線形方程式

数学において、線形方程式は、 という形式で表される 方程式です。ここで、は変数（または未知数）であり、は係数（多くの場合、実数）です。係数は方程式のパラメータとみなされ、変数をまったく含まない限り、任意の式にすることができます。意味のある方程式を生成するには、係数がすべてゼロにならないようにする必要があります。 ${\displaystyle a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle b,a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

あるいは、係数が取られる 何らかの体上の線形多項式をゼロに等しくすることによって線形方程式を得ることができます。

このような方程式の解は、未知数に代入されたときに等式が真となる値です。

変数が 1 つの場合、解は 1 つだけ存在します ( と仮定)。多くの場合、線形方程式という用語は、変数が未知数と呼ばれるこの特定のケースを暗黙的に指します。 ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$

2 変数の場合、各解はユークリッド平面上の点の直交座標として解釈できます。線形方程式の解はユークリッド平面に直線を形成し、逆に、すべての直線は 2 変数の線形方程式のすべての解の集合として見ることができます。これが、このタイプの方程式を説明する際に使用される「線形」という用語の由来です。より一般的には、n変数の線形方程式の解は、 n次元のユークリッド空間に超平面( n − 1次元の部分空間)を形成します。

線形方程式は、あらゆる数学や物理学および工学におけるその応用において頻繁に登場します。これは、非線形システムが線形方程式によってよく近似されることが多いためです。

この記事では、実数体の係数を持つ単一の方程式の場合について考察し、その実数解を研究します。その内容はすべて複素解に適用され、より一般的には、任意の体の係数と解を持つ線形方程式に適用されます。複数の同時線形方程式の場合は、線形方程式系を参照してください。

1 変数xの線形方程式は、のように表すことができます。 ${\displaystyle ax+b=0,}$${\displaystyle a\neq 0}$

解決策は です。 ${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}$

2つの変数xとyの線形方程式は、aと bが両方とも0ではない場合、次のように表すことができます。^[1]${\displaystyle ax+by+c=0,}$

aとbが実数の 場合、解は無限に存在します。

b ≠ 0の場合、式

${\displaystyle ax+by+c=0}$

は、 xのあらゆる値に対して、単一変数y の線形方程式です。したがって、 yの唯一の解は次のように与えられます。

${\displaystyle y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.}$

これは関数を定義します。この関数のグラフは、傾きとy切片を持つ直線です。グラフが直線である関数は、微積分学の文脈では一般に線型関数と呼ばれます。しかし、線型代数では、線型関数は、和を加数の像の和に写像する関数です。そのため、この定義では、上記の関数はc = 0の場合、つまり直線が原点を通過する場合にのみ線型です。混乱を避けるために、グラフが任意の直線である関数はしばしばアフィン関数と呼ばれ、 c = 0となるような線型関数はしばしば線型写像と呼ばれます。 ${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle -{\frac {c}{b}}.}$

線形方程式の 各解（x、y）

${\displaystyle ax+by+c=0}$

は、ユークリッド平面上の点の直交座標として考えることができます。この解釈では、 aとbが両方ともゼロでない限り、方程式のすべての解は直線を形成します。逆に、すべての直線は線形方程式のすべての解の集合です。

「線形方程式」という語句は、線と方程式のこの対応関係に由来しています。2変数の 線形方程式は、解が線を形成する方程式です。

b ≠ 0の場合、その線は前のセクションで定義されたxの関数のグラフです。 b = 0の場合、その線はxの関数のグラフではない方程式の垂直線（つまりy軸に平行な線）です。 ${\displaystyle x=-{\frac {c}{a}},}$

同様に、a ≠0の場合には、線はyの関数のグラフとなり、a =0の場合には、水平線は方程式となる。${\displaystyle y=-{\frac {c}{b}}.}$

直線を定義する方法は様々です。以下のサブセクションでは、それぞれの場合の直線の線形方程式を示します。

非垂直線は、その傾きmとy切片y ₀（y軸との交点のy座標）によって定義できます。この場合、その線形方程式は次のように表すことができます 。

${\displaystyle y=mx+y_{0}.}$

さらに、直線が水平でない場合は、その傾きとx切片x ₀によって定義できます。この場合、その方程式は次のように表すことができます。

${\displaystyle y=m(x-x_{0}),}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle y=mx-mx_{0}.}$

これらの形式は、非垂直な線を関数のグラフとして考えるという習慣に依存している。^[2]方程式によって与えられた線に対して

${\displaystyle ax+by+c=0,}$

これらの形式は、関係から簡単に推測できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}}$

非垂直な直線は、その傾きmと直線上の任意の点の座標によって定義できます。この場合、直線の線形方程式は次のようになります。 ${\displaystyle x_{1},y_{1}}$

${\displaystyle y=y_{1}+m(x-x_{1}),}$

または

${\displaystyle y=mx+y_{1}-mx_{1}.}$

この式は次のようにも書ける。

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}$

線の傾きは任意の 2 点の座標から計算できることを強調するため。

軸に平行でなく、原点を通らない直線は、軸を2つの異なる点に切断する。これらの2点の切片値x ₀とy _{0 は}ゼロではなく、直線の方程式は^{[3]である。}

${\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.}$

(この式で定義された線がx ₀とy _{0 を}切片値として持つことは簡単に確認できます)。

2 つの異なる点( x ₁、y ₁ )と( x ₂、y ₂ )が与えられた場合、それらの点を通過する直線は 1 本だけ存在します。この直線の線形方程式を書く方法はいくつかあります。

x ₁ ≠ x ₂の場合、直線の傾きは、したがって、点-傾き形式は^[3]${\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).}$

分母を消去すると次の式が得られる。

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,}$

これはx ₁ = x ₂のときも有効です(これを検証するには、与えられた 2 つの点が方程式を満たすことを検証するだけで十分です)。

この形式は与えられた 2 つの点では対称ではありませんが、定数項を再グループ化することで対称形式を得ることができます。

${\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}$

(2 つの点を交換すると、方程式の左側の符号が変わります)。

直線の方程式の 2 点形式は、単純に行列式で表現できます。それには 2 つの一般的な方法があります。

この式は、方程式の行列式を展開した結果である。 ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.}$

この方程式は、方程式の行列式を最初の行に関して展開することによって得られる。 ${\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.}$

この形式は非常に単純で覚えやすいだけでなく、次元n – 1の空間内のn点を通過する超平面のより一般的な方程式の特殊なケースであるという利点があります。これらの方程式は、射影空間内の点の線形従属の条件に依存しています。

2つ以上の変数を持つ線形方程式は常に次の形式であると仮定できる。

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.}$

係数bは、しばしばa ₀と表記され、定数項と呼ばれます（古い書籍^{[4] [5]では}絶対項と呼ばれることもあります）。文脈によっては、係数という用語はi _> 0のaiを指すこともあります。

変数を扱う場合、インデックス付き変数の代わりに およびを使用するのが一般的です。${\displaystyle n=3}$${\displaystyle x,\;y}$${\displaystyle z}$

このような方程式の解はn組であり、組の各要素を対応する変数に置き換えると、方程式が真の等式に変換されます。

方程式が意味を持つためには、少なくとも 1 つの変数の係数が 0 以外である必要があります。すべての変数の係数が 0 の場合、1 つの変数の場合と同様に、方程式は矛盾しており( b ≠ 0の場合)、解がないか、すべてのn組が解になります。

n変数の線形方程式の解であるn組は、 n次元ユークリッド空間（係数が複素数であるか任意の体に属する場合はアフィン空間）内の( n − 1)次元超平面の点の直交座標です。 3 変数の場合、この超平面は平面です。

線形方程式がa _j ≠ 0で与えられている場合、方程式はx _jについて解くことができ、次の式が得られます。

${\displaystyle x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.}$

係数が実数の場合、これはn 個の実変数の実数値 関数を定義します。

• 環上の線形方程式
• 代数方程式
• ライン座標
• 線形不等式
• 非線形方程式

• Barnett, RA; Ziegler, MR; Byleen, KE (2008)、『ビジネス、経済、生命科学、社会科学のための大学数学』（第 11 版）、アッパー サドル リバー、ニュージャージー: ピアソン、ISBN 978-0-13-157225-6
• ラーソン、ロン; ホステラー、ロバート (2007)、Precalculus:A Concise Course、Houghton Mifflin、ISBN 978-0-618-62719-6
• ウィルソン、WA; トレーシー、JI (1925)、解析幾何学（改訂版）、DC ヒース

• 「線形方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]