カタパヤディシステム

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カッタパヤーディ記数法（デーバナーガリー語：कटपयादि、パラルッペルとも呼ばれる、マラヤーラム語：പരല്‍പ്പേര് ） は、数字を単語や詩として簡単に覚えられるように、文字を字に表す古代インドの英音数法 です。1つの数字に複数の文字を割り

Kaṭapayādi (サンスクリット語: कटपयादि) システムの使用を示す最も古い証拠は、西暦683 年のHaridattaによるGrahacāraṇibandhanaにあります。^[1]西暦869 年にŚaṅkara・nārāyaṇaによって書かれたLaghu・bhāskarīya・vivaraṇaで使用されています。^[2]

ケーララ州で人気のあった天文学の文献の中には、惑星の位置がカタパヤーディ方式で記されていたものもある。そのような著作の最初のものは、伝統的に紀元4世紀とされるヴァラルチの『チャンドラ・ヴァクヤニ』であると考えられている。したがって、カタパヤーディ方式の起源は紀元1千年紀の初め頃と推定される。^[3]

アーリヤバータは、著書『アーリヤ・バティーヤ』の中で、天文学上の数字を表現するために、同様の、より複雑なシステムを使用していたことが知られている。カタパヤーディのシステムがアーリヤバタ記数法に由来するかどうかについては、決定的な証拠はない。^[4]

カタパヤーディ方式の使用に関する証拠は、ほぼすべて南インド、特にケーララ州で見つかっている。北インドでの使用についてはあまり知られていない。しかし、北インドで発見されたサンスクリットの 天体観測儀には、高度の度数がカタパヤーディ方式で記されていた。これはバラナシのサンプルナンド・サンスクリット大学のサラスヴァティ・バヴァン図書館に保存されている。 ^[5]

カタパヤーディシステムはインドに限られたものではない。カタパヤーディシステムに基づいたパーリ語の 年代記がビルマで発見されている。^[6]

シャンカラヴァルマンの 『サドラトナマーラ』にある次の詩は、このシステムの仕組みを説明しています。^{[7] [8]}

意味: कटपयादय:।
ログイン して翻訳を追加するहलस्वर:॥

翻字:

nanyāvachaścha śōnyāni sankhyāḥ kaṭapayādayaḥ
miśre tōpāntyahal sankhyā na cha chintyo halasvaraḥ

翻訳: na (न)、ña (ञ)、a (अ)-s、つまり母音はゼロを表します。9つの整数は、 ka、ṭa、pa、yaで始まる子音グループによって表されます。連結子音では、最後の子音のみがカウントされます。母音のない子音は無視されます。

説明: 数字への文字の割り当ては次の配置に従います (それぞれデーヴァナーガリー文字、カンナダ文字、テルグ文字、マラヤーラム文字)

• 子音には上記の表に従って数字が割り当てられています。たとえば、ba (ब) は常に 3 ですが、5 はnga (ङ)、ṇa (ण)、ma (म)、śha (श) のいずれかで表すことができます。
• a (अ) やṛ (ऋ)などのすべての単独母音には 0 が割り当てられます。
• 接続詞の場合、非母音に付随する子音は無価値になります。たとえば、kya (क्य) は、k (क्) + y (य्) + a (अ) で形成されます。母音に付随する子音はya (य) のみです。したがって、 kya (क्य)に対応する数字は1 になります。
• システムでは小数点を表す方法がありません。
• インド人は、伝統的に左から右へ桁の値が増加する形で記されるヒンドゥー・アラビア数字システムを使用して番号を記します。これは、数字が右から左に進むことを意味する「अङ्कानां वामतो गतिः」という規則に従います。

• 子音ḷ (マラヤーラム語: ള、デーヴァナーガリ語: ळ、カンナダ語: ಳ)は、マーダヴァの正弦表など、Kaṭapayādi システムを使用する作品で使用されます。
• 中世後期の実践者は、単独の母音をゼロにマッピングしません。しかし、それは無価値であると考えられることもあります。

• 14 世紀のケーララ州の 数学者兼天文学者で あるサンガマグラマのマーダヴァによって作成されたマーダヴァの正弦表は、カタパヤディ システムを使用して三角関数の角度の正弦を一覧表示します。
• 15 世紀に書かれたKaraṇa·paddhati には、円周率(π)の値を表す次のślokaがあります。

അനൂനനൂന്നാനനനുന്നനിത്യൈ-

സ്സമാഹതാശ്ചക്രകലാവിഭക്താഃ

ചണ്ഡാംശുചന്ദ്രാധമകുംഭിപാലൈര്‍-

വ്യാസസ്തദര്‍ദ്ധം ത്രിഭമൗര്‍വിക സ്യാത്‌

音訳

アヌナヌンナナナンヌンナニティアイ

スマハターシュチャクラ カラヴィバクトー

カンドゥラーダムシュカンドラダムクンビパーレア

ヴィアーサスタダールヴィカ シャット

直径anūnanūnnānananunnanityai (10,000,000,000)の円の円周はcaṇḍāṃśucandrādhamakuṃbhipālair (31415926536) と表されます。

• シャンカラヴァルマンの『サドラトナマーラ』はカッタパヤーディ方式を採用している。 『サドラトナマーラ』第4章の最初の詩節は次の行で終わる。^[9]

（स्याद्）意味:

音訳

(syād) バドラームブディシッダジャンマガニタシュラッダ スマ ヤッド ブーパギータ

関連するフレーズの子音を分割すると、

数字を現代の小数点以下の降順の順序に逆にすると、314159265358979324となり、これは円周率(π) の小数点以下 17 桁の値ですが、最後の桁は 4 に切り捨てられる可能性があります。

• この詩は円周率（π）の値を小数点以下31桁まで暗号化します。

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 खलजीवितखाताव गलहालारसंधर॥

|| ಗೋಪೀಭಾಗ್ಯಮಧುವ್ರಾತ-ಶೃಂಗಿಶೋದಧಿಸಂಧಿಗ ||
 || ಖಲಜೀವಿತಖಾತಾವ ಗಲಹಾಲಾರಸಂಧರ ||

この詩は、円周率を10で割った10進数を直接表します。円周率/10 = 0.31415926535897932384626433832792

గోపీభాగ్యమధువ్రాత-శృంగిశోదధిసంధిగ |
 || ఖలజీవితఖాతావ గలహాలారసంధర ||

伝統的に、カタパヤディ システムでは数字を形成するために数字の順序が逆になります。このルールはこのスローカでは違反されています。

• カルナータ音楽のメラカルタラーガは、 名前の最初の 2 つの音節がその番号を表すように命名されています。このシステムは、Ka-ta-pa-ya-di sankhya と呼ばれることもあります。スワラの「Sa」と「Pa」は固定されており、メラカルタ番号から他のスワラを取得する方法は次のとおりです。

1. メラカルタ 1 から 36 には Ma1 があり、37 から 72 には Ma2 があります。
2. 他のメモは、メラカルタ数より 1 少ない数を 6 で割ったときの商と余り (の整数部分) を記録することによって得られます。メラカルタ数が 36 より大きい場合は、この手順を実行する前にメラカルタ数から 36 を減算します。
3. 「リ」と「ガ」の位置: ラガには次のものがあります:
   • 商が0の場合はRi1とGa1
   • 商が1の場合、Ri1とGa2
   • 商が2の場合はRi1とGa3
   • 商が3の場合、Ri2とGa2
   • 商が4の場合はRi2とGa3
   • 商が5の場合はRi3とGa3
4. 「ダ」と「ニ」の位置: ラガには次のものがあります:
   • 余りが0の場合はDa1、Ni1
   • 余りが1の場合はDa1、Ni2
   • 余りが2の場合はDa1、Ni3
   • 余りが3の場合はDa2、Ni2
   • 余りが4の場合はDa2、Ni3
   • 余りが5の場合はDa3とNi3

• 上記の記法の詳細については、カルナータカ音楽のスワラを参照してください。

カタパヤディ方式では、dha 9 と ra 2 が関連付けられるため、このラーガのメラカルタ数は 29 (92 を逆にしたもの) になります。29 は 36 より小さいため、Dheerasankarabharanam は Ma1 になります。28 (29 より 1 小さい) を 6 で割ると、商は 4、余りは 4 です。したがって、このラーガには Ri2、Ga3 (商は 4) と Da2、Ni3 (余りは 4) があります。したがって、このラーガの音階はSa Ri2 Ga3 Ma1 Pa Da2 Ni3 SAです。 ${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow }$

コード体系から、Ma 5、Cha 6 です。したがって、ラーガのメラカルタ数は 65 (56 を逆にしたもの) です。65 は 36 より大きいです。したがって、MechaKalyani は Ma2 です。ラーガの数は 36 より大きいので、そこから 36 を引きます。65-36=29 です。28 (29 より 1 少ない) を 6 で割ると、商 = 4、余り = 4 になります。Ri2 Ga3 が発生します。Da2 Ni3 が発生します。したがって、MechaKalyani の音符はSa Ri2 Ga3 Ma2 Pa Da2 Ni3 SAです。 ${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow }$

上記の計算によると、Simhendramadhyamam は 57 ではなく、 Sa 7、Ha 8 で 87 という数字になるはずです。理想的には、Sa 7、Ma 5 で 57 という数字になるはずです。したがって、名前はSihmendramadhyamam (サンスクリット語の Bra hm anaの場合のように)と表記されるべきだと考えられています。 ${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \leftrightarrow }$

重要な日付は、カッタパヤディシステムを使用して変換して記憶されました。これらの日付は通常、カリ ユガの開始からの日数として表されます。カリディナ サンキヤと呼ばれることもあります。

• コーラヴァルシャム (マラヤーラム語: കൊല്ലവര്‍ഷം) として知られるマラヤーラム暦は、西暦 825 年からケーララ州で採用され、一部の暦が刷新されました。この日付は、 Kaṭapayādi を使用してカリ ユガの開始から 1434160 日に変換され、āchārya vāgbhadāとして記憶されます。^[10]
• メルパトゥル・ナラヤナ・バッタティリによって書かれた『ナラヤニヤム』は、長寿、健康、幸福を意味する「アーユラーロギャサウキヤム（ആയുരാരോഗ്യസൌഖ്യം）」という一文で終わる。^[11]

この数字は、マラヤーラム暦に従ってカリユガの開始からの日数として表された、作業が完了した時間です。

• 新生児に名前を付ける際にカタパヤディ法を使用する人もいます。^{[12] [13]}
• 次の詩は、Koduṅṅallur Kuññikkuṭṭan Taṃpurān がKaṭapayādi を使用してマラヤーラム語で編集したもので、グレゴリオ暦の月の日数を表しています。

പലഹാരേ പാലു നല്ലൂ, പുലര്‍ന്നാലോ കലക്കിലാം

ഇല്ലാ പാലെന്നു ഗോപാലന്‍ – ആംഗ്ലമാസദിനം ക്രമാല്‍

音訳

パラハレ パル ナル、プルナロ カラッキラーン

Illā pālennu gopālan – アーガガマサディナ クラマール

翻訳: ミルクは朝食に最適で、朝になったらかき混ぜる必要があります。しかし、ゴパーラン氏はミルクはないと言います - 英語の月の日数順です。

Kaṭapayādiを使用して文字のペアを変換すると、pala (പല) は 31、hāre (ഹാരേ) は 28、pālu പാലു = 31、nallō (നല്ലൂ) は 30、pular になります。 (പുലര്‍) は 31、nnālo (ന്നാലോ) は 30、kala (കല) は 31、kkilāṃ (ക്കിലാം) は 31、ilā (ഇല്ലാ) は 30、パーレ(പാലെ) は 31、nnu go (ന്നു ഗോ) は 30、pālan (പാലന്‍) は 31 です。

1. Kaṭapayādi Saṅkhyā、Kaṭapayādi エンコード/デコード システム。

• AAハッタンガディ『数学の探究』Universities Press (India) Pvt. Ltd.、ハイデラバード（2001）ISBN 81-7371-387-1 [3]