機械システムの運動を記述する2階偏微分方程式
変分法 と 古典力学 において 、 オイラー・ラグランジュ方程式 [1] は、与えられた 作用関数の 停留点 を解とする2階常 微分方程式 のシステムである。この方程式は、1750年代にスイスの数学者 レオンハルト・オイラー とイタリアの数学者 ジョゼフ・ルイ・ラグランジュ によって発見された 。
微分可能な関数はその局所的 極値 で定常であるため、オイラー・ラグランジュ方程式は 、何らかの関数が与えられたときにそれを最小化または最大化する関数を求める 最適化 問題を解くのに役立ちます。これは、微分可能な関数が局所的極値を達成するどの点でもその 導関数 はゼロになるという、 微積分学 の フェルマーの定理に類似しています。 ラグランジュ力学では、 ハミルトンの定常作用原理 に従って、物理システムの発展は、 システムの 作用 に関するオイラー方程式の解によって記述されます。この文脈では、オイラー方程式は通常、 ラグランジュ方程式 と呼ばれます。 古典力学 では、 [2] これは ニュートンの運動の法則 に相当し、実際、オイラー・ラグランジュ方程式はニュートンの法則と同じ方程式を生成します。これは、力のベクトルが特に複雑なシステムを解析するときに特に役立ちます。これは、どの 一般化座標 系でも同じ形をとるという利点があり 、一般化に適している。 古典的な場の理論には、 場 のダイナミクスを計算するための 類似の方程式 がある 。
歴史 オイラー・ラグランジュ方程式は、トートクローン 問題の研究に関連して開発されました 。 オイラー・ラグランジュ方程式は、1750 年代にオイラーとラグランジュがトートクローン 問題の研究に関連して考案しました 。これは、出発点とは無関係に、重みのある粒子が一定の時間内に一定の点に落ちる曲線を決定する問題です。
ラグランジュは1755年にこの問題を解き、その解をオイラーに送った。両者はラグランジュの方法をさらに発展させて 力学に応用し、 ラグランジュ力学 の定式化に至った。彼らのやり取りは最終的に 変分法 につながり 、1766年にオイラー自身がこの用語を作り出した。 [3]
声明 を自由度 を持つ 実動的システム とします 。ここで 配置空間 は 、 ラグランジアン 、 つまり滑らかな実数値関数で 、 は-次元の「速度のベクトル」 です。(微分 幾何学に 精通している方のために説明すると 、 は 滑らかな多様体 であり、 は の 接線バンドル です。
（ バツ 、 ら ）
{\displaystyle (X,L)}
ん
{\displaystyle n}
バツ
{\displaystyle X}
ら = ら （ t 、
q
（ t ） 、
ヴ
（ t ） ）
{\displaystyle L=L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {v}}(t))}
q
（ t ） ∈ バツ 、
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}(t)\in X,}
ヴ
（ t ）
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)}
ん
{\displaystyle n}
バツ
{\displaystyle X}
ら :
R
t
× T バツ →
R
、
{\displaystyle L:{\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R} },}
T バツ
{\displaystyle TX}
バツ ） 。
{\displaystyle X).}
を 滑らかな経路の集合と し 、
ポ
（ 1つの 、 b 、
x
1つの
、
x
b
）
{\displaystyle {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}
q
: [ 1つの 、 b ] → バツ
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X}
q
（ 1つの ） =
x
1つの
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}}
q
（ b ） =
x
b
。
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.}
アクション 関数 は次のように定義されます。
S :
ポ
（ 1つの 、 b 、
x
1つの
、
x
b
） →
R
{\displaystyle S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R} }
S [
q
] =
∫
1つの
b
ら （ t 、
q
（ t ） 、
q ˙
（ t ） ） d t 。
{\displaystyle S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt.}
パスは、 次の条件を満たす場合のみ、
静止点 と なる。
q
∈
ポ
（ 1つの 、 b 、
x
1つの
、
x
b
）
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}
S
{\displaystyle S}
∂ ら
∂
q
私
（ t 、
q
（ t ） 、
q ˙
（ t ） ） −
d
d
t
∂ ら
∂
q ˙
私
（ t 、
q
（ t ） 、
q ˙
（ t ） ） = 0 、 私 = 1 、 … 、 ん 。
{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.}
ここで、 は の時間微分です。 定常点とは、 の任意の小さな摂動に対する の定常点を意味します 。 より厳密な詳細については、以下の証明を参照してください。
q ˙
（ t ）
{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {q}}}(t)}
q
（ t ） 。
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}(t).}
S
{\displaystyle S}
q
{\displaystyle {\boldsymbol {q}}}
1次元オイラー・ラグランジュ方程式の導出 1 次元オイラー・ラグランジュ方程式の導出は、 数学 における古典的な証明の 1 つです。これは 変分法の基本補題 に依存しています。
境界条件 、を満たし 、関数を極値化する
関数を見つけたい。
ふ
{\displaystyle f}
ふ （ 1つの ） = あ
{\displaystyle f(a)=A}
ふ （ b ） = B
{\displaystyle f(b)=B}
J [ ふ ] =
∫
1つの
b
ら （ x 、 ふ （ x ） 、
ふ ′
（ x ） ）
d
x
。
{\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .}
は2回連続微分可能であると仮定する 。 [4] より弱い仮定を使用することもできるが、証明はより困難になる。 [ 要出典 ]
ら
{\displaystyle L}
が境界条件に従って関数を極値化する場合、境界値を保存する のわずかな摂動は 、 （ が 最小化する場合）増加するか、 （ が最大化する場合）減少する必要があります。
ふ
{\displaystyle f}
ふ
{\displaystyle f}
J
{\displaystyle J}
ふ
{\displaystyle f}
J
{\displaystyle J}
ふ
{\displaystyle f}
を の 摂動の結果と します。 ここで は 小さく、 は を満たす微分可能関数です 。次に定義します。
ふ + ε η
{\displaystyle f+\varepsilon \eta }
ε η
{\displaystyle \varepsilon \eta }
ふ
{\displaystyle f}
ε
{\displaystyle \epsilon }
η
{\displaystyle \eta}
η （ 1つの ） = η （ b ） = 0
{\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}
Φ （ ε ） = J [ ふ + ε η ] =
∫
1つの
b
ら （ x 、 ふ （ x ） + ε η （ x ） 、
ふ ′
（ x ） + ε
η ′
（ x ） ）
d
x
。
{\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]=\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\ .}
ここで、 ε に関する の 全微分 を計算します 。
Φ
{\displaystyle \Phi }
d
Φ
d
ε
=
d
d
ε
∫
a
b
L
(
x
,
f
(
x
)
+
ε
η
(
x
)
,
f
′
(
x
)
+
ε
η
′
(
x
)
)
d
x
=
∫
a
b
d
d
ε
L
(
x
,
f
(
x
)
+
ε
η
(
x
)
,
f
′
(
x
)
+
ε
η
′
(
x
)
)
d
x
=
∫
a
b
[
η
(
x
)
∂
L
∂
f
(
x
,
f
(
x
)
+
ε
η
(
x
)
,
f
′
(
x
)
+
ε
η
′
(
x
)
)
+
η
′
(
x
)
∂
L
∂
f
′
(
x
,
f
(
x
)
+
ε
η
(
x
)
,
f
′
(
x
)
+
ε
η
′
(
x
)
)
]
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial {f}}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\right]\mathrm {d} x\ .\end{aligned}}}
3 行目は、が に依存しない 、つまり であるという 事実から導かれます 。
x
{\displaystyle x}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
d
x
d
ε
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0}
のとき 、は 極値 を持ち 、
ε
=
0
{\displaystyle \varepsilon =0}
Φ
{\displaystyle \Phi }
d
Φ
d
ε
|
ε
=
0
=
∫
a
b
[
η
(
x
)
∂
L
∂
f
(
x
,
f
(
x
)
,
f
′
(
x
)
)
+
η
′
(
x
)
∂
L
∂
f
′
(
x
,
f
(
x
)
,
f
′
(
x
)
)
]
d
x
=
0
.
{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .}
次のステップは、 被積分関数の2番目の項
に部分積分を適用し、次の式を得ることである。
∫
a
b
[
∂
L
∂
f
(
x
,
f
(
x
)
,
f
′
(
x
)
)
−
d
d
x
∂
L
∂
f
′
(
x
,
f
(
x
)
,
f
′
(
x
)
)
]
η
(
x
)
d
x
+
[
η
(
x
)
∂
L
∂
f
′
(
x
,
f
(
x
)
,
f
′
(
x
)
)
]
a
b
=
0
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]_{a}^{b}=0\ .}
境界条件を用いると 、
η
(
a
)
=
η
(
b
)
=
0
{\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}
∫
a
b
[
∂
L
∂
f
(
x
,
f
(
x
)
,
f
′
(
x
)
)
−
d
d
x
∂
L
∂
f
′
(
x
,
f
(
x
)
,
f
′
(
x
)
)
]
η
(
x
)
d
x
=
0
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.}
変分法の基本補題 を適用すると 、オイラー・ラグランジュ方程式が得られる。
∂
L
∂
f
(
x
,
f
(
x
)
,
f
′
(
x
)
)
−
d
d
x
∂
L
∂
f
′
(
x
,
f
(
x
)
,
f
′
(
x
)
)
=
0
.
{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))=0\,.}
1次元オイラー・ラグランジュ方程式の代替導出 境界条件がおよびで ある
上の 汎関数が与えられた場合
、極値曲線を線分を含む折れ線で近似し 、線分の数が任意に大きくなるにつれて極限まで進みます。
J
=
∫
a
b
L
(
t
,
y
(
t
)
,
y
′
(
t
)
)
d
t
{\displaystyle J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t}
C
1
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C^{1}([a,b])}
y
(
a
)
=
A
{\displaystyle y(a)=A}
y
(
b
)
=
B
{\displaystyle y(b)=B}
n
{\displaystyle n}
区間を 端点を持つ等しい線分 に分割し 、 とします 。滑らかな関数ではなく、 頂点 を持つ折れ線を考えます 。ここで 、 および です 。したがって、関数は、 次に示す変数
の実関数になります。
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
n
{\displaystyle n}
t
0
=
a
,
t
1
,
t
2
,
…
,
t
n
=
b
{\displaystyle t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b}
Δ
t
=
t
k
−
t
k
−
1
{\displaystyle \Delta t=t_{k}-t_{k-1}}
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
(
t
0
,
y
0
)
,
…
,
(
t
n
,
y
n
)
{\displaystyle (t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})}
y
0
=
A
{\displaystyle y_{0}=A}
y
n
=
B
{\displaystyle y_{n}=B}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
J
(
y
1
,
…
,
y
n
−
1
)
≈
∑
k
=
0
n
−
1
L
(
t
k
,
y
k
,
y
k
+
1
−
y
k
Δ
t
)
Δ
t
.
{\displaystyle J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.}
離散点上 で定義されたこの新しい関数の極値は、
t
0
,
…
,
t
n
{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n}}
∂
J
(
y
1
,
…
,
y
n
)
∂
y
m
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.}
3 番目の引数の導関数では、の変更は m だけでなく m-1 でも L に影響することに注意してください。
y
m
{\displaystyle y_{m}}
L
(
3rd argument
)
(
y
m
+
1
−
(
y
m
+
Δ
y
m
)
Δ
t
)
=
L
(
y
m
+
1
−
y
m
Δ
t
)
−
∂
L
∂
y
′
Δ
y
m
Δ
t
{\displaystyle L({\text{3rd argument}})\left({\frac {y_{m+1}-(y_{m}+\Delta y_{m})}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}}
L
(
(
y
m
+
Δ
y
m
)
−
y
m
−
1
Δ
t
)
=
L
(
y
m
−
y
m
−
1
Δ
t
)
+
∂
L
∂
y
′
Δ
y
m
Δ
t
{\displaystyle L\left({\frac {(y_{m}+\Delta y_{m})-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}}
偏微分を評価すると、
∂
J
∂
y
m
=
L
y
(
t
m
,
y
m
,
y
m
+
1
−
y
m
Δ
t
)
Δ
t
+
L
y
′
(
t
m
−
1
,
y
m
−
1
,
y
m
−
y
m
−
1
Δ
t
)
−
L
y
′
(
t
m
,
y
m
,
y
m
+
1
−
y
m
Δ
t
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).}
上記の式を で割ると次の式が 得られ
、 この式の右辺の
極限をとると次の式が得られる。
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
∂
J
∂
y
m
Δ
t
=
L
y
(
t
m
,
y
m
,
y
m
+
1
−
y
m
Δ
t
)
−
1
Δ
t
[
L
y
′
(
t
m
,
y
m
,
y
m
+
1
−
y
m
Δ
t
)
−
L
y
′
(
t
m
−
1
,
y
m
−
1
,
y
m
−
y
m
−
1
Δ
t
)
]
,
{\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],}
Δ
t
→
0
{\displaystyle \Delta t\to 0}
L
y
−
d
d
t
L
y
′
=
0.
{\displaystyle L_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.}
前の式の左辺は、 関数の 関数微分 です。微分可能な関数が何らかの関数上で極値を持つための必要条件は、その関数における関数微分がゼロになることであり、これは最後の式によって満たされます。
δ
J
/
δ
y
{\displaystyle \delta J/\delta y}
J
{\displaystyle J}
例 標準的な例 [ 要出典 ]は、 y ( a )= c かつ y ( b )= d となるような区間[ a , b ]上の 実数値関数 y ( x )を見つけることであり、この場合、 y が描く 曲線 に沿った 経路 長は 可能な限り短くなります。
s
=
∫
a
b
d
x
2
+
d
y
2
=
∫
a
b
1
+
y
′
2
d
x
,
{\displaystyle {\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,}
被積分関数は です 。
L
(
x
,
y
,
y
′
)
=
1
+
y
′
2
{\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}
L の偏導関数は次のとおり です。
∂
L
(
x
,
y
,
y
′
)
∂
y
′
=
y
′
1
+
y
′
2
and
∂
L
(
x
,
y
,
y
′
)
∂
y
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.}
これらをオイラー・ラグランジュ方程式に代入すると、
d
d
x
y
′
(
x
)
1
+
(
y
′
(
x
)
)
2
=
0
y
′
(
x
)
1
+
(
y
′
(
x
)
)
2
=
C
=
constant
⇒
y
′
(
x
)
=
C
1
−
C
2
=:
A
⇒
y
(
x
)
=
A
x
+
B
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}}
つまり、関数は一定の一次導関数を持つ必要があり、したがってその グラフは 直線に なります 。
一般化
高階微分を持つ単一変数の単一関数 関数の定常値
I
[
f
]
=
∫
x
0
x
1
L
(
x
,
f
,
f
′
,
f
″
,
…
,
f
(
k
)
)
d
x
;
f
′
:=
d
f
d
x
,
f
″
:=
d
2
f
d
x
2
,
f
(
k
)
:=
d
k
f
d
x
k
{\displaystyle I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}}
オイラー・ラグランジュ方程式から得られる [5]
∂
L
∂
f
−
d
d
x
(
∂
L
∂
f
′
)
+
d
2
d
x
2
(
∂
L
∂
f
″
)
−
⋯
+
(
−
1
)
k
d
k
d
x
k
(
∂
L
∂
f
(
k
)
)
=
0
{\displaystyle {\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0}
関数自体と 1 次導 関数（つまりすべての ）の境界条件は固定されています。最高導関数の終点値は 柔軟なままです。
k
−
1
{\displaystyle k-1}
f
(
i
)
,
i
∈
{
0
,
.
.
.
,
k
−
1
}
{\displaystyle f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}}
f
(
k
)
{\displaystyle f^{(k)}}
単一変数と単一導関数のいくつかの関数 問題が、 関数の極値を定義する
単一の独立変数（ ）の複数の関数（ ）を見つけることである場合、
f
1
,
f
2
,
…
,
f
m
{\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}}
x
{\displaystyle x}
I
[
f
1
,
f
2
,
…
,
f
m
]
=
∫
x
0
x
1
L
(
x
,
f
1
,
f
2
,
…
,
f
m
,
f
1
′
,
f
2
′
,
…
,
f
m
′
)
d
x
;
f
i
′
:=
d
f
i
d
x
{\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}}
対応するオイラー・ラグランジュ方程式は [6]
∂
L
∂
f
i
−
d
d
x
(
∂
L
∂
f
i
′
)
=
0
;
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0;\quad i=1,2,...,m\end{aligned}}}
単一の導関数を持つ複数の変数の単一関数 多次元一般化はn変数の関数を考えることで得られる。が 何らかの面である場合、
Ω
{\displaystyle \Omega }
I
[
f
]
=
∫
Ω
L
(
x
1
,
…
,
x
n
,
f
,
f
1
,
…
,
f
n
)
d
x
;
f
j
:=
∂
f
∂
x
j
{\displaystyle I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}}
は、 fが 偏微分方程式 を満たす 場合にのみ極値となる。
∂
L
∂
f
−
∑
j
=
1
n
∂
∂
x
j
(
∂
L
∂
f
j
)
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.}
n = 2 かつ汎関数 が エネルギー汎関数 の場合 、これは石鹸膜 最小曲面 問題につながります。
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
単一の導関数を持つ複数の変数の複数の関数 決定すべき未知の関数が複数あり、変数が複数ある場合、
I
[
f
1
,
f
2
,
…
,
f
m
]
=
∫
Ω
L
(
x
1
,
…
,
x
n
,
f
1
,
…
,
f
m
,
f
1
,
1
,
…
,
f
1
,
n
,
…
,
f
m
,
1
,
…
,
f
m
,
n
)
d
x
;
f
i
,
j
:=
∂
f
i
∂
x
j
{\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}
オイラー・ラグランジュ方程式系は [5]
∂
L
∂
f
1
−
∑
j
=
1
n
∂
∂
x
j
(
∂
L
∂
f
1
,
j
)
=
0
1
∂
L
∂
f
2
−
∑
j
=
1
n
∂
∂
x
j
(
∂
L
∂
f
2
,
j
)
=
0
2
⋮
⋮
⋮
∂
L
∂
f
m
−
∑
j
=
1
n
∂
∂
x
j
(
∂
L
∂
f
m
,
j
)
=
0
m
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}}
高階微分を持つ2変数の単関数 2つの変数x 1 と x 2 に依存する 単一の未知の関数 f を決定し、その関数が fの n 次
までの高次導関数に依存し、
I
[
f
]
=
∫
Ω
L
(
x
1
,
x
2
,
f
,
f
1
,
f
2
,
f
11
,
f
12
,
f
22
,
…
,
f
22
…
2
)
d
x
f
i
:=
∂
f
∂
x
i
,
f
i
j
:=
∂
2
f
∂
x
i
∂
x
j
,
…
{\displaystyle {\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}
するとオイラー・ラグランジュ方程式は [5]
∂
L
∂
f
−
∂
∂
x
1
(
∂
L
∂
f
1
)
−
∂
∂
x
2
(
∂
L
∂
f
2
)
+
∂
2
∂
x
1
2
(
∂
L
∂
f
11
)
+
∂
2
∂
x
1
∂
x
2
(
∂
L
∂
f
12
)
+
∂
2
∂
x
2
2
(
∂
L
∂
f
22
)
−
⋯
+
(
−
1
)
n
∂
n
∂
x
2
n
(
∂
L
∂
f
22
…
2
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}}
これは簡単に次のように表すことができます。
∂
L
∂
f
+
∑
j
=
1
n
∑
μ
1
≤
…
≤
μ
j
(
−
1
)
j
∂
j
∂
x
μ
1
…
∂
x
μ
j
(
∂
L
∂
f
μ
1
…
μ
j
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}
ここで、 は変数の数にまたがるインデックスです。つまり、ここでは 1 から 2 までです。ここで、 インデックスの合計は のみで 、同じ偏導関数が複数回カウントされるのを避けるためです。たとえば、 前の式では は 1 回しか現れません。
μ
1
…
μ
j
{\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}
μ
1
…
μ
j
{\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}
μ
1
≤
μ
2
≤
…
≤
μ
j
{\displaystyle \mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}}
f
12
=
f
21
{\displaystyle f_{12}=f_{21}}
高階微分を持つ多変数関数 決定すべき p個の 未知の関数 f i があり、それらは m 個の変数 x 1 ... x m に依存しており、その関数が f iの n 次
の高次導関数に依存していて、
I
[
f
1
,
…
,
f
p
]
=
∫
Ω
L
(
x
1
,
…
,
x
m
;
f
1
,
…
,
f
p
;
f
1
,
1
,
…
,
f
p
,
m
;
f
1
,
11
,
…
,
f
p
,
m
m
;
…
;
f
p
,
1
…
1
,
…
,
f
p
,
m
…
m
)
d
x
f
i
,
μ
:=
∂
f
i
∂
x
μ
,
f
i
,
μ
1
μ
2
:=
∂
2
f
i
∂
x
μ
1
∂
x
μ
2
,
…
{\displaystyle {\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}
ここで、 は変数の数、つまり1からmまでのインデックスです。すると、オイラー・ラグランジュ方程式は次のようになります。
μ
1
…
μ
j
{\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}
∂
L
∂
f
i
+
∑
j
=
1
n
∑
μ
1
≤
…
≤
μ
j
(
−
1
)
j
∂
j
∂
x
μ
1
…
∂
x
μ
j
(
∂
L
∂
f
i
,
μ
1
…
μ
j
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}
ここで、 の和は、 前の節と同様に、
同じ導関数を複数回カウントすることを避けています。これは、より簡潔に次のように表現できます。
μ
1
…
μ
j
{\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}
f
i
,
μ
1
μ
2
=
f
i
,
μ
2
μ
1
{\displaystyle f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}}
∑
j
=
0
n
∑
μ
1
≤
…
≤
μ
j
(
−
1
)
j
∂
μ
1
…
μ
j
j
(
∂
L
∂
f
i
,
μ
1
…
μ
j
)
=
0
{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}
場の理論
多様体への一般化 を滑らかな多様 体と し 、を 滑らかな関数 の
空間とします 。すると、
M
{\displaystyle M}
C
∞
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle C^{\infty }([a,b])}
f
:
[
a
,
b
]
→
M
{\displaystyle f\colon [a,b]\to M}
S
:
C
∞
(
[
a
,
b
]
)
→
R
{\displaystyle S\colon C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R} }
S
[
f
]
=
∫
a
b
(
L
∘
f
˙
)
(
t
)
d
t
{\displaystyle S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t}
ここで は ラグランジアンであり、 というステートメントは、すべての に対して、 の近傍の 各座標フレーム 単純化 によって次の方程式が得られるという ステートメントと同等です 。
L
:
T
M
→
R
{\displaystyle L\colon TM\to \mathbb {R} }
d
S
f
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} S_{f}=0}
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
(
x
i
,
X
i
)
{\displaystyle (x^{i},X^{i})}
f
˙
(
t
)
{\displaystyle {\dot {f}}(t)}
dim
M
{\displaystyle \dim M}
∀
i
:
d
d
t
∂
L
∂
X
i
|
f
˙
(
t
)
=
∂
L
∂
x
i
|
f
˙
(
t
)
.
{\displaystyle \forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.}
オイラー・ラグランジュ方程式は座標フリー形式で次のように書くこともできる [7]
L
Δ
θ
L
=
d
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Delta }\theta _{L}=dL}
ここで、 は ラグランジアン に対応する 正準運動量 1 形式 です。時間変換を生成するベクトル場は で表され 、 リー導関数 は で表されます。 および の ローカル チャートを使用し 、 リー導関数の座標表現を使用して、オイラー ラグランジュ方程式の座標表現との等価性を確認できます。座標フリー形式は、オイラー ラグランジュ方程式の幾何学的解釈に特に適しています。
θ
L
{\displaystyle \theta _{L}}
L
{\displaystyle L}
Δ
{\displaystyle \Delta }
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
(
q
α
,
q
˙
α
)
{\displaystyle (q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })}
θ
L
=
∂
L
∂
q
˙
α
d
q
α
{\displaystyle \theta _{L}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}dq^{\alpha }}
Δ
:=
d
d
t
=
q
˙
α
∂
∂
q
α
+
q
¨
α
∂
∂
q
˙
α
{\displaystyle \Delta :={\frac {d}{dt}}={\dot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial q^{\alpha }}}+{\ddot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}}
参照
無料辞書のウィクショナリーで オイラー・ラグランジュ方程式 を調べてください。
注記
^ フォックス、チャールズ（1987）。 変分法入門 。クーリエ・ドーバー出版 。ISBN 978-0-486-65499-7 。 ^ Goldstein, H. ; Poole, CP; Safko, J. (2014). 古典力学 （第3版）. Addison Wesley.
^ ラグランジュの略歴 2007-07-14 ウェイバックマシンにアーカイブ ^ クーラント＆ヒルベルト 1953、184ページ ^ abc Courant, R ; Hilbert, D (1953). Methods of Mathematical Physics . Vol. I (First English ed.). New York: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474 。 ^ Weinstock, R. (1952). 変分法とその物理学および工学への応用 . ニューヨーク: McGraw-Hill. ^ ホセ・サレタン（1998年）。古典力学：現代的アプローチ。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 9780521636360 . 2023年9月12日 閲覧 。
参考文献
![{\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de52d438b2b841e73128afa9266346c8cc9e5643)
![{\displaystyle S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55e2d8b07c21a94752a392681498fb673aa04de)
![{\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d711863f209453b47131575ffa00491872f97039)
![{\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]=\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x )+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957d4ecf45871277b6635a87a9d686c9e8b86fda)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \バレプシロン }}\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\バレプシロン \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial {f}}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f' (x)+\varepsilon \eta '(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x) ,f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\right]\mathrm {d} x\ .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1733872413ac89abf11af238ac483ff48538b293)
![{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88465a59bbeff96318ec70713984c13fcd9349d3)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]_{a}^{b}=0\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e58eb9991f8e3e9a44cb62ef844efb1e1746c8)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/909726d12044408a588940495359da09e22d6fe2)
![{\displaystyle C^{1}([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d44d2584dad0d92346326d4eff220968446993)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009f74c389cb1aa937dea080441a3a99371492ca)
![{\displaystyle I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0225dddd92f86184bf165d4b5e4a58844f9049d)
![{\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f781ed0b37670be01ea7542d64eeef89d72a87c1)
![{\displaystyle I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42836df9987f316a4141697b98757b87c6d08f1)
![{\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80dedbd5d62ca4f9353f7a954124655f21e6266a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96618e8ff2b1fe9a72186bc017b213b567bb9e9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52eecfa9f667cb99c73faf1e7335ea31eaf8dfef)
![{\displaystyle C^{\infty }([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659892a168b4498e587161258ca400db12561727)
![{\displaystyle f\colon [a,b]\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be9c31894c700d893f657b1d5c510b92a4caf4ec)
![{\displaystyle S\colon C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60af08c49741a10da0f2f90bc8b19bf01c70aeb)
![{\displaystyle S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa07716cf37832981db890147592174562074312)
![{\displaystyle t\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f3050ace6dc0dd95250c418528da28eb477ffe)
