対数ロジスティック分布

別のパラメータ化は、次のペアによって与えられる。${\displaystyle \mu ,s}$ロジスティック分布との類推で：

${\displaystyle \mu =\ln(\alpha )}$

${\displaystyle s=1/\beta }$

の${\displaystyle k}$投げる瞬間は、${\displaystyle k<\beta ,}$[3][4]で与えられる場合。^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}}$

ここで、Bはベータ関数です。平均、分散、歪度、尖度の式はこれから導出できます。${\displaystyle b=\pi /\beta }$便宜上、平均値は

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1,}$

そして分散は

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.}$

歪度と尖度の明示的な式は長くなる 。^{[ 6 ]}${\displaystyle \beta }$は無限大に近づき、平均は に近づき、分散と歪度はゼロに近づき、過剰尖度は 6/5 に近づきます (下記の関連分布も参照)。

分位関数（逆累積分布関数）は

${\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.}$

したがって、中央値は、下位四分位数は、上位四分位数は${\displaystyle 3^{1/\beta }\alpha }$。

対数ロジスティック分布は、生存分析のためのパラメトリックモデルの一つを提供する。より一般的に使用されるワイブル分布とは異なり、非単調なハザード関数を持つことができる。${\displaystyle \beta >1,}$ハザード関数は単峰性である（${\displaystyle \beta }$ ≤  1 の場合、ハザードは単調に減少します）。累積分布関数を閉じた形式で記述できるという事実は、打ち切りを伴う生存データの分析に特に役立ちます。[ ^{7 ]対数}ロジスティック分布は、加速故障時間モデル の基礎として使用できます。${\displaystyle \alpha }$グループ間で異なる、あるいはより一般的には、それに影響を与える共変量を導入することによって${\displaystyle \alpha }$しかしそうではない${\displaystyle \beta }$モデル化することによって${\displaystyle \log(\alpha )}$共変量の線形関数として。^{[ 8 ]}

生存関数は

${\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,}$

したがってハザード関数は

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {(\beta /\alpha )(t/\alpha )^{\beta -1}}{1+(t/\alpha )^{\beta }}}.}$

形状パラメータを持つ対数ロジスティック分布${\displaystyle \beta =1}$は幾何分布計数過程における間隔の周辺分布である[8]。^{[ 9 ]}

対数ロジスティック分布は、水文学において河川流量や降水量のモデル化に用いられてきた。^{[ 3 ] [ 4 ]}

1日の最大降雨量や月間または年間の河川流量などの極値は、多くの場合、対数正規分布に従います[9]。ただし、対数正規分布は数値近似が必要です。解析的に解くことができる対数ロジスティック分布は対数正規分布に似ているため、代わりにこれを使用できます。

青色の図は、10月の1日の最大降雨量を順位付けしたデータに対数ロジスティック分布を当てはめた例を示しており、二項分布に基づく90%信頼区間も表示されています。降雨データは、累積頻度分析の一部として、プロット位置r /( n +1)で表されます。

対数ロジスティックは、経済学における富や所得の分布の単純なモデルとして使用され、フィスク分布として知られています。^{[ 10 ]} そのジニ係数は[11]です。^{[ 11 ]}

対数ロジスティック分布は、コンピュータ内のソフトウェアユーザーアプリケーションからデータが送信されてから、他のコンピュータ、アプリケーション、ネットワークセグメントを経由して処理された後、同じアプリケーションに応答が受信されるまでの期間のモデルとして使用されてきました。これらのほとんどまたはすべては、厳密なリアルタイム保証なしに処理されます（たとえば、アプリケーションがインターネットに接続されたリモートセンサーからのデータを表示する場合）。この分布は、これらの時間のシーケンスにおける急激な変化が適切に検出される限り、対数正規分布や他の分布よりも正確な確率モデルであることが示されています。 ^{[ 12 ]}

対数ロジスティック分布を特殊なケースとして含むいくつかの異なる分布が、一般化対数ロジスティック分布と呼ばれることがあります。 ^{[ 11 ]}これらには、Burr Type XII 分布( Singh–Maddala 分布としても知られています) とDagum 分布が含まれます。どちらも、2 番目の形状パラメータを含みます。どちらも、さらに一般的な第 2 種の一般化ベータ分布の特殊なケースです。対数ロジスティック分布のもう 1 つのより単純な一般化は、シフト対数ロジスティック分布です。

もう一つの一般化された対数ロジスティック分布は、メタログ分布の対数変換であり、そのべき級数展開は、${\displaystyle p}$ロジスティック分布パラメータの代わりに${\displaystyle \mu }$結果として得られる対数メタログ分布は、形状の柔軟性が高く、単純な閉形式の確率密度関数と分位関数を持ち、線形最小二乗法でデータに適合させることができ、対数ロジスティック分布を特殊なケースとして包含します。