単体マップ

単体写像（または単体写像）は、2つの単体複体間の関数であり、単体の頂点の像が常に単体を張るという性質を持つ。^{[1]単体写像は、}三角形に分割できる位相空間間の連続関数を近似するために使用でき、これは単体近似定理によって形式化される。

単体同型とは、それ自体とその逆写像の両方が単体であるような 全単射単体写像である。

単体マップは、コンテキストによって若干異なる方法で定義されます。

K と L を 2 つの抽象単体複体(ASC)とする。Kから L への単体写像は、 Kの頂点からLの頂点への関数であり、K のすべての単体を L の単体に写像する。つまり、任意の 、 に対してである。[ ^{2] : 14, 定義 1.5.2}例として、K を集合 {1,2}、{2,3}、{3,1} とその部分集合を含む ASC とし、L を集合 {4,5,6} とその部分集合を含む ASC とする。写像f を次のように定義する: f (1)= f (2)=4, f (3)=5。すると、f ({1,2})={4} は L の単体であり、f ({2,3})=f({3,1})={4,5} も L の単体である、などとなるので、f は単体 写像である。 ${\displaystyle f:V(K)\to V(L)}$${\displaystyle \sigma \in K}$${\displaystyle f(\sigma )\in L}$

が全単射でない場合、任意のl ≤ kに対して、 Kのk次元単体をLのl次元単体に写像することがあります。上記の例では、f は1 次元単体 {1,2} を 0 次元単体 {4} に写像します。 ${\displaystyle f}$

が全単射で、その逆がL から K への単体写像である場合、は単体同型写像と呼ばれます。同型単体複体は、頂点の名前を変えれば本質的に「同じ」です。L と K の間に同型写像が存在することは、通常 で表されます。^{[2] : 14}上で定義された関数 f は、全単射ではないため同型ではありません。定義を f (1)=4、f (2)=5、f (3)=6 と修正すると、fは全単射ですが、 は単体ではないため、依然として同型ではありません。つまり、K の単体ではありません。L から {4,5,6} を削除して修正すると、つまり、L が集合 {4,5}、{5,6}、{6,4} とその部分集合のみを含む ASC になると、f は同型になります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K\cong L}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f^{-1}(\{4,5,6\})=\{1,2,3\}}$

K と L を 2 つの幾何学的単体複体(GSC)とします。Kの L への単体写像は 、K の単体の頂点の像が L の単体を張るような関数です。つまり、任意の単体に対して、 となります。 これは、K の頂点が L の頂点に写像されることを意味します。^[1]${\displaystyle f:K\to L}$${\displaystyle \sigma \in K}$${\displaystyle \operatorname {conv} (f(V(\sigma )))\in L}$

同様に、単体写像を K の基底空間（K の単体の和集合）から L の基底空間への関数として定義することができ、 これは K のすべての単体を L の単体に線型に写す。つまり、任意の単体 に対して、であり、さらに、（から への制限）は線型関数である。^{[3] : 16  [4] : 3}すべての単体写像は連続である。 ${\displaystyle f:|K|\to |L|}$${\displaystyle \sigma \in K}$${\displaystyle f(\sigma )\in L}$${\displaystyle f\vert_{\sigma}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma}$

単体写像は頂点への影響によって決定されます。特に、与えられた 2 つの有限単体複体間の単体写像は有限個存在します。

2 つの ASC 間の単体写像は、重心座標を使用したそれらの幾何学的実現 (それらの基礎となる多面体) 間の単体写像を誘導します。これは正確に定義できます。^{[2] : 15、定義 1.5.3} K、L を 2 つの ASC とし、 を単体写像とします。のアフィン拡大は、次のように定義される写像です。任意の点 について、をそのサポート (内部にxを含む唯一の単体)とし、の頂点を で表します。点は、およびの頂点の凸結合として一意に表現されます(は の重心座標です)。 を定義します。この | f | は | K | から | L |への単体写像で、連続関数です。fが単射 の場合、| f |も単射です^{[2] : 15、命題1.5.4}${\displaystyle f:V(K)\to V(L)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|:|K|\to |L|}$${\displaystyle x\in |K|}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{k}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{k}a_{i}v_{i}}$${\displaystyle a_{i}\geq 0}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}=1}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |f|(x):=\sum _{i=0}^{k}a_{i}f(v_{i})}$

を単体複体の基底多面体間の連続写像とし、頂点の星を と書きます。となるような単体写像は、の単体近似と呼ばれます。 ${\displaystyle f\colon |K|\to |L|}$${\displaystyle {\text{st}}(v)}$${\displaystyle f_{\triangle }\colon K\to L}$${\displaystyle f({\text{st}}(v))\subseteq {\text{st}}(f_{\triangle }(v))}$${\displaystyle f}$

単体近似は、それが近似するマップと同型です。詳細については、 単体近似定理を参照してください。

K と L を 2 つの GSC とします。関数は、 Kの細分K ' とLの細分L 'が存在し、 が K' から L' への単体写像となる場合、区分線形(PL)と呼ばれます。すべての単体写像は PL ですが、その逆は真ではありません。たとえば、|K| と |L| が 2 つの三角形であり、 が| K |の左端半分を | L | の左端半分に線形に写像し、| K | の右端半分を | L | の右端半分に線形に写像する非線形関数であるとします。このとき、f は PL です。なぜなら、それは |K| の2つの三角形への細分と |L| の2つの三角形への細分との間の単体写像だからです。この概念は、区分線形関数の一般的な概念を単体複体に適用したものです。 ${\displaystyle f:|K|\to |L|}$ ${\displaystyle f:|K'|\to |L'|}$${\displaystyle f:|K|\to |L|}$

2 つの多面体 | K | と | L | の間のPL同相写像は、サブディビジョン間の単体写像が同相写像となるような PL 写像です。 ${\displaystyle f:|K'|\to |L'|}$