メッシュフリー法

数値解析の分野において、メッシュフリー法とは、シミュレーション領域のノード間の接続、すなわちメッシュを必要とせず、各ノードとそのすべての隣接ノードとの相互作用に基づく手法のことである。その結果、質量や運動エネルギーといった本来の示量性は、メッシュ要素ではなく個々のノードに割り当てられる。メッシュフリー法は、計算時間とプログラミングの手間が増えるという代償を伴うものの、従来は困難であったいくつかのタイプの問題のシミュレーションを可能にする。メッシュがないため、ノードが速度場に従って移動できるラグランジュシミュレーションが可能となる。

有限差分法、有限体積法、有限要素法などの数値解法は、もともとデータ点のメッシュ上で定義されました。このようなメッシュでは、各点にはあらかじめ定義された固定数の近傍点があり、これらの近傍点間の接続性を利用して、微分などの数学演算子を定義することができます。これらの演算子は、オイラー方程式やナビエ・ストークス方程式など、シミュレーション対象となる方程式を構築するために使用されます。

しかし、シミュレーション対象の材料が動き回る場合（計算流体力学など）、または材料が大きく変形する場合（塑性材料のシミュレーションなど）には、シミュレーションにエラーを導入せずにメッシュの接続性を維持することは困難です。シミュレーション中にメッシュが絡まったり、劣化したりすると、メッシュ上で定義された演算子が正しい値を返さなくなる可能性があります。シミュレーション中にメッシュを再作成することもできます（リメッシュと呼ばれるプロセス）が、既存のすべてのデータポイントを新しい異なるデータポイントのセットにマッピングする必要があるため、これもエラーを引き起こす可能性があります。メッシュフリー法は、これらの問題を解決することを目的としています。メッシュフリー法は、次のような場合にも役立ちます。

• 複雑な3Dオブジェクトの形状から有用なメッシュを作成することが特に困難であったり、人間の支援が必要となるシミュレーション
• クラッキングシミュレーションのように、ノードが生成または破壊される可能性のあるシミュレーション
• 問題の形状が固定メッシュからずれる可能性があるシミュレーション（曲げシミュレーションなど）
• 非線形材料挙動、不連続性、または特異点を含むシミュレーション

従来の有限差分シミュレーションでは、一次元シミュレーションの定義域は何らかの関数となる。${\displaystyle u(x,t)}$データ値のメッシュとして表現される$u_i^n$地点によっては${\displaystyle x_{i}}$、 どこ

${\displaystyle i=0,1,2...}$

${\displaystyle n=0,1,2...}$

${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}=h\ \forall i}$

$\displaystyle t_{n+1}-t_{n}=k\ \forall n}$

この領域では、例えばいくつかの有限差分公式を用いて、シミュレーション対象の方程式に現れる導関数を定義することができる。

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n} \over 2h}}$

そして

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}={u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n} \over k}}$

そうすれば、これらの定義を使用できます${\displaystyle u(x,t)}$そして、その空間微分と時間微分を用いて、シミュレーション対象の方程式を有限差分形式で記述し、その後、多くの有限差分法のいずれかを用いて方程式をシミュレーションします。

この単純な例では、ステップ（ここでは空間ステップ）${\displaystyle h}$タイムステップ${\displaystyle k}$）はメッシュ全体にわたって一定であり、データ値の左右のメッシュ隣接点は${\displaystyle x_{i}}$値は${\displaystyle x_{i-1}}$そして${\displaystyle x_{i+1}}$それぞれ。一般的に、有限差分法では、メッシュに沿ってステップが変化することを非常に簡単に許容できますが、すべての元のノードは保持され、元の要素を変形することによってのみ独立して移動できます。すべてのノードのうち2つだけでも順序が変わったり、シミュレーションにノードが1つ追加または削除されたりすると、元のメッシュに欠陥が生じ、単純な有限差分近似はもはや成り立ちません。

最も古いメッシュフリー法の1つである平滑化粒子流体動力学（SPH）は、データ点を時間とともに移動し、何らかの値を持つ質量と密度を持つ物理的な粒子として扱うことでこの問題を解決します。$u_i$彼らと共に。SPH は次に値を定義します。${\displaystyle u(x,t)}$粒子間に

${\displaystyle u(x,t_{n})=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}W(|x-x_{i}|)}$

どこ${\displaystyle m_{i}}$粒子の質量${\displaystyle i}$、$\displaystyle \rho _{i}}$粒子密度${\displaystyle i}$、 そして${\displaystyle W}$は近傍のデータ点に作用するカーネル関数であり、滑らかさやその他の有用な特性のために選択されます。線形性により、空間微分は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}{\partial W(|x-x_{i}|) \over \partial x}}$

そうすれば、これらの定義を使用できます${\displaystyle u(x,t)}$そして、その空間微分を用いて、シミュレーション対象の方程式を常微分方程式として記述し、多数の数値計算手法のいずれかを用いてその方程式をシミュレーションします。物理的に言えば、これは粒子間の力を計算し、次にこれらの力を時間積分して粒子の運動を決定することを意味します。

この状況におけるSPHの利点は、以下の式が${\displaystyle u(x,t)}$また、その派生関数は粒子間の隣接情報に依存しないため、粒子を任意の順序で使用できます。したがって、粒子が移動したり、位置を交換したりしても問題ありません。

SPHの欠点の1つは、粒子の最近傍を決定するために追加のプログラミングが必要になることです。カーネル関数は${\displaystyle W}$カーネル関数は通常コンパクトなサポートを持つものを選ぶため、スムージング長の2倍以内の近傍粒子に対してのみゼロ以外の結果を返すため、大規模なシミュレーションで全ての粒子に対して上記の合計を計算するのは無駄な労力となります。そのため、通常、SPHシミュレータでは、この最近傍計算を高速化するための追加コードが必要となります。

最も初期のメッシュフリー法の1つは、1977年に発表された平滑化粒子流体動力学です。 ^{[ 1 ]} Liberskyら^{[ 2 ]}は、固体力学にSPHを初めて適用しました。SPHの主な欠点は、境界付近での結果の不正確さと、Swegleによって最初に調査された張力不安定性です。^{[ 3 ]}

1990年代には、ガラーキン法に基づく新しいクラスのメッシュフリー法が登場しました。Nayrolesらが開拓したこの最初の方法は、拡散要素法^{[ 4 ]} （DEM）と呼ばれ、偏微分方程式のガラーキン解法においてMLS近似とMLS関数の近似導関数を利用しました。その後、Belytschkoは要素フリーガラーキン（EFG）法^{[ 5 ]}を開拓しました。この方法は、境界条件を強制するためにラグランジュ乗数を用いたMLS、弱形式での高次数値積分、および精度を向上させるMLS近似の完全な導関数を採用しました。ほぼ同時期に、再生核粒子法^{[ 6 ]}（RKPM）が登場しました。この近似は、境界付近、非一様離散化、および一般的に高次の精度を与えるために、SPHにおける核推定を修正することを目的としたものです。特筆すべきは、並行して、同様の機能を提供するマテリアルポイント法がほぼ同時期に開発されたことである^{[ 7 ]} 。マテリアルポイント法は、映画『アナと雪の女王』の雪のように、大きな変形を伴う固体力学をシミュレートするために映画業界で広く使用されている^{[ 8 ]}。RKPMやその他のメッシュフリー法は、1990年代後半にChen、Liu、Liによってさまざまなアプリケーションやさまざまなクラスの問題向けに広く開発された^{[ 9 ]} 。 1990年代以降、以下に挙げるものを含む、他のいくつかのバリエーションが開発された。

以下の数値計算法は、一般的に「メッシュフリー」法という包括的な分類に属するものと考えられています。括弧内には略語を付記します。

• 平滑化粒子流体動力学（SPH）（1977年）
• 拡散要素法（DEM）（1992年）
• 散逸粒子動力学（DPD）（1992年）
• 要素フリーガラーキン法（EFG / EFGM）（1994年）
• 再生核粒子法（RKPM）（1995年）
• 有限点法（FPM）（1996年）
• 有限点集合法（FPM）（1998年）
• hp-クラウド
• 自然要素法（NEM）
• 材料点法（MPM）
• メッシュレス局所ペトロフ・ガラーキン法（MLPG）（1998）^{[ 10 ]}
• 一般化ひずみメッシュフリー（GSMF）定式化（2016）^{[ 11 ]}
• 移動粒子半陰解法（MPS）
• 一般化有限差分法（GFDM）^{[ 12 ] [ 13 ]}
• 粒子細胞法（PIC）
• 移動粒子有限要素法（MPFEM）
• 有限クラウド法（FCM）
• 境界ノード法（BNM）
• メッシュフリー移動クリギング補間法（MK）
• 境界クラウド法（BCM）
• 基本解法（MFS）
• 特定解法（MPS）
• 有限球法（MFS）
• 離散渦法（DVM）
• 再生核粒子法（RKPM）（1995）^{[ 14 ]}
• 一般化/勾配再生カーネル粒子法（2011）^{[ 15 ]}
• 有限質量法（FMM）（2000）^{[ 16 ]}
• 平滑化点補間法（S-PIM）（2005年）。^{[ 17 ]}
• メッシュフリーの局所放射状点補間法（RPIM）。^{[ 17 ]}
• 局所放射基底関数コロケーション法（LRBFCM）^{[ 18 ]}
• 粘性渦領域法（VVD）
• クラッキング粒子法（CPM）（2004年）
• 離散最小二乗メッシュレス法（DLSM）（2006）
• 浸漬粒子法（IPM）（2006年）
• 最適輸送メッシュフリー法（OTM）（2010）^{[ 19 ]}
• 繰り返し置換法（RRM）（2012）^{[ 20 ]}
• 動径基底積分方程式法^{[ 21 ]}
• 最小二乗コロケーションメッシュレス法（2001）^{[ 22 ]}
• 指数基底関数法（EBFs）（2010）^{[ 23 ]}

関連メソッド：

• 移動最小二乗法（MLS） – 任意のノードセットに対する一般的な近似法を提供する
• 単位分割法（PoUM）は、一部のメッシュフリー法で使用される一般的な近似定式化を提供する。
• 連続ブレンド法（有限要素法とメッシュレス法の拡張と結合） – Huerta & Fernández-Méndez (2000)を参照
• 拡張有限要素法、一般化有限要素法（XFEM、GFEM） – メッシュレスの側面を組み合わせた有限要素法（FEM）の派生形
• 平滑化有限要素法（S-FEM）（2007）
• 勾配平滑化法（GSM）（2008）
• フロントノード生成の進歩（AFN）^{[ 24 ]}
• 局所最大エントロピー（LME） – Arroyo & Ortiz (2006)を参照
• 時空間メッシュフリーコロケーション法（STMCM） – Netuzhylov（2008）、Netuzhylov & Zilian（2009）を参照。
• メッシュフリーインターフェース有限要素法（MIFEM）（2015） - 相転移および多相流問題の数値シミュレーションのためのハイブリッド有限要素メッシュフリー法^{[ 25 ]}

メッシュフリー法の進歩の主な分野は、基本境界条件の強制、数値積分、接触および大きな変形に関する問題に対処することです。^{[ 26 ]}一般的な弱形式では、基本境界条件を強く強制する必要がありますが、メッシュフリー法は一般的にクロネッカーデルタ特性がありません。このため、基本境界条件の強制は自明ではなく、少なくとも直接課すことができる有限要素法よりも困難です。この困難を克服し、条件を強く課すための技術が開発されています。基本境界条件を弱く課すためのいくつかの方法が開発されており、ラグランジュ乗数法、ニッチェ法、ペナルティ法などがあります。

数値積分に関しては、一般的に節点積分が好まれます。これは、シンプルさ、効率性を提供し、メッシュフリー法をメッシュフリーに保つことができるためです（ガウス積分では、積分点と重みを生成するためにメッシュが必要になります）。しかし、節点積分は、短波長モードに関連するひずみエネルギーの過小評価により数値的不安定性に悩まされ、^{[ 27 ]}また、弱形式の積分不足により不正確で収束しない結果をもたらします。^{[ 28 ]}数値積分における大きな進歩の 1 つは、これらの問題の 2 つに悩まされない節点積分法を提供する安定化適合節点積分 (SCNI) の開発です。^{[ 28 ]}この方法は、1 次パッチ テストを満たすひずみ平滑化に基づいています。しかし、後に、SCNI には低エネルギー モードがまだ存在することが判明し、追加の安定化方法が開発されました。この方法は、薄板や厚板、多孔質力学、対流支配問題など、さまざまな問題に適用されてきました。^{[ 26 ]}最近では、ペトロフ・ガラーキン法に基づいて、任意の次数パッチテストに合格するためのフレームワークが開発されました。^{[ 29 ]}

メッシュフリー法の最近の進歩の 1 つは、モデリングとシミュレーションの自動化のための計算ツールの開発を目指しています。これは、G 空間理論に基づくいわゆる弱化弱 (W2) 定式化によって可能になります。^{[ 30 ] [ 31 ]} W2 定式化は、三角形メッシュでうまく機能するさまざまな (均一に) 「ソフト」なモデルを定式化する可能性を提供します。三角形メッシュは自動的に生成できるため、再メッシュがはるかに簡単になり、モデリングとシミュレーションの自動化が可能になります。さらに、W2 モデルは (均一な方法で) 十分にソフトにすることができ、上限解 (力駆動問題の場合) を生成できます。剛性モデル (完全互換 FEM モデルなど) と組み合わせることで、解を両側から簡単に制限できます。これにより、三角形メッシュを生成できる限り、一般的に複雑な問題に対するエラー推定が容易になります。典型的な W2 モデルは、平滑化点補間法 (S-PIM) です。^{[ 17 ]} S-PIM は、ノードベース (NS-PIM または LC-PIM として知られる)、^{[ 32 ]}エッジベース (ES-PIM)、^{[ 33 ]}およびセルベース (CS-PIM) にすることができます。^{[ 34 ]} NS-PIM は、いわゆる SCNI 技術を使用して開発されました。^{[ 28 ]}その後、NS-PIM は上限解と体積ロッキングフリーを生成できることが発見されました。^{[ 35 ]} ES-PIM は精度が優れていることがわかり、CS-PIM は NS-PIM と ES-PIM の中間の挙動を示します。さらに、W2 定式化では、形状関数の作成に多項式および放射基底関数を使用できます (G1 空間にある限り、不連続変位関数に対応します)。これにより、将来の開発の余地がさらに広がります。 W2 定式化により、メッシュフリー技術と十分に開発された FEM 技術の組み合わせの開発も進み、現在では三角形メッシュを優れた精度と望ましい柔軟性で使用できるようになりました。このような定式化の典型例は、いわゆる平滑化有限要素法 (S-FEM) です。^{[ 36 ]} S-FEM は S-PIM の線形バージョンですが、S-PIM の特性のほとんどを備え、はるかに単純です。

メッシュフリー法は有限要素法に比べてはるかにコストがかかるというのが一般的な認識である。しかし、最近の研究では、S-PIMやS-FEMなどのメッシュフリー法は有限要素法に比べてはるかに高速であることが判明している。^{[ 17 ] [ 36 ]}

S-PIMとS-FEMは固体力学の問題にはよく機能します。CFD問題の場合、強力な定式化により、定式化をより簡単にすることができます。勾配平滑化法（GSM）も最近CFD問題用に開発され、勾配平滑化のアイデアを強力な形式で実装しています。^{[ 37 ] [ 38 ]} GSMは[FVM]に似ていますが、勾配平滑化操作をネストされた形式でのみ使用し、偏微分方程式の一般的な数値法です。

節点積分は、有限要素を用いてメッシュフリー挙動を模倣する手法として提案されている。 しかし、節点積分要素を使用する際に克服しなければならない課題は、節点における量が連続的ではなく、節点が複数の要素間で共有される点である。

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