ジェッセンの二十面体

ジェッセンの二十面体
顔	8つの正三角形 12 個の二等辺三角形
エッジ	24 短くて凸型 6 長くて凹んだ
頂点	12
二面角（度）	90
プロパティ	等角の 極めて厳格ではない
ネット

イェッセン正二十面体（イェッセンちょうにゅうにょうたい）は、正二十面体と同じ数の頂点、辺、面を持つ非凸 多面体である。 1967年に研究したボーグ・イェッセンにちなんで名付けられた。^[1] 1971年に、この形状を含む非凸多面体のファミリーが、アドリアン・ドゥアディによって独立して発見され、六嘴シャドックという名前で研究された。^{[2] [3]}後の著者らは、この名前のバリエーションをより具体的にイェッセン正二十面体に適用した。^[4]

ジェッセンの二十面体の面は、座標平面に平行になる向きはないが、直角でのみ交わる。これは「不安定な多面体」であり、（柔軟な多面体のように）無限に剛性ではないことを意味する。この多面体の辺を支柱とケーブルで囲むと、広く使用されているテンセグリティ構造が生成され、^[5] 6本バーテンセグリティ、^[6] テンセグリティ二十面体、または拡張八面体とも呼ばれる。^[7]

ジェッセンの二十面体の頂点は、座標 の巡回置換によって与えられる 12 個の 3 組を座標として持つように選択できます。^[1]この座標表現では、二十面体の短い辺 (凸角を持つもの) の長さは、長い (反射) 辺の長さは です。二十面体の面は、短辺の長さを持つ 8 つの合同な正三角形と、1 つの長辺と 2 つの短辺を持つ12 個の合同な鈍角二等辺三角形です。 ^[8]${\displaystyle (\pm 2,\pm 1,0)}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$${\displaystyle 4}$

ジェッセンの二十面体は頂点推移的（または等角的）であり、任意の頂点を他の任意の頂点に向ける対称性を持つ。^[9]二面角はすべて直角である。ジェッセンの二十面体のコピーを正三角形の面で接着することで、直角二面角を持つ組み合わせ的に異なる多面体の無限族を構築するための基礎としてこれを使用できる。^[1]

より単純なシェーンハルトの多面体と同様に、イェッセンの二十面体の内部は、新しい頂点を追加せずに三角形に分割して四面体にすることはできません。^{[10]しかし、その二面角は}の有理倍であるため、デーン不変量はゼロに等しくなります。したがって、それは立方体とはさみ合同であり、つまり、それをより小さな多面体の断片にスライスして再配置することで、立体の立方体を形成できることを意味します。^[1]${\displaystyle \pi }$

これは星型で、つまりその内部に点（例えば対称中心）があり、そこから他のすべての点が見える。これは、ミシェル・ドゥマズールの、三角形の面を持つ星型の多面体は、この中心点からの放射線に沿って頂点をスライドさせることで凸型にできるかという問いに対する反例となる。ドゥマズールは、三角形の面を持つ星型の多面体の場合、多面体をこのように凸型にできるなら、その多面体に関連付けられた特定の代数多様体は射影多様体になることを証明することで、この問題を代数幾何学の一点に結び付けた。しかし、アドリアン・ドゥアディは、ジェッセンのイコサヘドロンを含む形状の族の場合、このスライド運動では凸多面体にはならないことを証明した。[ ^{2] [3]}ドゥマズールはこの結果を使用して、非射影で滑らかな有理完全な3次元多様体を構築した。^[11]

ジェッセンのイコサヘドロン（正二十面体）は柔軟な多面体ではない。面がヒンジでつながれた剛性パネルで構成されている場合、形状を変えることはできない。しかし、無限小剛性でもない。つまり、頂点の連続的な動きが存在し、多面体の辺の長さと面の形状は実際には維持されないが、一次近似では維持される。剛性はあるが無限小剛性ではない多面体として、それは「不安定な多面体」の例となる。^[5]辺の長さの非常に小さな変化が角度の大きな変化を引き起こす可能性があるため、多面体の物理モデルは柔軟であるように思われる。^[4]

ジェッセンのイコサヘドロンの長い凹二面体エッジを剛性のある支柱に、短い凸二面体エッジをケーブルやワイヤーに置き換えると、テンセグリティイコサヘドロンが作られます。この構造は「6本バーテンセグリティ」^[6]や「拡張八面体」^[7]とも呼ばれています。テンセグリティ彫刻と同様に、この構造は「テンセグリティロボットの最も普遍的な形式」であり、この構造に基づいた「スクイッシュ」という子供のおもちゃは「1980年代に普及しました」^[6] 。この設計に基づいた「スーパーボールボット」のコンセプトは、他の惑星への安全な着陸のために宇宙探査装置を囲む方法として、NASA先端概念研究所によって提案されました。 ^{[12] [13]}アンソニー・ピューはこの構造を「おそらく最もよく知られており、確かに最も印象的なテンセグリティ図形の一つ」と呼んでいます。^[7]

ジェッセンの二十面体は弱凸であり、つまりその頂点は凸位置にあり、その存在は弱凸多面体が無限小剛性である必要がないことを示している。しかし、三角形に分割できる弱凸多面体は無限小剛性でなければならないと予想されており、この予想は多面体の凸包の外側部分も三角形に分割できるという追加の仮定の下で証明されている。^[14]

同様の形状は、正二十面体の頂点を元の位置に保ち、特定の正三角形のペアを二等辺三角形のペアに置き換えることによって形成されます。この形状は、誤ってジェッセンの二十面体と呼ばれることもあります。^[15]しかし、結果として得られる多面体はジェッセンの二十面体と同じ組み合わせ構造と対称性を持ち、見た目も似ていますが、テンセグリティ構造を形成せず、^[7]直角二面体を持っていません。

ジェッセンの二十面体は、20 面を持つ連続した二十面体ファミリーの 1 つで、そのうち 8 面は正三角形、12 面は二等辺三角形です。このファミリーの各形状は、正八面体の各辺を同じ比率で分割し、分割点を正二十面体のパターンで接続することで得られます。これらの形状は、八面体の辺を分割する比率によってパラメーター化できます。このファミリーの凸形状は、八面体自体から正二十面体、そして正方形の面が平面で 2 つの直角三角形に分割された立方八面体までの範囲です。パラメーターの範囲を、立方八面体を与える比率を超えて拡張すると、ジェッセンの二十面体などの非凸形状が生成されます。この族は1947年にHSMコクセターによって記述されました^。[16]その後、この族のメンバー間のねじれのある膨張収縮変換は、2つの辺の長さの1つに一定の値を維持するために異なるパラメータ化され、バックミンスター・フラーによってジッターバグ変換と名付けられました。^[17]

2018年、ジェッセンのイコサヘドロン（正二十面体）は、VAゴルカヴィとADミルカ （英国）によって、剛体だが無限小剛性ではない多面体の無限族に一般化された。これらの多面体は組み合わせ的に異なり、任意の大きさのキラル二面体対称群を持つ。しかし、ジェッセンのイコサヘドロンとは異なり、すべての面が三角形というわけではない。^[18]

ウィキメディア・コモンズには、ジェッセン二十面体に関連するメディアがあります。

• ジェッセンの直交二十面体 2022-01-09 ウェイバックマシンにアーカイブ、多面体の世界、モーリス・スターク; 任意の方向から表示可能な 3D モデルが含まれています