クッタ・ジューコフスキーの定理

まず、任意の断面を持つ円筒の各単位長さに働く力を計算します。^[6]この単位長さあたりの力（以下、単に力と呼ぶ）を とします。すると、全体の力は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =-\oint _{C}p\mathbf {n} \,ds,}$

ここで、C はシリンダーの境界線、は流体の静圧、はシリンダーに垂直な単位ベクトル、 ds は断面の境界線の円弧要素です。ここで、法線ベクトルと垂直線の間の角度をとします。上記の力の成分は次のようになります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {n} \,}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\,,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.}$

ここで重要なステップが来ます。使用する 2 次元空間を複素平面として考えます。したがって、すべてのベクトルは複素数として表すことができ、その最初の要素は複素数の実数部に等しく、2 番目の要素は虚数部に等しくなります。すると、力は次のように表すことができます。

${\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}p(\sin \phi -i\cos \phi )\,ds.}$

次のステップは、力の複素共役を取って何らかの操作を行うことです。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.}$

表面セグメントds は、それに沿った変化dzと次のように関連しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}dz&=dx+idy=ds(\cos \phi +i\sin \phi )=ds\,e^{i\phi }\\{}\Rightarrow d{\bar {z}}&=e^{-i\phi }ds.\end{aligned}}}$

これを積分に戻すと、結果は次のようになります。

${\displaystyle {\bar {F}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.}$

ここで、積分から圧力を取り除くためにベルヌーイ方程式が使用されます。解析全体を通して、外部力場は存在しないものと仮定します。流れの質量密度は、圧力と速度の関係は次のようになります。 ${\displaystyle \rho .}$${\displaystyle p}$${\displaystyle v=v_{x}+iv_{y}}$

${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.}$

これにより、力は次のようになります。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\bar {F}}=-ip_{0}\oint _{C}d{\bar {z}}+i{\frac {\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}|v|^{2}\,d{\bar {z}}.}$

残されたステップは 1 つだけです。流れの複素ポテンシャルを導入することです。これは速度成分と次のように関連しています。ここで、アポストロフィは複素変数zに関する微分を表します。速度は境界線Cに接しているので、次のようになります。したがって、力の目的の式が得られます。 ${\displaystyle w=f(z),}$${\displaystyle w'=v_{x}-iv_{y}={\bar {v}},}$${\displaystyle v=\pm |v|e^{i\phi }.}$${\displaystyle v^{2}d{\bar {z}}=|v|^{2}dz,}$

${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}w'^{2}\,dz,}$

これはブラシウスの定理と呼ばれます。

ジュコウスキーの公式を得るには、この積分を評価する必要があります。複素解析から、正則関数はローラン級数として表すことができることがわかっています。問題の物理的性質から、複素ポテンシャルの導関数は次のようになると推測されます。 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\cdots .}$

速度は無限大では有限のままなので、関数には高次の項は含まれません。したがって、 は無限大における複素ポテンシャルの導関数を表します。次のタスクは の意味を見つけることです。上記の級数に 留数定理を使用すると、次のようになります。${\displaystyle a_{0}\,}$${\displaystyle a_{0}=v_{x\infty }-iv_{y\infty }\,}$${\displaystyle a_{1}\,}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w'\,dz.}$

次に、上記の統合を実行します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}w'(z)\,dz&=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)\\&=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)\\&=\oint _{C}\mathbf {v} \,{ds}+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).\end{aligned}}}$

最初の積分は、次のように表される循環として認識されます。2 番目の積分は、いくつかの操作を行うことで評価できます。 ${\displaystyle \Gamma .}$

${\displaystyle \oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}dx\right)=\oint _{C}d\psi =0.}$

ここで、流れ関数は、円筒のC境界自体が流線であるため、流れ関数は変化せず、 となります。したがって、上記の積分はゼロになります。結果として、 ${\displaystyle \psi \,}$${\displaystyle d\psi =0\,}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {\Gamma }{2\pi i}}.}$

次の級数の平方をとります。

${\displaystyle w'^{2}(z)=a_{0}^{2}+{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi iz}}+\cdots .}$

これを Blasius–Chaplygin の公式に代入し、留数定理を使用して積分を実行します。

${\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\left[2\pi i{\frac {a_{0}\Gamma }{\pi i}}\right]=i\rho a_{0}\Gamma =i\rho \Gamma (v_{x\infty }-iv_{y\infty })=\rho \Gamma v_{y\infty }+i\rho \Gamma v_{x\infty }=F_{x}-iF_{y}.}$

したがって、クッタ・ジューコフスキーの公式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=\rho \Gamma v_{y\infty }\,,&F_{y}&=-\rho \Gamma v_{x\infty }.\end{aligned}}}$