共同決勝（数学）

数学では、部分集合${\displaystyle B\subseteq A}$予約注文したセットの${\displaystyle (A,\leq )}$は共終または頻出であると言われている^{[ 1 ]}${\displaystyle A}$すべての${\displaystyle a\in A,}$要素を見つけることが可能です${\displaystyle b}$で${\displaystyle B}$支配的${\displaystyle a}$（正式には、${\displaystyle a\leq b}$)

共終部分集合は、有向集合とネットの理論において非常に重要であり、「共終部分列」は「部分列」の適切な一般化です。また、基数理論を含む順序理論においても重要であり、共終部分集合の最小可能な濃度は、${\displaystyle A}$共終性と呼ばれる${\displaystyle A.}$

させて${\displaystyle \,\leq \,}$集合上の同次二項関係である${\displaystyle A.}$ サブセット${\displaystyle B\subseteq A}$は、に関して共終または頻出であると言われている^{[ 1 ]}${\displaystyle \,\leq \,}$以下の条件を満たす場合：

すべての${\displaystyle a\in A,}$いくつか存在する${\displaystyle b\in B}$それ${\displaystyle a\leq b.}$

頻繁に出現しない部分集合は、まれに出現する部分集合と呼ばれます。^{[ 1 ]} この定義は、次のような場合に最も一般的に適用されます。${\displaystyle (A,\leq )}$は有向集合であり、追加の特性を持つ順序付き集合です。

最終機能

地図​${\displaystyle f:X\to A}$2 つの有向集合間の画像が最終的であると言われる^{[ 2 ]}${\displaystyle f(X)}$の${\displaystyle f}$は、の共終部分集合である。${\displaystyle A.}$

共起部分集合

サブセット${\displaystyle B\subseteq A}$次の条件を満たす場合、それは共始的（または強制という意味での稠密）であると言われます。

すべての${\displaystyle a\in A,}$いくつか存在する${\displaystyle b\in B}$そのため${\displaystyle b\leq a.}$

これは、共終部分集合の概念に対する順序理論上の双対概念である。共終部分集合（または共始部分集合）は、右（または左）順序位相に関する稠密集合に他ならない。

半順序集合（「 posets」）上の共終関係は反射的である。つまり、すべてのposetはそれ自体で共終関係である。また、推移的でもある。${\displaystyle B}$は半順序集合の共終部分集合である${\displaystyle A,}$そして${\displaystyle C}$は、の共終部分集合である。${\displaystyle B}$（部分順序付け付き）${\displaystyle A}$適用された${\displaystyle B}$）、 それから${\displaystyle C}$また、共終部分集合でもある${\displaystyle A.}$

最大要素を持つ半順序集合の場合、すべての共終部分集合はすべての最大要素を含まなければなりません。そうでない場合、部分集合に含まれない最大要素は部分集合のどの要素よりも小さくも等しくもならず、共終の定義に違反します。最大要素を持つ半順序集合の場合、部分集合が共終であるのは、その最大要素を含む場合に限ります（これは、最大要素は必然的に最大要素であることから導かれます）。最大要素または最大要素を持たない半順序集合は、互いに素な共終部分集合を持ちます。たとえば、偶数と奇数の自然数は、すべての自然数の集合の互いに素な共終部分集合を形成します。

部分的に順序付けられた集合の場合${\displaystyle A}$完全に順序付けられた共終部分集合を許容するならば、部分集合を見つけることができる${\displaystyle B}$それは整然としていて、共同最終的である${\displaystyle A.}$

もし${\displaystyle (A,\leq )}$は有向集合であり、${\displaystyle B\subseteq A}$は、の共終部分集合である。${\displaystyle A}$それから${\displaystyle (B,\leq )}$も有向集合である。^{[ 1 ]}

共終部分集合の任意のスーパーセットは、それ自体も共終である。^{[ 1 ]}

もし${\displaystyle (A,\leq )}$は有向集合であり、(1 個または複数) 有限個の部分集合の和集合である場合${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}}$共同決勝の場合は、セットの少なくとも1つが${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$は共終結である。^{[ 1 ]}この性質は、以下の仮定なしには一般には成り立たない。${\displaystyle (A,\leq )}$指示されている。

部分集合関係と近傍基底

させて${\displaystyle X}$を位相空間とし、${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ある点における近傍フィルタを表す${\displaystyle x\in X.}$ 上位集合の関係${\displaystyle \,\supseteq \,}$は、​${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$: 明示的に、任意の集合に対して${\displaystyle S}$そして${\displaystyle T,}$宣言する${\displaystyle S\leq T}$かつその場合に限り${\displaystyle S\supseteq T}$（つまり、${\displaystyle \,\leq \,}$に等しい${\displaystyle \,\supseteq \,}$) サブセット${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}_{x}}$近隣基地と呼ばれる${\displaystyle x}$もし（そしてその場合に限って）$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は、の共終部分集合である。${\displaystyle \left({\mathcal {N}}_{x},\supseteq \right);}$ すなわち、すべての${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}}$いくつか存在する${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$そのため${\displaystyle N\supseteq B.}$（つまり、${\displaystyle N\leq B}$）

実数の共終部分集合

いかなる場合でも${\displaystyle -\infty <x<\infty ,}$間隔${\displaystyle (x,\infty )}$は、の共終部分集合である。${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$しかし、それは共終部分集合ではない${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq ).}$ セット${\displaystyle \mathbb {N} }$自然数（正の整数からなる）の共終部分集合は、${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$しかし、これは負の整数の集合には当てはまらない。${\displaystyle -\mathbb {N}$ :=\{-1,-2,-3,\ldots \}.}

同様に、どの${\displaystyle -\infty <y<\infty ,}$間隔${\displaystyle (-\infty ,y)}$は、の共終部分集合である。${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$しかし、それは共終部分集合ではない${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ).}$ セット${\displaystyle -\mathbb {N} }$負の整数の は、 の共終部分集合です${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$しかし、これは自然数には当てはまらない。${\displaystyle \mathbb {N} .}$ セット${\displaystyle \mathbb {Z} }$すべての整数の は、 の共終部分集合です${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$また、共終部分集合${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$;セットについても同様です${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

特定の重要なケースが与えられています。${\displaystyle A}$は冪集合の部分集合である${\displaystyle \wp (E)}$ある集合の${\displaystyle E,}$逆順で並べる${\displaystyle \,\supseteq .}$この順序を考慮すると${\displaystyle A,}$部分集合${\displaystyle B\subseteq A}$共同決勝${\displaystyle A}$すべての${\displaystyle a\in A}$があります${\displaystyle b\in B}$そのため${\displaystyle a\supseteq b.}$

例えば、${\displaystyle E}$グループになって${\displaystyle A}$を有限指数の正規部分群の集合とする。のプロ有限完備化${\displaystyle E}$は、有限商の逆システムの逆極限として定義される。${\displaystyle E}$（これらはセットによってパラメータ化される）${\displaystyle A}$) この状況では、すべての共終部分集合は${\displaystyle A}$は、プロ有限完了を構築および記述するのに十分である。${\displaystyle E.}$

• 有限部分集合– 有限補集合を持つ部分集合 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 共終結性– 順序理論における部分集合のサイズ 
• 上位セット– より大きな要素をすべて含む予約注文のサブセット リダイレクト先の短い説明を表示するページ 
  • 部分集合${\displaystyle U}$半順序集合の${\displaystyle (P,\leq )}$すべての要素を含む${\displaystyle y\in P}$それには${\displaystyle x\in U}$と${\displaystyle x\leq y}$

• ラング、セルジュ（1993）、『代数学（第3 版）』、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー、ISBN 978-0-201-55540-0、Zbl 0848.13001 
• シェクター、エリック（1996）。解析学とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミック・プレス。ISBN 978-0-12-622760-4OCLC 175294365​​