行列符号関数

数学において、行列符号関数は、複素符号関数に類似した正方行列上の行列関数である。^[1]

これは1971年にJDロバーツによって、モデルの縮小とリアプノフ方程式および代数リカッチ方程式を解くためのツールとしてケンブリッジ大学の技術レポートで導入され、後に1980年に雑誌に掲載されました。 ^{[2] [3]}

行列符号関数は複素符号関数の一般化である。

${\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\end{cases}}}$

を行列値の類似物 に変換します。符号関数は解析的ではありませんが、行列関数 は虚軸上に固有値を持たないすべての行列に対して適切に定義されます。たとえば、ジョルダン形式に基づく定義(導関数がすべてゼロ) を参照してください。 ${\displaystyle \operatorname {csgn} (A)}$

定理:ならば とする。[ ^1]${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle \operatorname {csgn} (A)^{2}=I}$

定理：のとき、 は対角化可能であり、 の固有値は である。^[1]${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle \operatorname {csgn} (A)}$${\displaystyle \pm 1}$

定理：とすると、 は右半平面の固有値に関連付けられた不変部分空間への射影となり、および左半平面 についても同様に成り立つ。^[1]${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle (I+\operatorname {csgn} (A))/2}$${\displaystyle (I-\operatorname {csgn} (A))/2}$

定理:、およびをジョルダン分解とし、これらが正の実部を持つ固有値に、負の実部を持つ固有値に対応するものとする。このとき、となり、 および はそれぞれおよびに対応するサイズの恒等行列となる。^[1]${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}J_{+}&0\\0&J_{-}\end{bmatrix}}P^{-1}}$${\displaystyle J_{+}}$${\displaystyle J_{-}}$${\displaystyle \operatorname {csgn} (A)=P{\begin{bmatrix}I_{+}&0\\0&-I_{-}\end{bmatrix}}P^{-1}}$${\displaystyle I_{+}}$${\displaystyle I_{-}}$${\displaystyle J_{+}}$${\displaystyle J_{-}}$

この関数は行列関数の一般的な方法で計算できますが、特殊な方法もあります。

ニュートン反復法は、 を観察することによって導出することができ、これは行列では と表すことができ、ここでは行列の平方根を使用する。バビロニア法を適用して行列 の平方根、つまり反復を計算し、新しい反復 を定義すると、反復 に到達する。 ${\displaystyle \operatorname {csgn} (x)={\sqrt {x^{2}}}/x}$${\displaystyle \operatorname {csgn} (A)=A^{-1}{\sqrt {A^{2}}}}$${\displaystyle A^{2}}$${\textstyle X_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(X_{k}+AX_{k}^{-1}\right)}$${\displaystyle Z_{k}=A^{-1}X_{k}}$

${\displaystyle Z_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(Z_{k}+Z_{k}^{-1}\right)}$、

ここで典型的には収束は大域的であり、局所的には2次的である。^{[1] [2]}${\displaystyle Z_{0}=A}$

ニュートン反復法では、反復の明示的な逆を使用します。 ${\displaystyle Z_{k}}$

ニュートン反復法で明示的に逆元を求める必要がないように、逆元は1933年にシュルツ(デ)によって導出された逆元、に対するニュートン反復法の1ステップで近似することができる。 ^[4]この近似を以前の方法に代入すると、新しい方法は次のようになる。 ${\displaystyle Z_{k}^{-1}\approx Z_{k}\left(2I-Z_{k}^{2}\right)}$

${\displaystyle Z_{k+1}={\frac {1}{2}}Z_{k}\left(3I-Z_{k}^{2}\right)}$。

収束は（依然として）二次収束だが、局所的である（ に対して保証されている）。^[1]${\displaystyle \|IA^{2}\|<1}$

定理: ^{[2] [3]}および が安定であると仮定すると、シルベスター方程式の唯一の解 はによって 与えられ、${\displaystyle A,B,C\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AX+XB=C}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-I&2X\\0&I\end{bmatrix}}=\operatorname {csgn} \left({\begin{bmatrix}A&-C\\0&-B\end{bmatrix}}\right).}$

証明スケッチ:結果は相似変換から得られる

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&-C\\0&-B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I&X\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&0\\0&-B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&X\\0&I\end{bmatrix}}^{-1},}$

以来

${\displaystyle \operatorname {csgn} \left({\begin{bmatrix}A&-C\\0&-B\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}I&X\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\0&-I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-X\\0&I\end{bmatrix}},}$

およびの安定性によるものです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

この定理は、当然ながら、リアプノフ方程式にも適用できます。ただし、 の構造により、ニュートン反復法はおよびの逆関数のみを含む に簡略化されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{T}}$

代数リカッチ方程式にも同様の結果が得られる。^{[1] [2]}次のように 定義する。${\displaystyle A^{H}P+PA-PFP+Q=0}$${\displaystyle V,W\in \mathbb {C} ^{2n\times n}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V&W\end{bmatrix}}=\operatorname {csgn} \left({\begin{bmatrix}A^{H}&Q\\F&-A\end{bmatrix}}\right)-{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}.}$

がエルミートであり、安定であるという意味で唯一の安定化解が存在するという仮定の下では、その解は過剰決定だが矛盾のない線形システム によって与えられる。${\displaystyle F,Q\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle A-FP}$

${\displaystyle VP=-W.}$

証明スケッチ:相似変換

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A^{H}&Q\\F&-A\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P&-I\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}(-A-FP)&-F\\0&(A-FP)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P&-I\\I&0\end{bmatrix}}^{-1},}$

そしての安定性は、 ${\displaystyle A-FP}$

${\displaystyle \left(\operatorname {csgn} \left({\begin{bmatrix}A^{H}&Q\\F&-A\end{bmatrix}}\right)-{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}X&-I\\I&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X&-I\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&Y\\0&-2I\end{bmatrix}},}$

ある行列に対して。 ${\displaystyle Y\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

行列の平方根を求めるデンマン・ビーバーズ反復法は、行列の符号関数のニュートン反復法から、退化した代数リカッチ方程式[3]であることに注目することで導出でき、定義により解^はの平方根である。 ${\displaystyle A-PIP=0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$