共同スペクトル半径

数学において、結合スペクトル半径は、行列のスペクトル半径という古典的な概念を行列の集合に一般化したものです。近年、この概念は多くの工学分野で応用されており、現在でも活発に研究されています。

行列の集合の結合スペクトル半径は、その集合に含まれる行列の積の最大漸近的成長率です。有限の（またはより一般的にはコンパクトな）行列の集合の場合、結合スペクトル半径は次のように定義されます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{A_{1},\dots ,A_{m}\}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},}$

${\displaystyle \rho ({\mathcal {M}})=\lim _{k\to \infty }\max {\{\|A_{i_{1}}\cdots A_{i_{k}}\|^{1/k}:A_{i}\in {\mathcal {M}}\}}.\,}$

極限が存在し、その量は実際には選択された行列ノルムに依存しないことが証明できる（これはどのノルムにも当てはまるが、ノルムが乗法以下の場合は特に簡単にわかる）。 結合スペクトル半径は、1960年にMITの数学者であるジャンカルロ・ロータとギルバート・ストラングによって導入されたが、^[1]イングリッド・ドーベシーズとジェフリー・ラガリアスの研究で注目を集め始めた。^{[2]彼らは、結合スペクトル半径を使用して特定の}ウェーブレット関数の滑らかさの特性を記述できることを示した。^[3] それ以来、さまざまな応用が提案されている。 結合スペクトル半径の量は、セットが2つの行列のみで構成され、2つの行列のすべての非ゼロ要素が等しいという制約がある場合でも、計算または近似することがNP困難であることが知られている。 ^[4] さらに、質問「」は決定不可能な問題である。^[5]しかしながら、近年その理解は大きく進歩しており、実際には結合スペクトル半径は満足のいく精度で計算できることが多く、さらに工学や数学の問題に興味深い洞察をもたらすことができるようです。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \rho \leq 1?}$

結合スペクトル半径の計算可能性に関する理論的結果は否定的であるにもかかわらず、実際にはうまく機能する方法が提案されている。事前に計算可能な時間内に任意の精度に到達できるアルゴリズムも知られている。これらのアルゴリズムは、極値ノルムと呼ばれる特定のベクトルノルムの単位球を近似しようとするものと見ることができる。^[6]一般に、このようなアルゴリズムは2つのファミリに区別される。最初のファミリは多面体ノルム法と呼ばれ、点の長い軌跡を計算することによって極値ノルムを構築する。^{[7] [8]}これらの方法の利点は、好ましい場合には結合スペクトル半径の正確な値を見つけることができ、これが正確な値であるという証明書を提供できることである。

2番目の手法は、楕円体ノルム近似法、^[9]半正定値計画法、^{[10] [11]}二乗和法、^[12]円錐計画法^[13]などの最新の最適化手法を使用して極値ノルムを近似します。これらの手法の利点は実装が簡単で、実際には一般に結合スペクトル半径の最良の境界を提供することです。

共スペクトル半径の計算可能性に関連して、次のような推測がある: ^[14]

「任意の有限行列集合に対して、この集合内の行列の積が存在し、 ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset \mathbb {R} ^{n\times n},}$${\displaystyle A_{1}\dots A_{t}}$

${\displaystyle \rho ({\mathcal {M}})=\rho (A_{1}\dots A_{t})^{1/t}.}$「

上記の式で「 」は行列の古典的なスペクトル半径を表します。${\displaystyle \rho (A_{1}\dots A_{t})}$${\displaystyle A_{1}\dots A_{t}.}$

この予想は1995年に提案され、2003年に誤りであることが証明されました。^[15]その参考文献で示された反例は、高度な測度論的アイデアを使用しています。その後、単純な組み合わせ特性行列を使用する基本的な反例^[16]や、動的システム特性に基づく反例など、多くの反例が提示されました。^[17]最近、明示的な反例がで提案されました。^{[18]この予想に関連する多くの質問はまだ未解決であり、たとえば、} 2進行列のペアに対してそれが成り立つかどうかを知るという質問があります。^{[19] [20]}

結合スペクトル半径は、離散時間スイッチング力学システムの安定性条件として解釈するために導入されました。実際、方程式で定義されるシステムは

${\displaystyle x_{t+1}=A_{t}x_{t},\quad A_{t}\in {\mathcal {M}}\,\forall t}$

安定であるのは、${\displaystyle \rho ({\mathcal {M}})<1.}$

ジョイント スペクトル半径は、Ingrid DaubechiesとJeffrey Lagarias が、ジョイントスペクトル半径が特定のウェーブレット関数の連続性を支配することを示したときに人気を博しました。それ以来、ジョイント スペクトル半径は、数論から情報理論、自律エージェントの合意、単語の組み合わせ論など、 さまざまな分野で応用されてきました。

結合スペクトル半径は、複数の行列の集合に対する行列のスペクトル半径の一般化です。ただし、行列の集合を考慮すると、さらに多くの量を定義できます。結合スペクトル部分半径は、によって生成された半群の積の最小成長率を特徴付けます。p半径は、半群の積のノルムの平均の成長率を特徴付けます。行列の集合のリャプノフ指数は、幾何平均の成長率を特徴付けます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle L_{p}}$

• Raphael M. Jungers (2009)。結合スペクトル半径、理論と応用。Springer。ISBN 978-3-540-95979-3。

• Vincent D. Blondel、Michael Karow、Vladimir Protassov、Fabian R. Wirth 編 (2008)。「線形代数とその応用: 結合スペクトル半径に関する特集号」。線形代数とその応用。428 (10)。Elsevier。

• Antonio Cicone (2011)。「博士論文。行列族のスペクトル特性。パート III」(PDF)。

• Jacques Theys (2005)。「博士論文。共同スペクトル半径: 理論と近似」(PDF)。2007 年 6 月 13 日にオリジナル(PDF)からアーカイブ。