ピーノ表面

数学において、ペアノ面は2変数関数のグラフである。

${\displaystyle f(x,y)=(2x^{2}-y)(yx^{2}).}$

これは、2変数関数の最大値と最小値の存在に関する推定基準に対する反例として、1899年にジュゼッペ・ペアノによって提案されました。 ^{[1] [2]}

この曲面は、 Georg Scheffersの1920 年の著書Lehrbuch der darstellenden Geometrieの中で、ペアノ曲面 (ドイツ語: Peanosche Fläche )と名付けられました。^{[1] [3]}ペアノサドルとも呼ばれています。^{[4] [5]}

グラフが曲面である関数は、2つの放物線との間では正の値を取り、それ以外の場所では負の値を取ります（図を参照）。2つの放物線の交点に対応する曲面上の3次元点である原点では、曲面は鞍点を持ちます。^[6]曲面自体は、別の放物線によって区切られた部分で正のガウス曲率と負の曲率を持ちます。^{[4] [5]}これは、そのガウス写像がホイットニーの尖点を持つことを意味しています。^[5]${\displaystyle f(x,y)=(2x^{2}-y)(yx^{2})}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$${\displaystyle y=2x^{2}}$${\displaystyle (0,0,0)}$

表面は原点で極大値を持たないが、原点を通る任意の垂直平面（方程式またはを持つ平面）との交差は、原点で極大値を持つ曲線であり、^[1] Earle Raymond Hedrickによって「逆説的」と説明された特性である。 ^[7]言い換えれば、点が平面の原点から始まり、任意の直線に沿って原点から遠ざかっていく場合、 の値は動きの開始時に減少します。しかし、は関数の極大値ではありません。なぜなら、 などの放物線（図では赤）に沿って動くと、関数の値が増加するからです。 ${\displaystyle y=mx}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (2x^{2}-y)(yx^{2})}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle y={\sqrt {2}}\,x^{2}}$

ペアノ面は4 次曲面です。

1886年にジョセフ・アルフレッド・セレットは、表面の極値点の基準を提案した教科書^{[8]を出版した。}${\displaystyle z=f(x_{0}+h,y_{0}+k)}$

「最大値または最小値は、およびの値に対して、および(第 3 項および第 4 項) がゼロになり、(第 5 項) が常に符号 - または符号 + を持つときに発生します。」${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d^{2}f}$${\displaystyle d^{3}f}$${\displaystyle d^{4}f}$

ここで、線形項が消え、のテイラー級数が の形を持つと 仮定します。ここで、は のような2 次形式、 はおよびに 3 次項を持つ3 次形式、 はおよびに同次 4 次多項式を持つ 4 次形式です。Serret は、 のすべての点に対して が定数符号を持つ場合 、 で曲面の極大値または極小値が存在すると提案しています。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle z=f(x_{0},y_{0})+Q(h,k)+C(h,k)+F(h,k)+\cdots }$${\displaystyle Q(h,k)}$${\displaystyle ah^{2}+bhk+ck^{2}}$${\displaystyle C(h,k)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F(h,k)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F(h,k)}$${\displaystyle Q(h,k)=C(h,k)=0}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

ペアノは、1884年にアンジェロ・ジェノッキのイタリア語の微積分学の教科書『微分積分と原理』に書いた注釈の中で、関数が局所的最小値や局所的最大値に達するための正しい条件をすでにいくつか示していた。 ^{[1] [9]}同じ教科書の1899年のドイツ語訳では、この曲面をセレットの条件に対する反例として示した。点 ではセレットの条件が満たされているが、この点は鞍点であって局所的最大値ではない。^{[1] [2]}セレットの条件に関連する条件はルートヴィヒ・シェーファーによっても批判されており、シェーファーは1890年の出版物でペアノの曲面を反例として使用した。^{[6] [10]}${\displaystyle (0,0,0)}$

ペアノ面のモデルは、ゲッティンゲン大学のゲッティンゲン数学モデル・機器コレクション[11]とドレスデン工科大学の数学モデルコレクション（2つの異なるモデル）に含まれています。[ ¹² ]ゲッティンゲンモデル^は、第一次世界大戦後にコレクションに追加された最初の新しいモデルであり、コレクション全体に追加された最後のモデルの一つです。^[6]

• Weisstein, Eric W.「ペアノ面」。MathWorld。