ジェンセンの不等式

数学において、イェンセンの不等式は、積分の凸関数の値と凸関数の積分とを関連付ける。これは1906年にイェンセンによって証明されたが、 ^[1] 1889年にオットー・ヘルダーが二重微分可能関数に対して証明した同じ不等式に基づいている。 ^[2]その一般性から、この不等式は文脈に応じてさまざまな形で現れ、そのいくつかを以下に示す。最も単純な形では、この不等式は平均の凸変換が凸変換後に適用された平均以下であることを述べている（または、同等に、凹変換の反対の不等式）。^[3]

イェンセンの不等式は、凸関数の割線が関数のグラフの上にあるという主張を一般化したもので、2点に対するイェンセンの不等式である。割線は凸関数の加重平均で構成される（t  ∈ [0,1]の場合）、

${\displaystyle tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}),}$

関数のグラフは加重平均の凸関数であるが、

${\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2}).}$

したがって、この場合のジェンセンの不等式は

${\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).}$

確率論の文脈では、一般的に次の形式で述べられる。Xが確率変数でφが凸関数である場合、

φ ( E ⁡ [ X ] ) ≤ E ⁡ [ φ ( X ) ] 。 {\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}

不等式の両辺の差はジェンセンギャップと呼ばれる。^[4]${\displaystyle \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right]-\varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)}$

ジェンセンの不等式の古典的な形式には、複数の数値と重みが含まれます。この不等式は、測度論または（同等に）確率の言語を使用して、非常に一般的に記述できます。確率の設定では、不等式をさらに一般化して、その完全な強度にすることができます。

実凸関数 、その定義域内の数、正の重みに対して、ジェンセンの不等式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle a_{i}}$

が凹の場合、不等式は逆転し、 ${\displaystyle \varphi}$

または がを含む領域上で線形である場合に限り、等式が成立します。 ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$

特別な場合として、重みがすべて等しい場合、（１）と（２）は ${\displaystyle a_{i}}$

例えば、関数log( x )は凹関数なので、前の式( 4 )に代入すると、よく知られている算術平均/幾何平均の不等式(の対数)が成立します。 ${\displaystyle \varphi (x)=\log(x)}$

$${\displaystyle \log \!\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\log \!\left(x_{i}\right)}{n}}}$$ $${\displaystyle \exp \!\left(\log \!\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)\right)\geq \exp \!\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}\log \!\left(x_{i}\right)}{n}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}$$

一般的な応用では、x は別の変数（または変数の集合） tの関数として扱われます。これはすべて、一般的な連続的なケースに直接適用されます。つまり、重みa _iは確率分布などの非負の積分可能な関数f  ( x )に置き換えられ、合計は積分に置き換えられます。 ${\displaystyle x_{i}=g(t_{i})}$ 

を確率空間とする。を-測定可能な関数とし、を凸とする。すると、次のようになる。^[5]${\displaystyle (\Omega ,A,\mu )}$${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \varphi \left(\int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu \right)\leq \int _{\Omega }\varphi \circ f\,\mathrm {d} \む }$$

実際の分析では、次のような推定が必要になる場合があります。

${\displaystyle \varphi \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)}$

ここで、 および は非負のルベーグ積分関数である。この場合、 のルベーグ測度は1である必要はない。しかし、置換積分により、区間は測度1になるように再スケールすることができる。次に、ジェンセンの不等式を適用して^{[6]を得る。}${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \varphi \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.}$

同じ結果は、単純な表記の変更により、確率論の設定でも同等に表現できます。を確率空間、X を積分可能な実数値ランダム変数、凸関数とします。すると、次の ようになります。${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},\operatorname {P} )}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}$^[7]

この確率設定では、測度μ は確率、 μに関する積分は期待値、関数はランダム変数Xとして意図されています。 ${\displaystyle \operatorname {P} }$ ${\displaystyle \operatorname {E} }$${\displaystyle f}$

この等式は、 が何らかの凸集合上の線形関数であり、 である場合に限り成立することに注意してください(これは、以下の測度論的証明を調べることでわかります)。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathrm {P} (X\in A)=1}$

より一般的には、T を実位相ベクトル空間、X をT値の積分可能なランダム変数とします。この一般的な設定では、積分可能とは、 Tの双対空間内の任意の要素zに対して、、となるようなT内の要素が存在することを意味します。すると、任意の測定可能な凸関数φと の任意の部分σ 代数に対して、次のようになります。 ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \operatorname {E} |\langle z,X\rangle |<\infty }$${\displaystyle \langle z,\operatorname {E} [X]\rangle =\operatorname {E} [\langle z,X\rangle ]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$

${\displaystyle \varphi \left(\operatorname {E} \left[X\mid {\mathfrak {G}}\right]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\mid {\mathfrak {G}}\right].}$

ここで はσ-代数 に条件付けられた期待値を表します。この一般的な記述は、位相ベクトル空間Tが実軸、 が自明なσ-代数{∅, Ω}（ここで∅は空集合、Ωは標本空間）のときに、前の記述に帰着します。^[8]${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot \mid {\mathfrak {G}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$

Xを平均と分散を持つ1次元のランダム変数とする。を2回微分可能な関数とし、関数を定義する。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}\geq 0}$${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle h(x)\triangleq {\frac {\varphi \left(x\right)-\varphi \left(\mu \right)}{\left(x-\mu \right)^{2}}}-{\frac {\varphi '\left(\mu \right)}{x-\mu }}.}$

その後^[9]

${\displaystyle \sigma ^{2}\inf {\frac {\varphi ''(x)}{2}}\leq \sigma ^{2}\inf h(x)\leq E\left[\varphi \left(X\right)\right]-\varphi \left(E[X]\right)\leq \sigma ^{2}\sup h(x)\leq \sigma ^{2}\sup {\frac {\varphi ''(x)}{2}}.}$

特に、が凸のとき、 となり、 がさらに2回微分可能であると仮定した 場合、 に対してJensenの不等式の標準形が直ちに得られます。${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle \varphi ''(x)\geq 0}$${\displaystyle \varphi (x)}$

ジェンセンの不等式はいくつかの方法で証明することができ、上記の異なるステートメントに対応する 3 つの異なる証明が提示されます。ただし、これらの数学的導出に着手する前に、X が実数である確率的なケースに基づく直感的なグラフィカルな議論を分析する価値があります(図を参照)。X 値の仮想的な分布を想定すると、グラフ内の の位置とそのイメージをすぐに特定できます。いくつかのx値の凸写像Y = φ ( x )について、対応するY値の分布がXの値が増加するにつれてますます「引き伸ばされて」いることに気付くと、任意のX _{0に対して、} X > X ₀に対応する区間ではYの分布が広くなり、 X < X ₀では狭くなることが簡単にわかります。特に、これは にも当てはまります。したがって、この図では、 Yの期待値はの位置に関して常に上方にシフトします。Xの分布が凸関数の減少部分、または減少部分と増加部分の両方をカバーする場合、同様の推論が当てはまります。これは不等式を「証明」する。つまり ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])}$${\displaystyle X_{0}=\operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])}$

${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} [\varphi (X)]=\operatorname {E} [Y],}$

φ ( X )が厳密に凸でない場合、例えば直線の場合や、X が退化した分布に従う場合（つまり定数の場合）は等式となります。

以下の証明は、この直感的な概念を形式化したものです。

λ ₁とλ _{2 が}2つの任意の非負実数で、λ ₁ + λ ₂ = 1である場合、 φの凸性は次式を意味する。

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}:\qquad \varphi \left(\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}\right)\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+\lambda _{2}\,\varphi (x_{2}).}$

_{これを一般}化することができます。λ 1、...、λ _nが非負の実数でλ ₁ + ... + λ _n = 1の場合、

${\displaystyle \varphi (\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{n}x_{n})\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+\lambda _{2}\,\varphi (x_{2})+\cdots +\lambda _{n}\,\varphi (x_{n}),}$

任意のx ₁ , ..., x _nに対して。

ジェンセンの不等式の有限形式は帰納法で証明できる。凸性仮説により、この命題はn  = 2に対して真である。この命題が何らかのnに対して真であると仮定すると、

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)}$

任意のλ ₁、...、λ _nに対して、 λ ₁ + ... + λ _n = 1が成り立ちます。

n + 1についてこれを証明する必要があります。 λ _iの少なくとも1つは、たとえばλ _{n +1}よりも小さいため、凸性不等式により次のようになります。 ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)&=\varphi \left((1-\lambda _{n+1})\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}x_{i}+\lambda _{n+1}x_{n+1}\right)\\&\leq (1-\lambda _{n+1})\varphi \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}x_{i}\right)+\lambda _{n+1}\,\varphi (x_{n+1}).\end{aligned}}}$

λ ₁ + ... + λ _n + λ _{n +1} = 1なので、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}=1}$、

帰納的仮説を適用すると、

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}\varphi (x_{i})}$

したがって

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)&\leq (1-\lambda _{n+1})\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}\varphi (x_{i})+\lambda _{n+1}\,\varphi (x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\varphi (x_{i})\end{aligned}}}$

不等式はn + 1に対して真であると推論し、帰納法により、結果は2 より大きい すべての整数nに対しても真であることがわかります。

この有限形式から一般的な不等式を得るには、密度の議論を使用する必要があります。有限形式は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle \varphi \left(\int x\,d\mu _{n}(x)\right)\leq \int \varphi (x)\,d\mu _{n}(x),}$

ここで、μ _{n は}ディラックデルタの任意の凸結合によって与えられる測度である。

${\displaystyle \mu _{n}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\delta _{x_{i}}.}$

凸関数は連続であり、ディラックデルタの凸結合は確率測度の集合において弱 稠密であるため（簡単に検証できる）、一般的な記述は単に極限手順によって得られる。

を確率空間 上の実数値 - 可積分関数とし、を実数 上の凸関数とします。は凸であるため、各実数 において空でない部分導関数の集合が存在します。これは、においてのグラフに接する線と考えられますが、すべての点において のグラフの下にある線(グラフのサポート ライン) です。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi }$

さて、定義すると

${\displaystyle x_{0}:=\int _{\Omega }g\,d\mu ,}$

凸関数の部分微分が存在するため、次のように選ぶことができる。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle ax+b\leq \varphi (x),}$

すべての現実と ${\displaystyle x}$

${\displaystyle ax_{0}+b=\varphi (x_{0}).}$

しかし、

${\displaystyle \varphi \circ g(\omega )\geq ag(\omega )+b}$

ほぼすべての に対して。確率測度があるので、積分は単調であり、 ${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \mu (\Omega )=1}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu \geq \int _{\Omega }(ag+b)\,d\mu =a\int _{\Omega }g\,d\mu +b\int _{\Omega }d\mu =ax_{0}+b=\varphi (x_{0})=\varphi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right),}$

ご希望に応じて。

X を実位相ベクトル空間Tに値をとる積分可能なランダム変数とする。は凸なので、任意の に対して、量 ${\displaystyle \varphi :T\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x,y\in T}$

${\displaystyle {\frac {\varphi (x+\theta \,y)-\varphi (x)}{\theta }},}$

θ が0 ^{+ に}近づくにつれて減少する。特に、のxにおけるy方向のサブ微分は次のように定義される。 ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle (D\varphi )(x)\cdot y:=\lim _{\theta \downarrow 0}{\frac {\varphi (x+\theta \,y)-\varphi (x)}{\theta }}=\inf _{\theta \neq 0}{\frac {\varphi (x+\theta \,y)-\varphi (x)}{\theta }}.}$

部分微分はy に関して線形であることは容易に分かる^[要出典]（これは誤りであり、この主張はハーン・バナッハの定理を証明することを必要とする）そして、前の式の右辺で取られた最小値はθ = 1のときの同じ項の値よりも小さいので、

${\displaystyle \varphi (x)\leq \varphi (x+y)-(D\varphi )(x)\cdot y.}$

特に、任意の部分σ代数に対して、最後の不等式を評価すると、 ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$${\displaystyle x=\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}],\,y=X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]}$

${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\leq \varphi (X)-(D\varphi )(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\cdot (X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]).}$

さて、前の式の両辺に条件付きの期待値を取ると、次の結果が得られます。 ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left[(D\varphi )(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\cdot (X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\right]\mid {\mathfrak {G}}\right]=(D\varphi )(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\cdot \operatorname {E} [\left(X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]\right)\mid {\mathfrak {G}}]=0,}$

y変数のサブ微分の線形性と、条件付き期待値の次のよく知られた性質によって：

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]\right)\mid {\mathfrak {G}}\right]=\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}].}$

Ωが実数直線の測定可能な部分集合であり、 f ( x )が非負関数で、

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1.}$

確率論的な言語では、f は確率密度関数です。

すると、ジェンセンの不等式は凸積分に関する次の命題になる。

gが実数値の測定可能な関数であり、gの範囲で凸である場合、 ${\textstyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (g(x))f(x)\,dx.}$

g ( x ) = xの場合、この不等式は一般的に使用される特殊なケースに簡約されます。

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,f(x)\,dx.}$

これは変分ベイズ法に適用されます。

g ( x ) = x ²ⁿ、かつXが確率変数である場合、 gは凸であり、

${\displaystyle {\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}(x)=2n(2n-1)x^{2n-2}\geq 0\quad \forall \ x\in \mathbb {R} }$

など

${\displaystyle g(\operatorname {E} [X])=(\operatorname {E} [X])^{2n}\leq \operatorname {E} [X^{2n}].}$

特に、Xの偶モーメント2n が有限である場合、X の平均は有限です。この議論を拡張すると、X にはn を割り切るすべての次数の有限モーメントがあることがわかります。 ${\displaystyle l\in \mathbb {N} }$

Ω = { x ₁ , ... x _n }とし、 μ をΩ上の計数測度とすると、一般形は和に関する記述に簡約されます。

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})\lambda _{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\varphi (g(x_{i}))\lambda _{i},}$

ただしλ _i ≥ 0かつ

${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=1.}$

無限離散形式も存在します。

ジェンセンの不等式は、凸関数が指数関数である場合に統計物理学において特に重要であり、次のようになります。

${\displaystyle e^{\operatorname {E} [X]}\leq \operatorname {E} \left[e^{X}\right],}$

ここで、期待値はランダム変数Xの何らかの確率分布に関するものです。

証明：入れる${\displaystyle \varphi (x)=e^{x}}$${\displaystyle \varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}$

p ( x ) がXの真の確率密度で、q ( x )が別の密度である場合、ランダム変数Y ( X ) = q ( X )/ p ( X )と凸関数φ ( y ) = −log( y )にジェンセンの不等式を適用すると、次の式が得られます 。

${\displaystyle \operatorname {E} [\varphi (Y)]\geq \varphi (\operatorname {E} [Y])}$

したがって：

${\displaystyle -D(p(x)\|q(x))=\int p(x)\log \left({\frac {q(x)}{p(x)}}\right)\,dx\leq \log \left(\int p(x){\frac {q(x)}{p(x)}}\,dx\right)=\log \left(\int q(x)\,dx\right)=0}$

この結果はギブスの不等式と呼ばれます。

これは、他の分布qではなく真の確率pに基づいてコードが割り当てられると、平均メッセージ長が最小化されることを示しています。負でない量は、qとpのカルバック・ライブラー距離と呼ばれ、 です。 ${\displaystyle D(p(x)\|q(x))=\int p(x)\log \left({\frac {p(x)}{q(x)}}\right)dx}$

−log( x )はx >0に対して厳密に凸関数であるため、ほぼどこでもp ( x )がq ( x )に等しいときに等式が成立することになります。

Lが凸関数かつ部分シグマ代数 である場合、ジェンセンの不等式の条件付きバージョンから、次の式が得られます。${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$

${\displaystyle L(\operatorname {E} [\delta (X)\mid {\mathfrak {G}}])\leq \operatorname {E} [L(\delta (X))\mid {\mathfrak {G}}]\quad \Longrightarrow \quad \operatorname {E} [L(\operatorname {E} [\delta (X)\mid {\mathfrak {G}}])]\leq \operatorname {E} [L(\delta (X))].}$

したがって、δ( X )が観測可能なベクトルXが与えられたときの観測されないパラメータθの推定量であり、T ( X )がθの十分な統計量である場合、期待損失Lが小さくなるという意味での改良された推定量は、次のように計算することによって得られる。

${\displaystyle \delta _{1}(X)=\operatorname {E} _{\theta }[\delta (X')\mid T(X')=T(X)],}$

θ に関する δ の期待値は、観測された値と同じT ( X )の値と互換性のある観測値Xのすべての可能なベクトルにわたって取られます。さらに、T は十分な統計量であるため、θ に依存せず、したがって統計量になります。 ${\displaystyle \delta _{1}(X)}$

この結果はラオ・ブラックウェルの定理として知られています。

リスク回避とスカ​​ラー結果の限界効用逓減の関係は、ジェンセンの不等式で正式に述べることができます。リスク回避は、潜在的に大きいが不確実な結果を伴う公平なギャンブルよりも確実な結果を好むこととして述べることができます。 ${\displaystyle u(E[x])}$${\displaystyle u(x)}$

${\displaystyle u(E[x])>E[u(x)]}$。

しかし、これは単に凹関数 、すなわち限界効用が減少する効用関数に対するジェンセンの不等式である。^[11]${\displaystyle u(x)}$

• より一般的な不等式に対するカラマタの不等式
• ポポビチウの不等式
• 平均の法則
• ジェンセンの不等式の言葉を使わない証明

• デイビッド・チャンドラー（1987年）。現代統計力学入門。オックスフォード。ISBN 0-19-504277-8。
• トリスタン・ニーダム（1993）「ジェンセンの不等式の視覚的説明」アメリカ数学月刊誌100（8）：768–71。
• ニコラ・フスコパオロ・マルチェリーニ;カルロ・スボルドーネ (1996)。アナリシ マテマティカ ドゥエ。リグオーリ。ISBN 978-88-207-2675-1。
• ウォルター・ルーディン(1987)。実解析と複素解析。マグロウヒル。ISBN 0-07-054234-1。
• リック・デュレット（2019年）。確率：理論と例（第5版）。ケンブリッジ大学出版局。p.430。ISBN 978-1108473682. 2020年12月21日閲覧。
• サム・サヴェージ (2012) 『平均の欠陥: 不確実性の中でリスクを過小評価する理由』 (第 1 版) Wiley ISBN 978-0471381976

• ハンセンとペダーセンのジェンセンの演算子不等式。
• 「ジェンセンの不等式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「ジェンセンの不等式」。マスワールド。
• Arthur Lohwater (1982)。「不等式入門」。PDF 形式のオンライン電子書籍。