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数学において、乗算表（よりくだけた言い方では、掛け算表とも呼ばれる）とは、代数体系における乗算演算を定義するために用いられる数学的な表のことである。
十進数の掛け算表は、10進数を用いた算術演算の基礎となるため、世界中で初等算術の必須部分として伝統的に教えられてきました。多くの教育者は、9 × 9 までの掛け算表を暗記する必要があると考えています。[ 1 ]
最も古い既知の掛け算表は、約4000年前にバビロニア人が使用していたものです。 [ 2 ]ただし、彼らは60を基数として使用していました。[ 2 ] 10を基数として使用されている最も古い既知の表は、中国の戦国時代にあたる紀元前305年頃の竹簡に書かれた中国の 十進掛け算表です。[ 2 ]
乗算表は、古代ギリシャの数学者ピタゴラス（ 紀元前570～495年）に帰せられることがある。多くの言語（例えばフランス語、イタリア語、ロシア語）ではピタゴラスの表とも呼ばれ、英語でも時折そう呼ばれる。[ 4 ]新ピタゴラス主義の信奉者であるギリシャ・ローマの数学者ニコマコス（紀元60～120年）は、著書『算術入門』に乗算表を含めているが、現存する最古のギリシャの乗算表は紀元1世紀の蝋板に記されており、現在は大英博物館に所蔵されている。[ 5 ]
西暦493年 、アキテーヌのヴィクトリウスは、 2から50までのすべての数の積を（ローマ数字で）示した98列の乗算表を書き、行は「1000から始まり、100ずつ減って100まで、次に10ずつ減って1まで、次に1ずつ減って1まで、そして1/144までの分数のリスト」であった。[ 6 ]
数学者のジョン・レスリーは、1820年の著書『算術の哲学』[ 7 ]の中で、「四分位数」の表を発表し、いくつかの追加手順を踏めば、1000 × 1000までの乗算に使用できるとしました。レスリーはまた、幼い生徒には50 × 50までの乗算表を暗記することを勧めました。
1897年、アウグスト・レオポルド・クレレは「1から1000までの任意の2つの数の積を与える計算表」[ 8 ]を出版した。これは1000×10000までの積の単純な乗算表である。
1から10、または1から12までの数の積をすべて示す表は、小学校で最もよく見られるサイズです。下の表は、12×12までの積を示しています。
学校で教えられる一般的な多桁乗算アルゴリズムでは、この問題を1桁乗算と多桁加算の一連の問題に分解します。1桁乗算は、0から9までの数字のすべての積を100エントリの表にまとめることができます。任意の数aに対して0 × a = 0であるため、0による乗算の行と列は通常省略されます。整数の乗算は交換法則が成り立ち、a × b = b × aです。したがって、この表は主対角線に対して対称であり、以下に示すように、 a ≥ bのエントリa × bのみを表示することで、45エントリに減らすことができます。乗法単位元である1による乗算の行と列を省略することで、表をさらに減らすことができます（36エントリ）。1はa × 1 = aを満たします。
伝統的な掛け算の暗記学習は、次のように並べられた表の列を記憶することに基づいていた。
掛け算表を完全な数式とともに列に書き込むこの形式は、コロンビアやボスニア・ヘルツェゴビナなどの一部の国では、上記の現代的なグリッド形式の代わりに今でも使われています。
九九表には、人々が九九表をより簡単に覚えるのに役立つパターンがあります。それは以下の数字を使用します。
図 1 は 1、3、7、9 の倍数に使用されます。図 2 は 2、4、6、8 の倍数に使用されます。これらのパターンは、5 を除く 0 から 10 までの任意の数の倍数を記憶するために使用できます。掛け合わせる数から始める場合と同様に、0 を掛ける場合は 0 のままになります (0 は外部にあるため、矢印は 0 には影響しません。それ以外の場合は、0 はリンクとして使用され、永久サイクルが作成されます)。このパターンは 10 の倍数にも適用できます。1 から始めて単純に 0 を加えることで 10 になり、その後、通常どおり「一の位」に適用するのと同じように、パターンのすべての数を「十の位」に適用します。
例えば、7の倍数をすべて思い出すには：
表は、群、体、環、その他の代数系に対する二項演算を定義することもできます。このような場合、それらはケイリー表と呼ばれます。
すべての自然数nに対して、nを法とする整数環Z nにおける加算と乗算は、 n × nの表で表されます。例えば、Z 5の表は次のようになります。
その他の例については、グループを参照してください。
超複素数乗算表は、2つの超複素虚数単位を乗算した際の非可換な結果を示します。最も単純な例は、四元数乗算表です。
中国の九九表は81項から成ります。古代では9×9から始まることから、歴史的には九九表と呼ばれていました。つまり、9×9は81、8×9は72、といった具合です。春秋時代にはすでに中国で知られており、そろばんの時代を経ても生き残りました。現在でも小学生は九九表を暗記しなければなりません。九九表の短縮版はわずか45文から成ります。
平城宮で発見された木貫は、乗算表が孫子算経などの中国の数学書を通して日本に伝わった可能性を示唆している。なぜなら、乗算表の表現が、10未満の積に「如」という文字を共有しているからである。 [ 9 ]中国語と日本語は、9×9までの乗算表を覚えるのに役立つように、81の短く覚えやすい文からなる類似のシステムを共有している。現在の使用法では、10未満の積を表す文には、両言語で助詞が追加されている。現代中国語では得( dé )、日本語ではが( ga )である。これは、乗算盤やそろばんを使って計算を練習する人にとって便利である。なぜなら、これらの文は、 10の位で始まらない積を入力するときに、1桁右に移動することを思い出させてくれるからである。特に、日本語の乗算表は、特定の場合に数字の非標準的な発音を使用している（例えば、 3 rokuをsaburokuに置き換えるなど。以下太字で示す）。
清華簡コレクションに収められている、戦国時代 の紀元前305年の竹簡21枚束は、世界最古の十進乗算表の例である。[ 10 ]
1989年、全米数学教師協議会（NCTM）は、すべての生徒が高次の思考スキルを習得すべきであるという信念に基づき、九九などの暗記に頼る従来の方法の指導を軽視することを推奨する新しい基準を策定しました。広く採用されている教科書である『Investigations in Numbers, Data, and Space』（制作元の技術教育研究センターにちなんでTERCとして広く知られている）の初期版では、九九などの補助教材は省略されていました。NCTMは2006年の重点事項で、基本的な数学の事実は習得しなければならないと明言しましたが、暗記が最良の方法かどうかについては意見が一致していません。近年、子供たちが九九を学ぶのに役立つ非伝統的な方法が数多く考案されており、ビデオゲーム風のアプリや、キャラクターベースのストーリーを通して九九を教えることを目的とした書籍などがあります。
2024年に、九九を覚えるという推奨事項がカリフォルニア州の数学カリキュラムフレームワークから削除されました。[ 11 ]