ボレル関数計算

ボレル関数解析は、数学の一分野である関数解析において、特に広い適用範囲を持つ関数解析（つまり、可換代数の演算子をそのスペクトル上で定義された関数に割り当てる）である。^{[1] [2]}したがって、たとえばTが演算子である場合、平方関数s → s ^2をTに適用すると、演算子T ^{2が得られる。関数解析をより大規模な関数クラスに適用すると、たとえば（負の）}ラプラシアン演算子−Δの「平方根」や指数関数を厳密に定義できる。 ${\displaystyle e^{it\Delta }.}$

ここでの「スコープ」とは、許可される演算子の機能の種類を意味します。ボレル関数計算は連続関数計算よりも一般的であり、その焦点は正則関数計算とは異なります。

より正確には、ボレル関数計算により、多項式関数の適用を一般化する方法で、任意のボレル関数を自己随伴演算子に適用することが可能になります。

T が有限次元内積空間 H上の自己随伴作用素である場合、H はTの固有ベクトルからなる正規直交基底 { e ₁ , ..., e _ℓ }を持ち、それは $${\displaystyle Te_{k}=\lambda _{k}e_{k},\qquad 1\leq k\leq \ell .}$$

したがって、任意の正の整数nに対して、 $${\displaystyle T^{n}e_{k}=\lambda _{k}^{n}e_{k}.}$$

T内の多項式のみを考慮すると、正則関数計算が得られます。この関係は、 Tのより一般的な関数にも当てはまります。ボレル関数 hが与えられた場合、次の式に基づいてその動作を指定することにより、演算子h ( T ) を定義できます。 $${\displaystyle h(T)e_{k}=h(\lambda _{k})e_{k}.}$$

一般に、任意の自己随伴演算子Tは乗算演算子とユニタリ同値である。つまり、多くの目的において、T はある測度空間のL ² に作用する演算子とみなすことができる 。 Tの定義域は、上記の式がL ²に含まれる関数から構成される。このような場合、同様に定義できる。 $${\displaystyle [T\psi ](x)=f(x)\psi (x)}$$$${\displaystyle [h(T)\psi ](x)=[h\circ f](x)\psi (x).}$$

多くの技術的な目的においては、前の定式化で十分です。しかし、関数計算を、乗算演算子としてのTの特定の表現に依存しない方法で定式化することが望ましいです。次のセクションでは、それを行います。

正式には、ヒルベルト空間H上の自己随伴作用素Tの有界ボレル関数計算は、実数直線上の 有界複素数値ボレル関数fの空間上に定義される写像であり、 以下の条件が成り立つ。 $${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{T}:L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\\f\mapsto f(T)\end{cases}}}$$

• π _{T は}、 R上の複素数値有界測定可能関数の環からの反転を保存し単位を保存する準同型です。
• ξ がHの元である場合、 はRのボレル集合E上の可算加法測度です。上記の式1で、 _{E は}Eの指示関数を表します。これらの測度 ν _{ξ は}Tのスペクトル測度と呼ばれます。$${\displaystyle \nu _{\xi }:E\mapsto \langle \pi _{T}(\mathbf {1} _{E})\xi ,\xi \rangle }$$
• η がC上の写像z → zを表す場合、次のようになります。$${\displaystyle \pi _{T}\left([\eta +i]^{-1}\right)=[T+i]^{-1}.}$$

これは、有界関数を、おそらくは有界でない自己随伴演算子に適用するための関数計算を定義します。有界関数計算を使用すると、1パラメータユニタリ群に関するストーンの定理の一部を証明できます。

応用として、シュレーディンガー方程式、または同等の量子力学システムのダイナミクスを考察します。非相対論的 量子力学では、ハミルトニアン演算子Hは量子力学システムSの全エネルギー 観測量をモデル化します。iH によって生成されるユニタリ群は、Sの時間発展に対応します。

また、ボレル関数計算を使用して、熱方程式やマクスウェル方程式などの 線形初期値問題を抽象的に解くこともできます。

関数計算の特性を持つマッピングの存在は証明を必要とする。有界自己随伴演算子Tの場合、ボレル関数計算の存在は次のように初等的に示すことができる。

まず、ストーン・ワイエルシュトラスの定理を用いて、多項式から連続関数計算へと進みます。ここで重要な事実は、有界自己随伴演算子Tと多項式pに対して、 $${\displaystyle \|p(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|p(\lambda )|.}$$

その結果、写像は 等長写像であり、多項式関数の環上で稠密に定義された準同型である。連続性による拡張により、Tのスペクトル上の連続関数fに対してf ( T ) が定義される。リース・マルコフの定理により、連続関数上の積分からスペクトル測度に移行することができ、これがボレル関数計算である。 $${\displaystyle p\mapsto p(T)}$$

あるいは、可換バナッハ代数の文脈では、ゲルファント変換を介して連続計算を得ることができます。測定可能な関数への拡張は、上記のようにリース・マルコフを適用することで実現されます。この定式化では、T は正規演算子になります。

演算子Tが与えられたとき、連続関数計算h → h ( T )の値域は、 Tによって生成される(アーベル) C*-代数C ( T ) です。ボレル関数計算はより広い値域、つまり弱い演算子位相におけるC ( T )の閉包、つまり (依然としてアーベル)フォン・ノイマン代数を持ちます。

必ずしも有界でないボレル関数hに対して関数計算を定義することもできます。その結果は、一般に有界にならない演算子になります。スペクトル定理によって与えられた自己随伴演算子の関数fモデルによる乗算を使用すると、これはhとfの合成による乗算になります。

前の定理の演算子Sはh ( T )と表記されます。

より一般的には、ボレル関数計算は（有界な）正規演算子に対しても存在します。

を自己随伴演算子とする。 がRのボレル部分集合で、 がEの指示関数である場合、 はH上の自己随伴射影である。このとき、写像は 射影値測度 である。に対するRの測度はH上の恒等演算子である。言い換えれば、恒等演算子はスペクトル積分として表すことができる。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {1} _{E}}$${\displaystyle \mathbf {1} _{E}(T)}$$${\displaystyle \Omega _{T}:E\mapsto \mathbf {1} _{E}(T)}$$${\textstyle \Omega _{T}}$

${\displaystyle I=\Omega _{T}([-\infty ,\infty ])=\int _{-\infty }^{\infty }d\Omega _{T}}$。

ストーンの公式^[3]はスペクトル測度をレゾルベントで表す。 ${\displaystyle \Omega _{T}}$ ${\displaystyle R_{T}(\lambda )\equiv \left(T-\lambda I\right)^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}\left[R_{T}(\lambda +i\epsilon ))-R_{T}(\lambda -i\epsilon )\right]\,d\lambda =\Omega _{T}((a,b))+{\frac {1}{2}}\left[\Omega _{T}(\{a\})+\Omega _{T}(\{b\})\right].}$

情報源に応じて、恒等式の解決は、射影値測度として定義されるか、^[4]または射影値測度の1パラメータ族として定義される。^[5]${\displaystyle \Omega _{T}}$${\displaystyle \{\Sigma _{\lambda }\}}$${\displaystyle -\infty <\lambda <\infty }$

離散測度の場合（特に、Hが有限次元の場合）、は ディラック表記法でのように記述できます 。ここで、各 はTの正規化された固有ベクトルです。この集合はHの正規直交基底です。 ${\textstyle I=\int 1\,d\Omega _{T}}$$${\displaystyle I=\sum _{i}\left|i\right\rangle \left\langle i\right|}$$${\displaystyle |i\rangle }$${\displaystyle \{|i\rangle \}}$

物理学の文献では、上記を経験則として使用し、スペクトル測定がもはや離散的でない場合に移り、恒等式の解決を と書き 、「連続基底」または「基底状態の連続体」について語ります。数学的には、厳密な正当化が与えられない限り、この表現は純粋に形式的なものです。 $${\displaystyle I=\int \!\!di~|i\rangle \langle i|}$$${\displaystyle \{|i\rangle \}}$