対数対数プロット

科学と工学において、対数-対数グラフまたは対数-対数プロットは、水平軸と垂直軸の両方に対数スケールを使用する数値データの2次元グラフです。べき関数（形式の関係）は、対数-対数グラフでは直線として表示され、指数は傾きに対応し、係数は切片に対応します。したがって、これらのグラフは、これらの関係を認識し、パラメータを推定するのに非常に役立ちます。 対数には任意の底を使用できますが、最も一般的には底10（常用対数）が使用されます。 ${\displaystyle y=ax^{k}}$

単項式方程式の対数（任意の底）をとると、次のようになります。 ${\displaystyle y=ax^{k},}$$${\displaystyle \log y=k\log x+\log a.}$$

とを設定すると、これは対数対数グラフを使用することに相当する。 ${\displaystyle X=\log x}$${\displaystyle Y=\log y,}$$${\displaystyle Y=mX+b}$$

ここで、m  =  kは直線の傾き（勾配）、b  = log  aは（log y）軸 上の切片で 、log x  = 0を意味します。したがって、対数を逆にすると、aはx  = 1に対応するy値です。 ^[1]

対数-対数スケール上の線の方程式は次のようになります。 ここで、mは傾き、b は対数プロット上の切片です。 $${\displaystyle \log_{10}F(x)=m\log_{10}x+b,}$$ $${\displaystyle F(x)=x^{m}\cdot 10^{b},}$$

プロットの傾きを求めるには、x軸上で 2 つの点、たとえばx ₁とx ₂を選択します。次の式を使用します。 および 傾きm は、次の差を取ることで求められます。 ここで、F _{1 は}F ( x ₁ )の省略形であり、 F _{2 は}F ( x ₂ )の省略形です。右の図は、この式を示しています。図の例の傾きは負であることに注意してください。この式では、対数の次の特性からわかるように、負の傾きも得られます。 $${\displaystyle \log[F(x_{1})]=m\log(x_{1})+b,}$$$${\displaystyle \log[F(x_{2})]=m\log(x_{2})+b.}$$$${\displaystyle m={\frac {\log(F_{2})-\log(F_{1})}{\log(x_{2})-\log(x_{1})}}={\frac {\log(F_{2}/F_{1})}{\log(x_{2}/x_{1})}},}$$$${\displaystyle \log(x_{1}/x_{2})=-\log(x_{2}/x_{1}).}$$

ここで、上記の手順を逆にして、関数F ( x ) の形を、その​​ (仮定の) 既知の log-log プロットを使用して見つけます。関数Fを見つけるには、上のグラフの直線上のどこかにある固定点( x ₀ , F ₀ ) ( F _0はF ( x ₀ )の省略形) を選択し、さらに同じグラフ上の 他の任意の点( x ₁ , F ₁ ) を選択します。すると、上記の傾きの式から次の式 が得られます。これは 、 10 ^{log ₁₀ ( F ₁ )} = F ₁であることに注意してください。したがって、対数を逆にすると次の式が得られます。 または これは次のことを意味します 。言い換えると、F は、その log-log グラフの直線の傾きの累乗に比例します。具体的には、点 ( x ₀ ,  F ₀ ) と点 ( x ₁ ,  F ₁ )を含む log-log プロット上の直線は次の関数を持ちます。 もちろん、逆もまた真です。 形式の関数はすべて、 log-log グラフ表現として直線を持ち、その傾きは mです。 $${\displaystyle m={\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}}}$$$${\displaystyle \log(F_{1}/F_{0})=m\log(x_{1}/x_{0})=\log[(x_{1}/x_{0})^{m}].}$$$${\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}}$$$${\displaystyle F_{1}={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}\,x^{m},}$$$${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.}$$$${\displaystyle F(x)={F_{0}}\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)^{\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}},}$$$${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}}$$

対数対数プロットの連続した直線部分の面積を計算するには（またはほぼ直線の面積を推定するには）、前に定義した関数 を積分します。これは定積分（定義された2つの端点）のみに作用するため、プロットの下の面積Aは次のようになります。 $${\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.}$$$${\displaystyle A(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\left.{\frac {\mathrm {constant} }{m+1}}\cdot x^{m+1}\right|_{x_{0}}^{x_{1}}}$$

元の式を整理し、固定小数点の値を代入すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle \mathrm {constant} ={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}}$$

積分に代入すると、Aがx ₀からx ₁までの範囲で

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\[1.2ex]\log A&=\log \left[{\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\right]\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}-\log {\frac {1}{x_{0}^{m}}}+\log(x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m}}{x_{0}^{m}}}\cdot x_{1}-{\frac {x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\end{aligned}}}$$

したがって、${\displaystyle A={\frac {F_{0}}{m+1}}\cdot \left[x_{1}\cdot \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}-x_{0}\right]}$

m = −1の場合 、積分は $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{(m=-1)}&=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {\mathrm {constant} }{x}}\,dx={\frac {F_{0}}{x_{0}^{-1}}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {dx}{x}}=F_{0}\cdot x_{0}\cdot {\ln x}{\Big |}_{x_{0}}^{x_{1}}\\A_{(m=-1)}&=F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln {\frac {x_{1}}{x_{0}}}\end{aligned}}}$$

対数-対数プロットは、（大まかに）対数正規誤差、または対数ロジスティック誤差を伴う対数-対数線形回帰モデルを視覚化するためによく使用されます。このようなモデルでは、従属変数と独立変数を対数変換した後、誤差が等分散になる単純線形回帰モデルを当てはめることができます。このモデルは、指数関数的な増加または減少を示すデータ（独立値が増加するにつれて誤差も増加し続ける、つまり異分散誤差）を処理する場合に役立ちます。

上で述べたように、対数対数線形モデルでは、変数間の関係はべき乗法則として表現されます。独立変数の単位変化ごとに、従属変数は一定の割合で変化します。モデルは次のように表現されます。

${\displaystyle y=a\cdot x^{b}\cdot e^{\epsilon }}$

両辺の対数を取ると次のようになります。

${\displaystyle \log(y)=\log(a)+b\cdot \log(x)+\epsilon }$

これは、およびの対数における線形方程式で、 は切片、は傾きです。ここで、 、 です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \log(a)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \epsilon \sim {\textrm {Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle e^{\epsilon }\sim {\textrm {Log-Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

図 1 は、これがどのように見えるかを示しています。これは、10,000 個のシミュレートされたポイントを使用して生成された 2 つのプロットを示しています。「対数正規ノイズのある凹線」というタイトルの左側のプロットは、観測データ (y) と独立変数 (x) の散布図を示しています。赤い線は「中央線」を表し、青い線は「平均線」です。このプロットは、凹線で表される変数間のべき乗関係を持つデータセットを示しています。

両方の変数を対数変換すると、図 1 の右側のグラフ「正規ノイズによる対数対数線形線」に示すように、関係は線形になります。このグラフには、独立変数に対する観測データの散布図も表示されますが、両方の軸が対数スケールになっています。ここでは、平均線と中央線の両方が同じ (赤い) 線です。この変換により、単純な線形回帰モデルを当てはめることができます (その後、中央線として元のスケールに戻すことができます)。

図 1 の左側のプロットから右側のプロットへの変換は、対数変換がデータ内のノイズの分布に与える影響も示しています。左側のプロットでは、ノイズは右に歪んだ対数正規分布に従っているように見えますが、これは扱いが難しい場合があります。右側のプロットでは、対数変換後、ノイズは正規分布に従っているように見えますが、これは推論やモデル化が容易です。

このノイズの正規化は、図 2 でさらに分析されています。この図は、x 軸のサイズ 28 のスライド ウィンドウ上で計算された 3 つのエラー メトリック (平均絶対誤差 - MAE、二乗平均平方根誤差 - RMSE、および平均絶対対数誤差 - MALE) の折れ線グラフを示しています。y 軸は、独立変数 (x) に対してプロットされたエラーを示します。各エラー メトリックは異なる色で表され、対応する平滑化された線が元の線の上に重ねられています (これはシミュレートされたデータであるため、エラー推定は多少不安定です)。これらのエラー メトリックは、さまざまな x 値間で変化するノイズの測定値を提供します。

対数対数線形モデルは、多くの現象がべき乗則挙動を示す経済学、生物学、物理学など、さまざまな分野で広く使用されています。また、対数変換によって分散を安定させることができるため、不均一な分散データを扱う 回帰分析でも役立ちます。

これらのグラフは、パラメータaとb を数値データから推定する必要がある場合に役立ちます。このような仕様は経済学で頻繁に使用されます。

一例として、在庫理論に基づく貨幣需要関数の推定が挙げられます。この理論では、時刻tにおける貨幣需要は次のように表されます 。 ここで、Mは国民が保有する貨幣の実質量、 Rは貨幣を超える高収益の代替資産の収益率、 Yは国民の実質所得、Uは対数正規分布すると仮定される誤差項、Aは推定される尺度パラメータ、bおよびc は推定される 弾力性パラメータです。対数を取ると次の式が得られます。 ここで、m = log M、a = log A、r = log R、y = log Y、u = log Uで、 u は正規分布します。この式は、通常の最小二乗法を使用して推定できます。 $${\displaystyle M_{t}=AR_{t}^{b}Y_{t}^{c}U_{t},}$$$${\displaystyle m_{t}=a+br_{t}+cy_{t}+u_{t},}$$

もう 1 つの経済の例は、企業のコブ・ダグラス生産関数の推定です。これ は、 Q が1 か月あたりに生産できる出力量、N が1 か月あたりに生産に従事する労働時間数、K が1 か月あたりに利用される物的資本の時間数、U が対数正規分布すると仮定される誤差項、A、、および が推定されるパラメーター である方程式の右側の項です。 対数を取ると、 q = log Q、a = log A、n = log N、k = log K、およびu = log Uの線形回帰方程式が得られます。 $${\displaystyle Q_{t}=AN_{t}^{\alpha }K_{t}^{\beta }U_{t},}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$$${\displaystyle q_{t}=a+\alpha n_{t}+\beta k_{t}+u_{t}}$$

対数-対数回帰は、自然に発生するフラクタルのフラクタル次元を推定するためにも使用できます。

しかし、逆の方向、つまりデータが対数対数スケール上の近似線として現れることを観察し、データがべき乗法則に従っていると結論付けることは、必ずしも有効ではありません。^[2]

実際、他の多くの関数形式は、log-log スケール上でほぼ線形に見え、決定係数( R ² )を使用してログデータに対する線形回帰の適合度を単純に評価することは、線形回帰モデルの仮定、たとえばガウス誤差が満たされない可能性があるため、無効である可能性があります。さらに、log-log 形式の適合度検定は、他の真の関数形式が存在する場合にべき乗法則を棄却する可能性が低いため、統計的検出力が低くなる可能性があります。単純な log-log プロットは、可能性のあるべき乗法則を検出するのに役立つ可能性があり、1890 年代のパレートにまで遡って使用されていますが、べき乗法則としての検証には、より高度な統計が必要です。^[2]

これらのグラフは、制御変数を指数関数に沿って変化させることによってデータを収集する場合にも非常に役立ちます。この場合、制御変数xは対数スケールでより自然に表現され、データ ポイントは低い端で圧縮されるのではなく、均等に配置されます。出力変数y は、線形に表現して線形対数グラフ(log  x、y ) を作成することも、その対数をとって log-log グラフ (log x、 log  y )を作成することもできます 。

ボード線図（システムの 周波数応答のグラフ）も対数対数プロットです。

化学反応速度論では、反応速度の濃度への依存性の一般的な形はべき乗法則（質量作用の法則）の形をとるため、対数-対数プロットは実験から反応パラメータを推定するのに役立ちます。

• 片対数プロット（lin–log または log–lin）
• べき乗則
• ジップの法則
• 対数線形モデル
• 対数正規分布
• 対数ロジスティック分布
• データ変換（統計）
• 分散安定化変換

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