導関数テスト

正確に言うと、fは点x を含むある開区間で定義された実数値関数であり、さらにfはxで連続であると仮定します。

• 正の数r  > 0が存在し、 f が( x − r , x ]で弱増加し、 [ x , x + r )で弱減少する場合、f はxで局所最大値をとります。
• 正の数r  > 0が存在し、 f が( x − r , x ]で厳密に増加し、[ x , x + r )で厳密に増加するならば、fは( x − r , x + r )で厳密に増加し、 xで局所的な最大値または最小値を持たない。

最初のケースでは、fはxの左側または右側で厳密に増加または厳密に減少する必要はありませんが、最後のケースでは、f は厳密に増加または厳密に減少する必要があります。その理由は、局所最大値と局所最小値の定義では、不等式が厳密になる必要がないためです。たとえば、定数関数のすべての値は、局所最大値と局所最小値の両方とみなされます。

一次導関数判定法は「増加・減少判定法」に依存しており、これは最終的には平均値の定理から導かれる結果である。これは、導関数の定義方法と、関数の局所的な減少・増加との関連性、そして前節の内容とが直接的に結びついた結果である。

fは、臨界点aを含むある区間上で定義された実変数の実数値関数であるとします。さらに、fはaにおいて連続であり、a を含むある開区間上で微分可能であるとします（ただし、a自体では微分できない可能性があります）。

• 正の数r  > 0が存在し、 ( a − r , a ) のすべてのxに対してf ′ ( x ) ≥ 0であり、 ( a , a + r ) のすべてのxに対してf ′ ( x ) ≤ 0 であるならば、f はaで局所最大値を持つ。
• 正の数r  > 0が存在し、 ( a − r , a ) のすべてのxに対してf ′ ( x ) ≤ 0であり、 ( a , a + r ) のすべてのxに対してf ′ ( x ) ≥ 0 であるならば、f はaで局所最小値を持つ。
• 正の数r  > 0 が存在し、( a − r , a ) ∪ ( a , a + r )のすべてのxに対してf ′ ( x ) > 0 となる場合、 fはaにおいて厳密に増加し、局所最大値も局所最小値も持ちません。
• 上記の条件のいずれも満たされない場合、テストは失敗します。（このような条件は空虚なものではありません。最初の 3 つの条件のいずれも満たさない関数も存在します。例えば、f ( x ) = x ² sin(1/ x ) などです。）

単調性に関するセクションのコメントに対応して、最初の2つのケースでは不等式が厳密である必要はないが、3番目のケースでは厳密な不等式が必要であることに注意してください。

一次導関数判定法は、物理学、経済学、工学における最適化問題の解決に役立ちます。極値定理と組み合わせることで、閉区間かつ有界区間で定義された実数値関数の絶対最大値と絶対最小値を求めることができます。また、凹凸、変曲点、漸近線などの他の情報と組み合わせることで、関数のグラフを描くことも可能です。

仮に${\displaystyle f''(x)>0}$（証明）${\displaystyle f''(x)<0}$（類似している）。仮定により、${\displaystyle f'(x)=0}$。 それから

${\displaystyle 0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.}$

したがって、hが十分に小さい場合、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {f'(x+h)}{h}}>0,}$

つまり${\displaystyle f'(x+h)<0}$もし${\displaystyle h<0}$（直感的には、fは に近づくにつれて減少します${\displaystyle x}$（左から）そして${\displaystyle f'(x+h)>0}$もし${\displaystyle h>0}$（直感的には、fはxから右に進むにつれて増加します。）さて、一次導関数判定法により、${\displaystyle f}$局所的な最小値は${\displaystyle x}$。

2階微分は、関連するものの異なる用途として、ある点において関数が上に凸か下に凸かを判定するために用いられる。ただし、変曲点に関する情報は得られない。具体的には、2回微分可能な関数fは、以下の条件を満たす場合に上に凸となる。${\displaystyle f''(x)>0}$そして下に凹む場合${\displaystyle f''(x)<0}$.注意して${\displaystyle f(x)=x^{4}}$、 それから${\displaystyle x=0}$2階微分がゼロであるにもかかわらず変曲点ではないため、2階微分だけでは、ある点が変曲点であるかどうかを判断するのに十分な情報が得られません。

高階微分判定法、または一般微分判定法は、 2階微分判定法よりも幅広い種類の関数について、関数の臨界点が最大値、最小値、または変曲点であるかどうかを判定することができます。以下に示すように、2階微分判定法は、高階微分判定法におけるn  = 1の特殊な場合と数学的に同一です。

f を区間上で十分微分可能な実数値関数とする。${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$、 させて${\displaystyle c\in I}$、そして${\displaystyle n\geq 1}$は自然数とする。また、 cにおけるfのすべての導関数は、 n階導関数まで含めてすべてゼロとするが、( n + 1) 階導関数はゼロでないものとする。 

${\displaystyle f'(c)=\cdots =f^{(n)}(c)=0\quad {\text{and}}\quad f^{(n+1)}(c)\neq 0.}$

可能性は4つあり、最初の2つのケースはcが極値の場合、後の2つのケースはcが（局所的な）鞍点の場合である。

• (n+ 1 )が偶数で${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$この場合、cは局所最大値である。
• (n+1)が偶数で${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$すると、cは局所最小値となる。
• (n+ 1 )が奇数で${\displaystyle f^{(n+1)}(c)<0}$すると、cは厳密に減少する変曲点となる。
• (n+1)が奇数で${\displaystyle f^{(n+1)}(c)>0}$すると、cは厳密に増加する変曲点となる。

(n+1)は奇数か偶数でなければならないため、この解析的テストは、最終的に非ゼロの導関数が現れる限り、fの任意の停留点を分類します。${\displaystyle f^{(n+1)}(c)\neq 0.}$これは、ゼロでない最初の導関数です。

関数に対して一般微分判定法を実行したいとします。${\displaystyle f(x)=x^{6}+5}$その時点で${\displaystyle x=0}$そのためには、関数の導関数を計算し、結果がゼロでなくなるまで、目的の点で導関数を評価します。

${\displaystyle f'(x)=6x^{5}}$、${\displaystyle f'(0)=0;}$

${\displaystyle f''(x)=30x^{4}}$、${\displaystyle f''(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(3)}(x)=120x^{3}}$、${\displaystyle f^{(3)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(4)}(x)=360x^{2}}$、${\displaystyle f^{(4)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(5)}(x)=720x}$、${\displaystyle f^{(5)}(0)=0;}$

${\displaystyle f^{(6)}(x)=720}$、${\displaystyle f^{(6)}(0)=720.}$

上記のように、その点では${\displaystyle x=0}$関数${\displaystyle x^{6}+5}$0 における導関数はすべて 0 に等しく、6 階導関数のみが正の値をとります。したがってn  =  5 となり、この判定法により、0 に局所最小値が存在することがわかります。