ジェームズ・W・キャノン

ジェームズ・W・キャノン（1943年1月30日生まれ）は、低次元位相幾何学と幾何群論の分野で研究するアメリカの数学者。ブリガムヤング大学のオーソン・プラット数学教授であった。

ジェームズ・W・キャノンは1943年1月30日、ペンシルベニア州ベルフォンテで生まれました。^[1]キャノンは1969年にユタ大学でC・エドマンド・バージェスの指導の下、数学の博士号を取得しました。

彼は1977年から1985年までウィスコンシン大学マディソン校の教授を務めた。 ^{[1] 1986年にキャノンは}ブリガムヤング大学のオーソン・プラット数学教授に任命された。^[2]彼は2012年9月に退職するまでこの職を務めた。^[3]

キャノンは1977年8月にシアトルで開催されたアメリカ数学会の会議でAMS招待講演を行い、 1978年にはヘルシンキで開催された国際数学者会議で招待講演を行い、1982年にはカナダのトロントでアメリカ数学会ヘドリック講演を行った。^{[1] [4]}

キャノンは2003年にアメリカ数学会評議員に選出され、任期は2004年2月1日から2007年1月31日までであった。 ^{[2] [5] 2012年に}アメリカ数学会のフェローとなった。^[6]

1993年、キャノンはブリガムヤング大学で第30回カール・G・メーザー著名教授講演を行った。^[7]

ジェームズ・キャノンは末日聖徒イエス・キリスト教会の熱心な信者である。^[8]

キャノンの初期の研究は、 R ³の埋め込み表面の位相的側面と、「飼いならされた」表面と「野生の」表面の違いを理解することに関するものでした。

彼の最初の有名な結果は、1970年代後半にジョン・ミルナーによって提起された長年の「二重サスペンション」問題にキャノンが完全な解答を与えたことでした。キャノンはホモロジー球面の二重サスペンションが位相球面であることを証明しました。 ^{[9] [10]} R・D・エドワーズは以前にもこれを多くのケースで証明していました。

^{キャノンの論文[10]}の結果は、キャノン、ブライアント、ラチャーによって (1979) ^[11]位相多様体に対するいわゆる特性化予想の重要なケースを証明するために使用されました。この予想は、一般化されたn多様体 （ただし、 ）は「分離ディスク特性」を満たし、位相多様体であると述べています。キャノン、ブライアント、ラチャーは^[11]、が次元 の集合を除いて多様体であるという仮定の下で予想が成り立つことを確立しました。後にフランク・クイン^{[12] は、多様体点が 1 つでも存在する場合に特性化予想が成り立つことを証明しました。一般に、この予想はジョン・ブライアント、スティーブン・フェリー、ワシントン・ミオ、}シュムエル・ワインバーガーによって証明されたように誤りです。^[13]${\displaystyle M}$${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (n-2)/2}$

1980年代にキャノンの研究の焦点は3次元多様体、双曲幾何学、クライン群の研究に移り、彼は1980年代後半から1990年代前半にかけて独立した主題として幾何学群論が誕生した重要人物の一人とみなされている。キャノンの1984年の論文「ココンパクト離散双曲群の組合せ的構造」^{[14]は、3年後の}ミハイル・グロモフの1987年の画期的なモノグラフで紹介され発展した概念である語双曲群の理論発展の先駆者の1つであった。^{[15]キャノンの論文は、クライン群の}ケーリーグラフの組合せ的およびアルゴリズム的側面を調査し、それらをこれらの群の双曲空間への作用の幾何学的特徴に関連付けた。特に、キャノンは、凸ココンパクト クライン群が有限表現を許容し、そこではデーン アルゴリズムが単語問題を解くことを証明した。後者の条件は後に、単語双曲的であることと同等の特徴付けを与えることが判明し、さらに、キャノンの元の証明は本質的に変更されることなく、単語双曲的群の単語問題はデーンのアルゴリズムで解けることが示された。^[16]キャノンの 1984 年の論文^{[14]では、}有限生成群(おおよそ、要素のすべての測地線拡大の集合)の元の円錐型という重要な概念も導入された。キャノンは、凸ココンパクト クライン群には (その群の固定された有限生成集合に関して) 有限個の円錐型しかないことを証明し、この事実を使用して群の成長級数が有理関数であると結論付ける方法を示した。これらの議論は、単語双曲的群のコンテキストにも一般化できることがわかった。^[15]現在、単語双曲群内の測地線単語の集合が正規言語であるという事実の標準的な証明^[17]も、円錐の種類の数が有限であることを利用して行われている。

キャノンの研究は、有限生成群のケーリーグラフのほぼ凸性という重要な概念も導入し、^[18]この概念はその後の大幅な研究と一般化につながった。^{[19] [20] [21]}

キャノンとウィリアム・サーストンの影響力の大きい論文「群不変ペアノ曲線」^[22]は、1980年代半ばにプレプリントの形で初めて配布され、^[23]現在キャノン・サーストン写像と呼ばれる概念を導入した。彼らは、円上を繊維状に張り巡らされ、繊維が閉じた双曲面Sである閉じた双曲的3 次元多様体Mの場合を考察した。この場合、双曲平面と同一視されるSの普遍被覆は、双曲的 3 次元空間であるMの普遍被覆への埋め込みを許容する。キャノンとサーストンは、この埋め込みが、双曲的平面 (円) の理想境界から双曲的 3 次元空間( 2 次元球面)の理想境界までの連続 π ₁ ( S ) 同変射影写像 (現在キャノン・サーストン写像と呼ばれる) に拡張されることを証明した。キャノンとサーストンの論文は2007年にようやく出版されましたが、その間にマハン・ミトラ[24] 、^{[ 25]}エリカ・クラライヒ^{[26] 、}ブライアン・ボウディッチ^[27]らの研究を含め、かなりの研究と多くの重要な一般化（クライン群と語双曲群の両方の文脈で）を生み出しました。

キャノンは1992年に出版されたWord Processing in Groups ^[17]の共著者の一人で、自動群の理論を紹介、形式化し、発展させた。自動群の理論は、コンピュータサイエンスから幾何学群論に新しい計算のアイデアをもたらし、1990年代のこの分野の発展に重要な役割を果たした。

1994 年のキャノンの論文は、複素解析における古典的なリーマン写像定理に触発された「組合せ的リーマン写像定理」^[28]の証明を示した。その目的は、2 次元球面上の同相写像による群の作用が (位相共役を除けば)メビウス変換による標準的なリーマン球面上の作用となるのはいつかを理解することだった。キャノンの「組合せ的リーマン写像定理」は、位相面のより細かい組合せ的細分化のシーケンスが、適切な意味で、極限まで進んだ後、その面上の実際の共形構造を決定するための十分な条件のセットを示した。キャノンのこの論文は、2次元球面を境界とする語双曲群の特徴付けに関する重要な予想を導きました。この予想は、1998年にキャノンとスウェンソンによって初めて明示的に定式化され^{[29] （ただし、キャノンの1994年の論文の第8節では暗黙の形で示唆されていました）、現在では}キャノンの予想として知られています。予想（^{[29]の予想5.1）は、}語双曲群Gの理想的な境界が2次元球面に同相である場合、Gは3次元双曲空間上に適切に不連続なココンパクト等長作用を許容する（したがって、Gは本質的に3次元クライン群である）と述べています。解析的に言えば、キャノンの予想は、語双曲群Gの理想的な境界が2 次元球面に同相である場合、この境界は、 Gのケーリー グラフから得られる視覚的計量とともに、標準的な 2 次元球面に準 対称であると言うことと同等です。

1998 年のキャノンとスウェンソンの論文^[29]は、この予想に対する最初のアプローチとして、群の境界にある標準的な「ディスク」の族が組み合わせ論的な「共形」特性を満たすという追加の仮定の下で予想が成り立つことを証明しました。キャノンの 1994 年の論文^[28]の主な結果は、証明において重要な役割を果たしました。キャノンの予想と関連する問題に対するこのアプローチは、後にキャノン、フロイド、パリーの共同研究でさらに推し進められました。^{[30] [31] [32]}

キャノンの予想は、その後の数学者による多くの研究のきっかけとなり、その後の幾何群論と距離空間上の解析理論との相互作用に多大な影響を与えた。^{[33] [34] [35] [36] [37] [38]}キャノンの予想は、サーストンの幾何化予想と、なぜ3次元で可変の負の曲率が定負の曲率に昇格できるのかを理解しようとすることに動機づけられた（^[29]を参照） 。幾何化予想は最近ペレルマンによって解決されたが、キャノンの予想は未解決のままであり、幾何群論と幾何位相幾何学における重要な未解決問題の1つと考えられている。

キャノンの「組合せ的リーマン写像定理」^[28]の証明の基礎となっている組合せ的等角幾何学の考え方は、キャノン、フロイド、パリー (2000) によって生物の大規模な成長パターンの研究に応用された。^{[39]キャノン、フロイド、パリーは、単純な}有限細分規則によって決定されるいくつかのシステムでは、局所的な細分法は同じままであっても、大規模な形状が時間の経過とともに激しく振動する物体 (彼らの例では木の幹) が生じる可能性があることを示す数学的成長モデルを作成した。 ^[39]キャノン、フロイド、パリーはまた、ラットの組織の成長パターンの分析にもこのモデルを適用した。^{[39]彼らは、生物の微視的成長パターンの「負に曲がった」(または非ユークリッド) 性質が、大規模な生物が結晶や多面体の形状に似ておらず、実際には多くの場合自己相似}フラクタルに似ている主な理由の 1 つであると示唆した。^[39]特に彼らは（^[39]のセクション3.4を参照）、そのような「負に湾曲した」局所構造は、脳と肺の組織の高度に折り畳まれ、高度に接続された性質に現れると示唆した。

• キャノン、ジェームズ W. (1979)、「多様体の​​縮小セル状分解。余次元 3。」、数学年報、第 2 シリーズ、110 (1): 83–112、doi :10.2307/1971245、JSTOR  1971245、MR  0541330
• キャノン、ジェームズ W. (1984)、「ココンパクト離散双曲群の組み合わせ構造」、Geometriae Dedicata、16 (2): 123–148、doi :10.1007/BF00146825、MR  0758901、S2CID  120759717
• Cannon、James W. (1987)、「ほぼ凸のグループ。」、Geometriae Dedicata、22 (2): 197–210、doi :10.1007/BF00181266、MR  0877210、S2CID  121345025
• エプスタイン、デビッド BA; キャノン、ジェームズ W.; ホルト、デレク F.; レヴィ、シルビオ V.; パターソン、マイケル S.; サーストン、ウィリアム P. (1992)、グループでのワード処理。、ボストン、マサチューセッツ州: ジョーンズ アンド バートレット パブリッシャー、ISBN 978-0-86720-244-1
• キャノン、ジェームズ W. (1994)、「組み合わせ的リーマン写像定理」、Acta Mathematica、173 (2): 155–234、doi : 10.1007/BF02398434、MR  1301392
• キャノン、ジェームズ W.;サーストン、ウィリアム P. (2007)、「グループ不変ペアノ曲線」、幾何学とトポロジー、11 (3): 1315–1355、doi : 10.2140/gt.2007.11.1315、MR  2326947

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• 数学系譜プロジェクトのジェームズ・W・キャノン
• BYU の James Cannon のウェブページ