規制機能

数学において、規制関数または規則関数は、単一の実変数のある種の行儀のよい関数です。規制関数は積分可能な関数のクラスとして現れ、いくつかの同等の特徴があります。規制関数は、1949 年にニコラ・ブルバキによって著書「Livre IV: Fonctions d'une variable réelle」で 紹介されました。

X をノルム || - || _Xのバナッハ空間とします。関数f  : [0, T ] → Xは、次の 2 つの同値な条件の 1 つ (したがって両方) が成り立つ場合、規制関数と呼ばれます。 ^[1]

• 区間[0, T ]内の任意のtに対して、左極限f ( t− )と右極限f ( t +)の両方がX内に存在する（明らかにf (0−)とf ( T +)は除く）。
• fに一様収束する（すなわち、上限ノルム|| - || _∞に関して）ステップ関数の列φ _n  : [0, T ] → Xが存在する。

これら 2 つの条件が同等であることを示すには、少し作業が必要です。ただし、2 番目の条件は次のように同等の方法で言い換えられることは比較的簡単にわかります。

• あらゆるδ > 0に対して、何らかのステップ関数φ _δ  : [0, T ] → Xが存在し、

${\displaystyle \|f-\varphi _{\delta }\|_{\infty }=\sup _{t\in [0,T]}\|f(t)-\varphi _{\delta }(t)\|_{X}}$

• f は、[0, T ] からXへのすべてのステップ関数の空間 Step([0, T ]; X ) の閉包内にあります（[0, T ] からXへのすべての有界関数の空間 B([0, T ]; X )における最大ノルムに関する閉包をとっています）。

Reg([0,  T ];  X )がすべての規制関数f  :[0, T ] → Xの集合を表すものとします。

• 規制関数の和とスカラー倍数もまた規制関数です。言い換えれば、 Reg([0,  T ];  X ) は空間Xと同じ体K上のベクトル空間です。通常、Kは実数または複素数です。 Xに乗算演算が備わっている場合、規制関数の積もまた規制関数です。言い換えれば、X がK代数であれば、 Reg([0, T ];  X ) も K 代数です 。
• 最大ノルムはReg([0,  T ];  X )上のノルムであり、Reg([0,  T ];  X )は最大ノルムによって誘導される位相に関する位相ベクトル空間です。
• 上で述べたように、Reg([0,  T ];  X )は、上限ノルムに関するStep([  0, T ];  X )のB([0, T ];  X )における閉包です 。
• X がバナッハ空間である場合、 Reg([0,  T ];  X ) も上限ノルムに関してバナッハ空間になります。
• Reg([0, T ]; R ) は無限次元の実バナッハ代数を形成します。つまり、規制関数の有限線形結合と積は再び規制関数になります。
• コンパクト空間（[0, T ]など）上で定義された連続関数は自動的に一様連続であるため、すべての連続関数f  : [0, T ] → Xも規制されます。実際、上限ノルムに関して、連続関数の空間C ⁰ ([0,  T ];  X )はReg([0, T ];  X )の 閉じた線形部分空間です。
• X がバナッハ空間である場合、有界変化関数の空間 BV([0,  T ];  X ) はReg([0,  T ];  X ) の稠密な線型部分空間を形成します。

${\displaystyle \mathrm {Reg} ([0,T];X)={\overline {\mathrm {BV} ([0,T];X)}}{\mbox{ w.r.t. }}\|\cdot \|_{\infty }.}$

• X がバナッハ空間である場合、関数f  : [0, T ] → Xが規制されるためには、あるφに対してφ変動が有界である必要があります。

${\displaystyle \mathrm {Reg} ([0,T];X)=\bigcup _{\varphi }\mathrm {BV} _{\varphi }([0,T];X).}$

• X が可分 ヒルベルト空間である場合、 Reg([0,  T ];  X ) はフランコヴァ-ヘリーの選択定理として知られるコンパクト性定理を満たします。
• 有界変動の規制関数BVの不連続点の集合は、そのような関数がジャンプ型の不連続点のみを持つ場合、可算です。これを確認するには、 が与えられた場合、右極限と左極限の差が より大きい点の集合は有限であることに注目するだけで十分です。特に、不連続点集合の測度は 0であり、このことから、規制関数には明確に定義されたリーマン積分があることがわかります。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \epsilon }$
• 注意: ベールのカテゴリ定理によれば、そのような関数の不連続点の集合は、乏しいか、空でない内部を持つかのいずれかである。これは必ずしも可算性とは等価ではない。^[2]${\displaystyle F_{\sigma }}$

• ステップ関数上で明白に定義された積分は、 規制関数の積分を、それに一様に収束するステップ関数の任意のシーケンスの積分の極限として定義することにより、Reg([0, T ];  X )に自然に拡張されます。この拡張は明確に定義されており、積分の通常の特性をすべて満たしています。特に、規制積分
  • はReg([0,  T ];  X )からXへの有界線形関数です。したがって、 X = Rの場合、積分はReg([0, T ]; R ) の双対である空間の要素です。
  • リーマン積分と一致する。

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• Fraňková、Dana (1991)、「規制関数」、数学。ボヘム。、116 (1): 20–59、ISSN  0862-7959 MR1100424​
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• 「増加関数の不連続点の集合が最大限可算であることを示す方法」 。Stack Exchange。2011年 11 月 23 日。
• 「有界変化関数にはジャンプ型の不連続性がある」 。Stack Exchange。2013年 11 月 28 日。
• 「導関数はどの程度不連続になるか?」Stack Exchange 2012 年 2 月 22 日。