}で、辺の長さが 10 _{√ 2の正方形の対角線は 100 √ 2}です。底のもう 1 つの用途は白銀比を示すことです。底を√ 2で表すと、単に 11 _{√ 2}になります。さらに、辺の長さが 1 _{√ 2}の正八角形の面積は 1100 _{√ 2} 、辺の長さが 10 _{√ 2 の}正八角形の面積は110000 _{√ 2} 、辺の長さが 100 _{√ 2 の}正八角形の面積は11000000 _{√ 2}などです。

黄金進法では、いくつかの数は複数の 10 進法に相当するため、曖昧です。たとえば、 11 _φ = 100 _φです。

ψ基数にも曖昧な数がいくつかあります。たとえば、 101 _ψ = 1000 _ψです。

底がeの場合、自然対数は常用対数と同様に動作し、ln(1 _e ) = 0、ln(10 _e ) = 1、ln(100 _e ) = 2、ln(1000 _e ) = 3 となります。

基数eは基数β >1の最も経済的な選択であり、 ^[4]ここで基数の経済性は基数と、与えられた範囲の値を表現するために必要な記号列の長さの積として測定されます。

底π は、円の直径と円周（円周の長さに相当）の関係を簡単に示すために使用できます。円周 = 直径 × π であるため、直径 1 _πの円の円周は 10 _π、直径 10 _{πの円の円周は 100 π}となります。さらに、面積= π ×半径^{2であるため、半径 1} _πの円の面積は 10 _{π 、半径 10 π}の円の面積は1000 _{π 、半径 100 π}の円の面積は 100000 _πとなります。^[5]

いかなる位取り記数法でも、すべての数を一意に表現できるわけではありません。たとえば、10進法では、数1は1.000...と0.999...の2つの表現方法があります。2つの異なる表現方法を持つ数の集合は実数に密集していますが、 ^[6]一意のβ展開を持つ実数を分類する問題は、整数基数の場合よりもかなり微妙です。^[7]

もう一つの問題は、 β展開が周期的である実数を分類することです。β > 1 とし、Q ( β ) をβ を含む有理数の最小の体拡大とします。すると、[0,1) 内の周期的なβ展開を持つ任意の実数はQ ( β )に含まれます。 一方、逆は必ずしも真ではありません。 βがピゾ数である場合は逆が成り立ちますが、^[8]必要十分条件はわかっていません。

• ベータエンコーダ
• 非標準的な位置記数法
• 小数展開
• べき乗シリーズ
• オストロフスキー記数法

• Sidorov, Nikita (2003)、「算術ダイナミクス」、Bezuglyi, Sergey、Kolyada, Sergiy (編)、「ダイナミクスとエルゴード理論の話題。国際会議および米国ウクライナ ワークショップにおけるダイナミクス システムとエルゴード理論の調査論文とミニコース、ウクライナ、カツィヴェリ、2000 年 8 月 21 ～ 30 日、ロンドン数学協会講義ノート シリーズ、第 310 巻、ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局、pp. 145 ～ 189、ISBN 978-0-521-53365-2、Zbl  1051.37007

• Weisstein、Eric W.「Base」。MathWorld。