固定小数点インデックス

数学において、不動点インデックスは位相的 不動点理論、特にニールセン理論における概念である。不動点インデックスは、不動点の 多重度測定値と考えることができる。

インデックスは複素解析の設定で簡単に定義できます。f ( z ) を複素平面上の正則写像とし、 z _{0 を}fの不動点とします。すると関数f ( z ) −  z は正則となり、 z ₀に孤立した零点を持ちます。 z ₀におけるfの不動点インデックスi ( f , z ₀ )を、点z ₀における関数f ( z ) −  zの零点の重複度として定義します。

実ユークリッド空間では、不動点インデックスは次のように定義されます。x 0 が f の孤立した不動点である場合、_gは次のように定義される関数とします。

${\displaystyle g(x)={\frac {xf(x)}{||xf(x)||}}.}$

するとgは_x0で孤立した特異点を持ち、 x0の削除された近傍の境界を単位球に写像する_。i ( f , x0  )を_、x0_の周りの適切に選ばれた小球面上へのgの写像のブラウワー次数と定義する。^[1]

固定小数点インデックスの重要性は、主に、次のようなレフシェッツ-ホップ定理における役割によるものです。

${\displaystyle \sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}\mathrm {ind} (f,x)=\Lambda _{f},}$

ここで Fix( f ) はfの不動点の集合であり、Λ _{f は}fのレフシェッツ数である。

上記の式の左辺の量は、f に固定点がない場合には明らかにゼロとなるため、レフシェッツ・ホップの定理はレフシェッツの不動点定理を自明に意味します。

• Robert F. Brown:不動点理論、IM James 『位相幾何学の歴史』、アムステルダム 1999年、ISBN  0-444-82375-1、271–299。