メビウスエネルギー

数学 において、結び目のメビウスエネルギーは、結び目の空間上の汎関数である特定の結び目エネルギーです。これは、結び目の糸が互いに近づくにつれてエネルギーが爆発することを示した大原淳によって発見されました。 ^{[ 1 ]}これは、自己交差を防ぎ、勾配降下法による結果が同じ結び目タイプであること を保証するため、有用な性質です。

メビウス変換の下でのメビウスエネルギーの不変性は、マイケル・フリードマン、鄭旭・ヘ、鄭漢王（1994）によって実証され、彼らはそれを用いて、${\displaystyle C^{1,1}}$プライムノットの各同位体クラスにおけるエネルギー最小化。また、任意のノット構造の最小エネルギーは円形によって達成されることも示した。^{[ 3 ]}

推測では、複合結び目にはエネルギー最小化解は存在しない。ロバート・B・クスナーとジョン・M・サリバンは、メビウスエネルギーの離散化バージョンを用いたコンピュータ実験を行い、2つの三つ葉結び目の和にはエネルギー最小化解が存在しないはずだと結論づけた（ただし、これは証明ではない）。

3次元球面のメビウス変換を思い出してください $\displaystyle S^{3}=\mathbf {R} ^{3}\cup \infty }$は、2次元球面における反転によって生成される角度保存微分同相写像の10次元群である。例えば、球面における反転は${\displaystyle \{\mathbf {v} \in \mathbf {R} ^{3}\colon |\mathbf {v} -\mathbf {a} |=\rho \}}$定義される ${\displaystyle \mathbf {x} \to \mathbf {a} +{\rho ^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {a} |^{2}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} ).}$

整流可能な単純曲線について考えてみましょう。${\displaystyle \gamma (u)}$ユークリッド3次元空間において$\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$、 どこ${\displaystyle u}$に属する$\displaystyle \mathbf {R} ^{1}}$または$\displaystyle S^{1}}$エネルギーを定義する

${\displaystyle E(\gamma )=\iint \left\{{\frac {1}{|\gamma (u)-\gamma (v)|^{2}}}-{\frac {1}{D(\gamma (u),\gamma (v))^{2}}}\right\}|{\dot {\gamma }}(u)||{\dot {\gamma }}(v)|\,du\,dv,}$

どこ${\displaystyle D(\ガンマ (u),\ガンマ (v))}$最短弧距離は${\displaystyle \gamma (u)}$ そして${\displaystyle \gamma (v)}$曲線上。被積分関数の第2項は正則化項と呼ばれる。${\displaystyle E(\gamma )}$パラメータ化とは無関係であり、${\displaystyle \gamma }$ 類似性によって変化する$\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$さらに、任意の直線のエネルギーは 0 であり、任意の円のエネルギーは${\displaystyle 4}$実際、弧長パラメータ化を用いよう。 を と表記する。${\displaystyle \ell }$曲線の長さ${\displaystyle \gamma }$。 それから

${\displaystyle E(\gamma )=\int _{-\ell /2}^{\ell /2}{}dx\int _{x-\ell /2}^{x+\ell /2}\left[{1 \over |\gamma (x)-\gamma (y)|^{2}}-{1 \over |xy|^{2}}\right]dy.}$

させて${\displaystyle \gamma _{0}(t)=(\cos t,\sin t,0)}$単位円を表す。

${\displaystyle |\gamma _{0}(x)-\gamma _{0}(y)|^{2}={\left(2\sin {\tfrac {1}{2}}(xy)\right)^{2}}}$

そして結果として、

${\displaystyle {\begin{aligned}E(\gamma _{0})&=\int _{-\pi }^{\pi }{}dx\int _{x-\pi }^{x+\pi }\left[{1 \over \left(2\sin {\tfrac {1}{2}}(xy)\right)^{2}}-{1 \over |xy|^{2}}\right]dy\\&=4\pi \int _{0}^{\pi }\left[{1 \over \left(2\sin(y/2)\right)^{2}}-{1 \over |y|^{2}}\right]dy\\&=2\pi \int _{0}^{\pi /2}\left[{1 \over \sin ^{2}y}-{1 \over |y|^{2}}\right]dy\\&=2\pi \left[{1 \over u}-\cot u\right]_{u=0}^{\pi /2}=4\end{aligned}}}$

以来$\displaystyle {\frac {1}{u}}-\cot u={\frac {u}{3}}-\cdots }$。

左側には、解けた結び目と、それに相当する結び目が示されています。右側のような複雑な結び目が、解けた結び目と等価かどうかを判断するのは、より難しい場合があります。

結び目は、まず一次元の線分から始め、それを任意に巻き付け、その両端を融合させて閉じたループを形成することによって作られます。^{[ 4 ]} 数学的には、結び目は${\displaystyle K}$単射かつ連続な関数である$\displaystyle K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}}$と${\displaystyle K(0)=K(1)}$トポロジーでは、結び目や、リンクや編み紐などの他の絡み合いは、結び目が交差することなく滑らかに移動して別の結び目と一致する場合に、同等であると考える。結び目の同等性の概念は、空間内でかなり異なる位置にあっても、2つの結び目が同じであるとみなされるべき場合を正確に定義することである。数学的な定義では、2つの結び目は${\displaystyle K_{1},K_{2}}$向きを保存する同相写像が存在する場合、それらは同等である。$\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$と${\displaystyle h(K_{1})=K_{2}}$、これは周囲の同位体が存在することと同等であることが知られています。

結び目理論の基本的な問題である認識問題は、2 つの結び目の等価性を決定することです。 この問題を解決するためのアルゴリズムが存在し、最初のアルゴリズムは1960 年代後半にWolfgang Hakenによって与えられました。 ^{[ 5 ]}しかしながら、これらのアルゴリズムは非常に時間がかかる場合があり、この理論における大きな問題は、この問題が実際にどれほど難しいかを理解することです。^{[ 5 ]}結び目が解けていないことを認識する特殊なケースは、結び目が解けている問題と呼ばれ、特に興味深いものです。^{[ 6 ]} 結び目を多角形ではなく滑らかな曲線でイメージします。結び目は平面図で表されます。平面図の特異点は交点と呼ばれ、図の平面領域を分割する領域です。各交点では、4 つの角のうち 2 つに点が付けられ、交点を通るどの枝がもう 1 つの下を通過すると考えられるかを示します。任意の領域にランダムに番号を付けますが、残りのすべての領域の番号は、曲線を右から左に横切るたびに領域番号から次の領域を通過するように固定します。${\displaystyle k}$地域番号へ${\displaystyle k+1}$明らかに、どの交差点でも${\displaystyle c}$同じ数の対角の角が2つあります${\displaystyle k}$そして数字の対角にある2つの角${\displaystyle k-1}$そして${\displaystyle k+1}$それぞれ。${\displaystyle k}$は、${\displaystyle c}$交点は、その点を通る枝がもう一方の枝の下または後ろを通るかによって、右手系と左手系の2種類に分けられます。インデックスの任意の交点において${\displaystyle k}$点線の2つの角は数字です${\displaystyle k}$そして${\displaystyle k+1}$それぞれ、点のない数字の 2 つ${\displaystyle k-1}$そして${\displaystyle k+1}$インデックスの任意の領域の任意の角のインデックス${\displaystyle k}$は、${\displaystyle \{k\pm 1,k\}}$結び目の種類を結び目不変量によって区別したい。非常に単純な不変量が1つある。それはアレクサンダー多項式である。${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$整数係数を持つ。アレクサンダー多項式は次数で対称である。${\displaystyle n}$:${\displaystyle \Delta _{K}(t^{-1})t^{n-1}=\Delta _{K}(t)}$すべての結び目に対して${\displaystyle K}$の ${\displaystyle n>0}$交点。例えば、不変量${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$結び目のない曲線の は 1、三つ葉結びの は${\displaystyle t^{2}-t+1}$。

• 
  左巻きの三つ葉結び。
• 
  右結びの三つ葉結び。

させて

${\displaystyle \omega ({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{4\pi }}\varepsilon _{ijk}{x^{i}dx^{j}\wedge dx^{k} \over |{\boldsymbol {x}}|^{3}}}$標準表面要素を表す${\displaystyle S^{2}}$。

我々は持っています

${\displaystyle \mathrm {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})=\int _{{\boldsymbol {x}}\in \gamma _{1},{\boldsymbol {y}}\in \gamma _{2}}\omega ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}$

${\displaystyle \int _{S^{2}}\omega ({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{2}}\varepsilon _{ijk}x^{i}dx^{j}dx^{k}=1,\qquad \omega (\lambda {\boldsymbol {x}})=\omega ({\boldsymbol {x}}){\rm {sign}}\lambda ,\quad {\rm {for}}\quad \lambda \in \mathbb {R} ^{*}.}$

結び目のために${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} 、 ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)}$、

${\displaystyle \int _{t_{1}<t_{2}<t_{3}<t_{4}<1}\omega (\gamma (t_{1})-\gamma (t_{3}))\wedge \omega (\gamma (t_{2})-\gamma (t_{4}))}$

${\displaystyle +\int _{t_{1}<t_{2}<t_{3},{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\setminus \gamma ([0,1])}\omega (\gamma (t_{1})-{\boldsymbol {x}})\wedge \omega (\gamma (t_{2})-{\boldsymbol {x}})\wedge \omega (\gamma (t_{3})-{\boldsymbol {x}})}$

結び目を変えても、変化しない${\displaystyle \gamma }$同値類において。

させて${\displaystyle \gamma }$閉曲線となる${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$そして${\displaystyle T}$メビウス変換${\displaystyle S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \infty }$。 もし${\displaystyle T(\gamma )}$に含まれる${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$それから${\displaystyle E(T(\gamma ))=E(\gamma )}$。 もし${\displaystyle T(\gamma )}$通過する${\displaystyle \infty }$それから${\displaystyle E(T(\gamma ))=E(\gamma )-4}$。

定理A.すべての整流可能なループの中で${\displaystyle \gamma \colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$丸い円はエネルギーが最も少ない${\displaystyle E({\text{round circle}})=4}$そしてどんな${\displaystyle \gamma }$最小エネルギーパラメータは円を記述する。

定理Aの証明。${\displaystyle T}$ メビウス変換によって点が送られる${\displaystyle \gamma }$無限大へ。エネルギー${\displaystyle E(T(\gamma ))\geq 0}$等号が成り立つのは、${\displaystyle T(\gamma )}$これは直線です。メビウスの不変性を適用すれば証明は完了します。

メビウス不変性の証明。${\displaystyle I}$球面における反転はエネルギーを変換する。${\displaystyle u}$可測閉曲線の弧長パラメータとする${\displaystyle \gamma }$、${\displaystyle u\in \mathbb {R} /\ell \mathbb {Z} }$。 させて

そして

明らかに、${\displaystyle E(\gamma )=\lim _{\varepsilon \to 0}E_{\varepsilon }(\gamma )}$ そして${\displaystyle E(I\circ \gamma )=\lim _{\varepsilon \to 0}E_{\varepsilon }(I\circ \gamma )}$最初の項が正しく変換されるのは、 (余弦定理を使用して) 簡単な計算です。

${\displaystyle {\frac {\|I'(\gamma (u))\|\cdot \|I'(\gamma (v))\|}{|I(\gamma (u))-I(\gamma (v))|^{2}}}={\frac {1}{|\gamma (u)-\gamma (v)|^{2}}}.}$

以来 ${\displaystyle u}$弧長は${\displaystyle \gamma }$（ １ ）の正則化項は基本積分である

させて${\displaystyle s}$弧長パラメータ${\displaystyle I\circ \gamma }$。 それから${\displaystyle ds(u)/du=\|I'(\gamma (u))\|}$どこ${\displaystyle \|I'(\gamma (u))\|=f(u)}$は、${\displaystyle I'}$。 以来${\displaystyle \gamma (u)}$はリプシッツ関数であり、${\displaystyle I'}$滑らかで、${\displaystyle f(u)}$リプシッツ連続であるため、弱い導関数を持つ。${\displaystyle f'(u)\in L^{\infty }}$。

どこ${\displaystyle L={\rm {{Length}(I(\gamma ))}}}$そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{+}&=\varepsilon _{+}(u)=D((I\circ \gamma )(u),(I\circ \gamma )(u+\varepsilon ))=s(u+\varepsilon )-s(u)\\&=\int _{u}^{u+\varepsilon }f(w)\,dw=f(u)\varepsilon +\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u+\varepsilon t)\,dt\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle \varepsilon _{-}=\varepsilon _{-}(u)=D((I\circ \gamma )(u-\varepsilon ),(I\circ \gamma )(u))=f(u)\varepsilon -\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u-\varepsilon t)\,dt.}$

以来${\displaystyle |f'(w)|}$は一様に有界であり、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\varepsilon _{+}}}=&{\frac {1}{f(u)\varepsilon }}\left[{1+{\varepsilon \over f(u)}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u+\varepsilon t)\,dt}\right]^{-1}\\=&{\frac {1}{f(u)\varepsilon }}\left[1-{\frac {\varepsilon }{f(u)}}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u+\varepsilon t)\,dt+O(\varepsilon ^{2})\right]\\=&{\frac {1}{f(u)\varepsilon }}-{\frac {1}{f(u)^{2}}}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u+\varepsilon t)\,dt+O(\varepsilon ).\end{aligned}}}$

同様に、 ${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon _{-}}}={\frac {1}{f(u)\varepsilon }}+{\frac {1}{f(u)^{2}}}\int _{0}^{1}(1-t)f'(u-\varepsilon t)\,dt+O(\varepsilon ).}$

次に（4）

（３）と（５）を比較すると、 ${\displaystyle E_{\varepsilon }(\gamma )-E_{\varepsilon }(I\circ \gamma )=O(\varepsilon );}$ したがって、${\displaystyle E(\gamma )=E(I\circ \gamma )}$。

2番目の主張については、${\displaystyle I}$ポイントを送る${\displaystyle \gamma }$無限大まで。この場合${\displaystyle L=\infty }$したがって、（５ ）の定数項４は消滅する。

フリードマン・ヘ・ワン予想（1994年）は、非自明なリンクのメビウスエネルギーが${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$は、標準ホップリンクの立体投影によって最小化される。これは、2012年にイアン・アゴル、フェルナンド・C・マルケス、アンドレ・ネベスによって、アルムグレン・ピッツの最小最大理論を用いて証明された。^{[ 7 ]}${\displaystyle \gamma _{i}:S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$、${\displaystyle i=1,2,}$ 2 つのコンポーネントのリンク、つまり、ユークリッド 3 次元空間における一対の可測閉曲線で、${\displaystyle \gamma _{1}(S^{1})\cap \gamma _{2}(S^{1})=\emptyset }$リンクのメビウスの十字エネルギー${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2})}$と定義される

${\displaystyle E(\gamma _{1},\gamma _{2})=\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {|{\dot {\gamma }}_{1}(s)||{\dot {\gamma }}_{2}(t)|}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|^{2}}}\,ds\,dt.}$

リンク番号​${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2})}$は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})&=\,{\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2})\\&={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {\mathrm {det} ({\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t))}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|^{3}}}\,ds\,dt.\end{aligned}}}$

連結積分関数の分子には、2 つの線要素間の変位の係数が含まれており、これにより距離の 3 乗依存性が 2 乗に減少します。これは、メビウスのエネルギー積分関数と同様です。連結積分関数は、変位ベクトルとそれらの線要素の 2 つの接線ベクトルの外積との内積によって減少します。この内積は、いくつかの場所では 1 になる場合がありますが、通常は 1 未満です。そのため、${\displaystyle E(\gamma _{1},\gamma _{2})\geq 4\pi |{\rm {link}}(\gamma _{1},\gamma _{2})|}$2 つの円が連結されておらず、互いに非常に離れている場合、交差エネルギーは任意に小さくすることができますが、ゼロにはなりません。連結数が ${\displaystyle \mathrm {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})}$がゼロでない場合、リンクは非分割リンクと呼ばれ、非分割リンクの場合、${\displaystyle E(\gamma _{1},\gamma _{2})\geq 4\pi }$したがって、我々は非分割リンクの最小エネルギーに興味がある。エネルギーの定義は、任意の2成分リンクに拡張されることに注意する。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$メビウスエネルギーは、共形変換の下で不変であるという驚くべき性質を持っています。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$この性質は次のように説明されます。 ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow {S^{3}}}$等角写像を表す。すると${\displaystyle E(\gamma _{1},\gamma _{2})=E(F\circ \gamma _{1},F\circ \gamma _{2}).}$この条件は、メビウス十字エネルギーの共形不変性と呼ばれる性質である。

主定理。${\displaystyle \gamma _{i}:S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$、${\displaystyle i=1,2,}$ 2つのコンポーネントリンクの分割されていないリンクである。${\displaystyle E(\gamma _{1},\gamma _{2})\geq 2\pi ^{2}}$さらに、${\displaystyle E(\gamma _{1},\gamma _{2})=2\pi ^{2}}$すると等角写像が存在する${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow {S^{3}}}$そのため${\displaystyle F\circ \gamma _{1}(t)=(\cos t,\sin t,0,0)}$そして${\displaystyle F\circ \gamma _{2}(t)=(0,0,\cos t,\sin t)}$（方向付けと再パラメータ化までの標準的なホップリンク）。

互いに交わらない2つの微分可能な曲線が与えられた場合${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ガウス写像を定義する${\displaystyle \Gamma }$トーラスから球体へ​

${\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}.}$

リンクのガウスマップ${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2})}$で${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$、で示される${\displaystyle g=G(\gamma _{1},\gamma _{2})}$はリプシッツ地図です${\displaystyle g:S^{1}\times S^{1}\to S^{3}}$定義される ${\displaystyle g(s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}.}$ 開球を次のように表す。${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$中心は${\displaystyle \mathbf {x} }$半径付き${\displaystyle r}$、 による${\displaystyle B_{r}^{4}(\mathbf {x} )}$この球の境界は、${\displaystyle S_{r}^{3}(\mathbf {x} )}$. 本質的に開いたボール${\displaystyle S^{3}}$中心は${\displaystyle \mathbf {p} \in S^{3}}$半径付き${\displaystyle r}$は、で表されます。${\displaystyle B_{r}(\mathbf {p} )}$。 我々は持っています

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial s}}={{\dot {\gamma }}_{1}-\langle g,{\dot {\gamma }}_{1}\rangle g \over |\gamma _{1}-\gamma _{2}|}\quad {\mbox{and}}\quad {\frac {\partial g}{\partial t}}=-{{\dot {\gamma }}_{2}-\langle g,{\dot {\gamma }}_{2}\rangle g \over |\gamma _{1}-\gamma _{2}|}.}$

したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {\partial g}{\partial s}}\right|^{2}\left|{\frac {\partial g}{\partial t}}\right|^{2}-\left\langle {\frac {\partial g}{\partial s}},{\frac {\partial g}{\partial t}}\right\rangle ^{2}&\leq \left|{\frac {\partial g}{\partial s}}\right|^{2}\left|{\frac {\partial g}{\partial t}}\right|^{2}\\&={\frac {|{\dot {\gamma }}_{1}|^{2}-\langle g,{\dot {\gamma }}_{1}\rangle ^{2}}{|\gamma _{1}-\gamma _{2}|^{2}}}{\frac {|{\dot {\gamma }}_{2}|^{2}-\langle g,{\dot {\gamma }}_{2}\rangle ^{2}}{|\gamma _{1}-\gamma _{2}|^{2}}}\\&\leq {\frac {|{\dot {\gamma }}_{1}|^{2}|{\dot {\gamma }}_{2}|^{2}}{|\gamma _{1}-\gamma _{2}|^{4}}}.\end{aligned}}}$

ほぼすべての${\displaystyle (s,t)\in S^{1}\times S^{1}}$、 ${\displaystyle |{\rm {Jac\,}}g|(s,t)\leq {\frac {|{\dot {\gamma }}_{1}(s)||{\dot {\gamma }}_{2}(t)|}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|^{2}}}.}$ 等号が成立する場合${\displaystyle (s,t)}$、 それから ${\displaystyle \langle {\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t)\rangle =\langle {\dot {\gamma }}_{1}(s),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\rangle =\langle {\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)\rangle =0.}$

${\displaystyle {\mathbf {M} }(C)\leq \int _{S^{1}\times S^{1}}|{\rm {Jac\,}}g|\,ds\,dt\leq E(\gamma _{1},\gamma _{2}).}$

リンクが${\displaystyle (\gamma _{1},\gamma _{2})}$単位法線ベクトルを持つ向き付けられたアフィン超平面内に含まれる${\displaystyle \mathbf {p} \in S^{3}}$向きと互換性がある場合、 ${\displaystyle C={\rm {link}}(\gamma _{1},\gamma _{2})\cdot \partial B_{\pi /2}(-\mathbf {p} ).}$

• アダムス、コリン（2004）。『結び目の本：結び目の数学理論への初歩的入門』アメリカ数学会。ISBN 9780821836781。
• Hass, Joel (1998 年 4 月～5 月). 「結び目と 3 次元多様体を認識するためのアルゴリズム」. Chaos, Solitons and Fractals . 9 ( 4–5 ): 569–581 . arXiv : math/9712269 . Bibcode : 1998CSF.....9..569H . doi : 10.1016/S0960-0779(97)00109-4 . S2CID 7381505 . 
• ソシンスキー、アレクセイ（2002）。結び目、ひねりの効いた数学。ハーバード大学出版局。ISBN 9780674009448。

脚注