レフシェッツゼータ関数

数学において、レフシェッツ ゼータ関数は位相的周期・不動点理論、および力学系で使用されるツールである。連続写像 が与えられた場合、ゼータ関数は形式級数として定義される。 ${\displaystyle f\colon X\to X}$

${\displaystyle \zeta _{f}(t)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }L(f^{n}){\frac {t^{n}}{n}}\right),}$

ここで、 はの-番目の反復のレフシェッツ数です。このゼータ関数は、 のすべての反復に関する情報を含む単一の不変量であるため、位相周期点理論では注目に値します。 ${\displaystyle L(f^{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

上の恒等写像はレフシェッツゼータ関数を持つ。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{\chi (X)}}},}$

ここで、はのオイラー特性、すなわち恒等写像のレフシェッツ数 です。${\displaystyle \chi (X)}$${\displaystyle X}$

もう少し分かりやすい例として、 を単位円とし、 をx軸の鏡映、つまりとします。すると はレフシェッツ数 2 を持ち、 は恒等写像でレフシェッツ数 0 を持ちます。同様に、すべての奇数反復はレフシェッツ数 2 を持ち、すべての偶数反復はレフシェッツ数 0 を持ちます。したがって、 のゼータ関数は ${\displaystyle X=S^{1}}$${\displaystyle f\colon S^{1}\to S^{1}}$${\displaystyle f(\theta )=-\theta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{2}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{f}(t)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2t^{2n+1}}{2n+1}}\right)\\&=\exp \left(\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\right\}-\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{2n}}\right\}\right)\\&=\exp \left(-2\log(1-t)+\log(1-t^{2})\right)\\&={\frac {1-t^{2}}{(1-t)^{2}}}\\&={\frac {1+t}{1-t}}\end{aligned}}}$

fがn次元のコンパクト多様体X （またはより一般的には任意のコンパクト多面体）上の連続写像である場合、ゼータ関数は式

${\displaystyle \zeta_{f}(t)=\prod_{i=0}^{n}\det(1-tf_{\ast}|H_{i}(X,\mathbf{Q}))^{(-1)^{i+1}}.}$

したがって、これは有理関数です。分子と分母に現れる多項式は、本質的には、さまざまなホモロジー空間上の fによって誘導されるマップの特性多項式です。

この生成関数は本質的にはアルティン・マズールのゼータ関数の代数形式であり、fの固定点と周期点に関する幾何学的情報を与えます。

• レフシェッツの不動点定理
• アルティン・マズールゼータ関数
• ルエルゼータ関数

• フェルシュティン、アレクサンダー (2000)、「動的ゼータ関数、ニールセン理論、ライデマイスター捩れ」、アメリカ数学会誌、147 (699)、arXiv : chao-dyn/9603017、MR  1697460