ラジアル基底関数補間

ラジアル基底関数（RBF）補間は、高次元空間でも可能な非構造化データの高次精度補間を構築するための近似理論の高度な手法です。補間は、ラジアル基底関数の加重和の形をとります。^{[1] [2]} RBF補間はメッシュフリー手法であり、ノード（ドメイン内のポイント）は構造化グリッド上にある必要がなく、メッシュの形成も必要ありません。多くの場合、スペクトル的に正確で^[3]、高次元でも多数のノードに対して安定しています。

多くの補間法は線形演算子を近似するアルゴリズムの理論的基礎として使用できますが、RBF 補間も例外ではありません。RBF 補間は、微分演算子、積分演算子、および面微分演算子を近似するために使用されています。

とを区間 上の等間隔の 15 点とします。 を形成します。ここで は放射基底関数であり、 が選択された点を補間するように選択します。行列表記では、これは次のように記述できます。 ${\displaystyle f(x)=\exp(x\cos(3\pi x))}$${\displaystyle x_{k}={\frac {k}{14}},k=0,1,\dots ,14}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle s(x)=\sum \limits _{k=0}^{14}w_{k}\varphi (\|x-x_{k}\|)}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle w_{k},k=0,1,\dots ,14}$${\displaystyle s(x_{k})=f(x_{k}),k=0,1,\dots ,14}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varphi (\|x_{0}-x_{0}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{0}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{0}\|)\\\varphi (\|x_{0}-x_{1}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{1}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{1}\|)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi (\|x_{0}-x_{14}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{14}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{14}\|)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{0}\\w_{1}\\\vdots \\w_{14}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f(x_{0})\\f(x_{1})\\\vdots \\f(x_{14})\end{bmatrix}}.}$$

形状パラメータが であるガウスを選択すると、重みの行列方程式を解き、補間関数をプロットできます。 以下に補間関数をプロットすると、左の境界付近（ルンゲ現象の例）を除いてどこでも視覚的に同じであることがわかります。左の境界付近では、依然として非常に近い近似値です。より正確には、最大誤差はおよそです。 ${\displaystyle \varphi (r)=\exp(-(\varepsilon r)^{2})}$${\displaystyle \varepsilon =3}$${\displaystyle \|f-s\|_{\infty }\approx 0.0267414}$${\displaystyle x=0.0220012}$

マイヤーフーバー・カーティスの定理は、 の任意の開集合と上の線形独立関数に対して、 の領域に点の集合が存在し、補間行列 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1})&f_{2}(x_{1})&\dots &f_{n}(x_{1})\\f_{1}(x_{2})&f_{2}(x_{2})&\dots &f_{n}(x_{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(x_{n})&f_{2}(x_{n})&\dots &f_{n}(x_{n})\end{bmatrix}}}$$

は単数形である。^[4]

つまり、一般的な補間アルゴリズムを望む場合、補間点に依存する基底関数を選択しなければならないということです。1971 年、Rolland Hardy は、形式の補間関数を使用して散在データを補間する方法を開発しました。これは、現在では と表記されることが多い、シフトされた多重二次関数の基底を使用した補間であり、ラジアル基底関数補間の最初の例です。^[5]結果として得られる補間行列は常に非特異であることが示されています。基底関数は補間点に依存するため、これは Mairhuber-Curtis の定理に違反しません。補間行列が非特異になるようにラジアルカーネルを選択することは、厳密に正定値関数の定義とまったく同じです。ガウス関数、逆二次関数、逆多重二次関数などのこのような関数は、この理由からラジアル基底関数としてよく使用されます。^[6]${\displaystyle s(\mathbf {x} )=\sum \limits _{k=1}^{N}{\sqrt {\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{k}\|^{2}+C}}}$${\displaystyle \varphi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}$

多くのラジアル基底関数には、相対的な平坦さや尖り具合を制御するパラメータがあります。このパラメータは通常、 記号で表され、関数は に近づくにつれて平坦になります。たとえば、Rolland Hardy は多重二次関数に 式を使用しましたが、現在では 式が代わりに使用されています。これらの式は、スケール係数を除いて同等です。この係数は、基底ベクトルの範囲が同じで補間重みが補正するため重要ではありません。慣例により、基底関数は、ガウス関数とバンプ関数のプロットに見られるように のようにスケールされます。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \to 0}$${\displaystyle \varphi (r)={\sqrt {r^{2}+C}}}$${\displaystyle \varphi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}}$${\displaystyle \varphi (0)=1}$

• 
  いくつかの選択肢に対するガウス関数${\displaystyle \varepsilon }$
• 
  形状パラメータをいくつか選択したスケールバンプ関数のプロット

この選択の結果、補間行列は単位行列に近づき、行列システムを解くときに安定性をもたらします。結果として得られる補間は、一般的に関数の近似値としては不十分です。補間点の近くで鋭くピークになるところを除いて、どこでもゼロに近くなるためです。いわゆる「ベッド・オブ・ネイルズ補間」です (右のグラフを参照)。 ${\displaystyle \varepsilon \to \infty }$

スペクトルの反対側では、補間行列の条件数は無限大に発散し、システムの悪条件につながります。実際には、補間行列が「悪条件の境界」になるように形状パラメータを選択します (たとえば、倍精度浮動小数点の場合は条件数がおよそ)。 ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$${\displaystyle 10^{12}}$

形状パラメータを選択する際に考慮すべき他の要素が時々あります。たとえば、バンプ関数は コンパクトなサポート（ のとき以外はどこでもゼロ） を持ち、疎な補間行列につながります。 $${\displaystyle \varphi (r)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-(\varepsilon r)^{2}}}\right)&{\mbox{ for }}r<{\frac {1}{\varepsilon }}\\0&{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle r<{\tfrac {1}{\varepsilon }}}$

多調和スプラインなどの一部のラジアル基底関数には、形状パラメータがありません。

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