有限体積法

有限体積法( FVM ) は、代数方程式の形で偏微分方程式を表現し、評価する方法です。 ^{[1]有限体積法では、}発散項 を含む偏微分方程式の体積積分は、発散定理を使用して面積積分に変換されます。これらの項は、各有限体積の表面でのフラックスとして評価されます。特定の体積に入るフラックスは、隣接する体積から出るフラックスと同じであるため、これらの方法は保守的です。有限体積法のもう1つの利点は、非構造メッシュを考慮して簡単に定式化できることです。この方法は、多くの計算流体力学パッケージで使用されています。「有限体積」とは、メッシュ上の各ノードポイントを囲む小さな体積を指します。^[2]

有限体積法は、節点値を使用して導関数を近似する有限差分法や、局所データを使用して解の局所近似を作成し、それらをつなぎ合わせて全体近似を構築する有限要素法と比較対照することができます。対照的に、有限体積法は、ある体積にわたる解の平均値の正確な式を評価し、このデータを使用してセル内の解の近似を構築します。^{[3] [4]}

単純な 1D移流問題を考えてみます。

ここで、 は状態変数を表し、は のフラックスまたは流れを表します。慣例的に、正は右方向の流れを表し、負は左方向の流れを表します。式 ( 1 ) が一定面積の流れ媒体を表すと仮定すると、空間領域 を有限体積またはセルに分割することができ、セル中心は で示されます。特定のセル について、時間およびにおける の体積平均値を次のように定義できます。 ${\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)}$${\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)}$${\displaystyle {t=t_{1}}}$${\displaystyle {x\in \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}}$

そして、時には、 ${\displaystyle t=t_{2}}$

ここで、およびはそれぞれセルの上流​​および下流の面またはエッジの位置を表します。 ${\displaystyle x_{i-1/2}}$${\displaystyle x_{i+1/2}}$${\displaystyle i^{\text{th}}}$

式（１）を時間的に積分すると次のようになる。

どこ。 ${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$

時刻 におけるの体積平均を得るには、セルの体積を積分し、その結果を で割ります。つまり、 ${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$${\displaystyle t=t_{2}}$${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$${\displaystyle \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}$${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}$

は適切に動作し、積分の順序を逆にできると仮定します。また、流れはセルの単位面積に対して垂直であることを思い出してください。ここで、1 次元では発散定理を適用できます。つまり、 であり、発散の体積積分を、有限体積のセル表面 (端と) で評価されたの値で次のように置き換えます。 ${\displaystyle f\ }$${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x_{i-1/2}}$${\displaystyle x_{i+1/2}}$

どこ。 ${\displaystyle f_{i\pm 1/2}=f\left(x_{i\pm 1/2},t\right)}$

したがって、セル中心を、セル端フラックスをとしてインデックス付けした上記の問題に対する半離散数値スキームを、( 6 )を時間について 微分して次のように導くことができる。${\displaystyle i}$${\displaystyle i\pm 1/2}$

ここで、エッジフラックスの値は、セル平均の内挿または外挿によって再構築できます。式( 7 )は体積平均に対して 正確です。つまり、導出中に近似は行われていません。${\displaystyle f_{i\pm 1/2}}$

この方法は、ノード周囲の東西面に加えて、北面と南面を考慮することで 2D状況にも適用できます。

次のような偏微分方程式で表される一般保存則問題も考えることができる。

ここで、 は状態のベクトルを表し、 は対応するフラックステンソルを表します。ここでも、空間領域を有限の体積またはセルに分割することができます。特定のセル について、セルの全体積 に対する体積積分を取ると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}}$

最初の項を積分して体積平均を求め、発散定理を2番目の項に適用すると、次の式が得られます。

ここで、は細胞の全表面積を表し、は表面に垂直で外側を向く単位ベクトルである。したがって、最終的に、（8）と同等の一般的な結果を提示することができる。 ${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle {\mathbf {n} }}$

エッジフラックスの値は、セル平均の内挿または外挿によって再構築できます。実際の数値スキームは、問題の形状とメッシュ構成によって異なります。MUSCL再構築は、ソリューションに衝撃や不連続性が存在する高解像度スキームでよく使用されます。

有限体積法は、セル平均がエッジフラックスを通じて変化するため、保守的です。言い換えれば、1 つのセルの損失は常に別のセルの利益です。

• 有限要素法
• フラックスリミッター
• ゴドゥノフの計画
• ゴドゥノフの定理
• 高解像度スキーム
• KIVA（ソフトウェア）
• MIT一般循環モデル
• MUSCLスキーム
• セルゲイ・K・ゴドゥノフ
• 総変動は減少している
• 非定常流れに対する有限体積法

• Eymard, R. Gallouët, TR, Herbin, R. (2000)有限体積法 『数値解析ハンドブック』第 VII 巻、2000 年、p. 713–1020。編集者: PG Ciarlet および JL Lions。
• Hirsch, C. (1990)、「内部流れと外部流れの数値計算、第 2 巻: 非粘性流れと粘性流れの計算方法」、Wiley。
• Laney, Culbert B. (1998)、「計算ガスダイナミクス」、ケンブリッジ大学出版局。
• LeVeque, Randall (1990)、「保存則の数値的手法」、ETH 数学講義シリーズ、Birkhauser-Verlag。
• LeVeque, Randall (2002)、「双曲型問題に対する有限体積法」、ケンブリッジ大学出版局。
• Patankar, Suhas V. (1980)、「数値的熱伝達と流体の流れ」、Hemisphere。
• Tannehill, John C.、他 (1997)、「計算流体力学および熱伝達」、第 2 版、Taylor and Francis。
• Toro, EF (1999)、「流体力学のためのリーマンソルバーと数値手法」、Springer-Verlag。
• Wesseling, Pieter (2001)、「計算流体力学の原理」、Springer-Verlag。

• R. Eymard、T Gallouët、 R. Herbinによる有限体積法、2000 年の数値解析ハンドブックに掲載された記事の更新版
• Rübenkönig, Oliver. 「有限体積法 (FVM) – 入門」。2009 年 10 月 2 日にオリジナルからアーカイブされました。GFDLに基づいて利用可能です。
• FiPy: NIST の Python を使用した有限体積 PDE ソルバー。
• CLAWPACK: 波動伝播アプローチを使用して双曲偏微分方程式の数値解を計算するように設計されたソフトウェア パッケージ