国際数学オリンピック

国際数学オリンピック（IMO）は、大学進学前の学生を対象とした数学オリンピックであり、国際科学オリンピックの中で最も古いものです。^[1]これは、世界で最も権威のある数学のコンテストです。最初のIMOは1959年にルーマニアで開催されました。それ以来、1980年を除いて毎年開催されています。100か国以上が参加しています。各国は最大6人の学生からなるチームを派遣し、^[2]プラスチームリーダー1名、副リーダー1名、およびオブザーバーが参加します。^[3]

内容は、極めて難しい代数や微積分学の基礎問題から、射影幾何学や複素幾何学、関数方程式、組合せ論、しっかりとした数論など、中等学校や高校では通常は扱われず、大学レベルでも扱われないことが多い数学の分野の問題にまで及び、これらの定理に関する広範な知識が要求される。微積分学は、解答に認められているものの、必須ではない。なぜなら、数学の基礎知識があれば、たとえ解答にかなりの知識が必要であっても、問題を理解するはずであるという原則があるからである。この原則の支持者は、これにより普遍性が高まり、エレガントで一見単純に見える問題を見つける動機が生まれるが、それでも一定の創意工夫が必要であり、多くの場合、特定の IMO 問題で全得点を獲得するにはかなりの創意工夫が必要になると主張している。

選考方法は国によって異なりますが、多くの場合、一連のテストで構成され、各テストで受け入れる学生の数は少なくなります。賞は、個人の出場者の約50％の最高得点者に与えられます。チームは公式に認められていません。すべてのスコアは個人の出場者にのみ与えられますが、チームのスコアは個人のスコアよりも非公式に比較されます。^[4]出場者は20歳未満で、高等教育機関に登録されていない必要があります。これらの条件に従い、個人はIMOに何度でも参加できます。^[5]

第1回IMOは1959年にルーマニアで開催されました。それ以来、毎年開催されています（1980年はモンゴルの内紛により中止されました）。^[6]当初はソ連の影響下にあったワルシャワ条約機構の東欧諸国のために設立されましたが、後に他の国々も参加しました。^[2]この東方起源のため、IMOは最初は東欧諸国でのみ開催され、徐々に他の国々にも広まっていきました。^[7]

初期のIMOのいくつかがどの都市で開催されていたかについては、情報源によって意見が分かれています。これは、リーダーと学生が一般的に別の場所に宿泊するため、また、競技会終了後、学生がIMOの残りの期間、複数の都市に拠点を置くことがあったためである可能性があります。また、リーダーが学生より先に会場に到着したり、最近のIMOではIMO諮問委員会がリーダーより先に会場に到着したりするため、正確な日付も異なる場合があります。^[8]

リサ・ザウアーマン、リード・W・バートン、ニクソル・ダン、チプリアン・マノレスクなど、数名の学生がIMOで優秀な成績を収め、複数の金メダルを獲得しました。また、テレンス・タオ、アルトゥール・アビラ、グリゴリー・ペレルマン、ゴ・バオ・チャウ、マリアム・ミルザハニなど、著名な数学者となった学生もいます。元参加者の何人かはフィールズ賞などの賞を受賞しています。^[9]

コンテストは6つの問題で構成されている。コンテストは2日間連続で開催され、それぞれ3つの問題が出題される。参加者は1日4時間半で3つの問題を解く。各問題の得点は7点で、合計得点は最大42点である。電卓は禁止されている。分度器は比較的最近禁止された。^[10]他の科学オリンピックとは異なり、IMOには公式のシラバスがなく、大学レベルのトピックは扱っていない。選ばれる問題は中等学校数学のさまざまな分野から出題され、大まかに幾何学、数論、代数、組合せ論に分類できる。微積分や解析学などの高等数学の知識は必要なく、解答は初歩的なものが多い。しかし、通常は解答が難しくなるように工夫されている。IMOで出題される問題は、創造性と問題を素早く解く能力が求められるように作られていることが多い。したがって、目立って取り上げられる問題は代数的不等式、複素数、構成指向の幾何学的問題であるが、近年では、ミュアヘッドの不等式などの定理のアルゴリズム的使用や、問題を解くための複素数/解析的バッシングのために、後者は以前ほど人気が​​なくなった。^[11]

開催国以外の参加国は、開催国が設置した問題選定委員会に問題を提案することができ、委員会は提出された問題を最終候補リストに絞り込む。チームリーダーは出場者の数日前にIMOに到着し、最終候補リストから6つの問題を選択することから始めて、コンテストに関するすべての正式な決定を担当するIMO審査員を構成する。審査員は、難易度が上がる順にQ1、Q4、Q2、Q5、Q3、Q6となるように問題を並べることを目指しており、初日の問題Q1、Q2、Q3は難易度が上がり、2日目の問題Q4、Q5、Q6は難易度が上がる。すべての国のチームリーダーは出場者より先に問題を受け取り、厳密に隔離され、監視されている。^[12]

各国の得点は、その国のリーダーと副リーダー、開催国が用意したコーディネーター（開催国の得点の場合は問題を提出した国のチームのリーダー）の間で合意され、チーフコーディネーターの決定と、紛争が解決できない場合は最終的には陪審員の決定に従う。^[13]

IMOの選考方法は国によって大きく異なる。一部の国、特に東アジアの国では、選考にはIMO自体に匹敵する難易度のテストがいくつか含まれる。^[14]中国の出場者はキャンプに参加する。^[15]米国などの他の国では、参加候補者は徐々に難易度が増す一連のより簡単な独立競技に参加する。米国では、テストにはアメリカ数学競技会、アメリカ招待数学試験、米国ジュニア数学オリンピック/米国数学オリンピックが含まれ、それぞれが独立した競技会となっている。チーム選考のための最終競技会で高得点を獲得した人には、中国のようなサマーキャンプもある。^[16]

旧ソ連諸国や東欧諸国では、過去には数年前から選手団を選抜し、その競技のために特別な訓練を行っていたが、一部の国ではそのような方法が廃止されている。^[17]

参加者は個人の得点に基づいて順位付けされる。メダルは最高得点の参加者に授与される。メダルを受け取るのは参加者の半数弱である。カットオフ（金、銀、銅のメダルを受け取るために必要な最低得点）は、授与される金、銀、銅のメダルの数がおよそ1:2:3の比率になるように選択される。メダルを獲得できなかった参加者でも、少なくとも1つの問題で7ポイントを獲得した参加者は佳作となる。^[18]

特別賞は、際立ってエレガントな解決策や、問題をうまく一般化した解決策に対して授与されることがあります。これが最後に行われたのは1995年（ブルガリアのニコライ・ニコロフ）と2005年（ユリエ・ボレイコ）ですが、1980年代初頭まではもっと頻繁に授与されていました。^[19] 2005年の特別賞は、モルドバの学生ユリエ・ボレイコが問題3（3変数不等式）を解いたことで授与されました。

出場者の多くとも半数がメダルを獲得するというルールは、メダルの総数が出場者の半数から大きく外れてしまう場合には破られることがある。これが最後に起こったのは、2010年（517人の出場者（北朝鮮の6人を除く。下記参照）のうち226人（43.71%）または266人（51.45%）にメダルを授与する選択肢があった）、^[20] 2012年（548人の出場者のうち226人（41.24%）または277人（50.55%）にメダルを授与する選択肢があった）、2013年（528人の出場者のうち249人（47.16%）または278人（52.65%）にメダルを授与する選択肢があった）である。これらのケースでは、出場者の半数を少し超える人数にメダルが授与された。^{[21] [22]}

北朝鮮は、1991年の第32回IMOで一度、2010年の第51回IMOでもう一度、不正行為により失格となった。[ ^{23 ]}しかし、2010年の事件は物議を醸した。^{[25] [26]}不正行為により出場者が罰則を受けたケースは他にもあるが、これらのケースは公式には公表されていない。(例えば、1993年の第34回IMOでは、ポケットサイズの数式帳を持参した出場者が失格となり、2人の出場者が電卓を持参したため2日目の試験で0点となった。^[27] )

ロシアはウクライナ侵攻への対応として、2022年からオリンピックへの参加を禁止されている。^[28]それでも、限られた数の学生（具体的には6人）が競技に参加して賞を受け取ることが許可されているが、リモートでのみであり、結果は非公式のチームランキングから除外される。IMO2021の審査員の半数強（107人中59人）が、IMO理事会が提案した制裁に賛成票を投じた。^[28]

以下の国々が、それぞれの大会で最高のチームスコアを達成しました。

• 中国、24回：1989年、1990年、1992年、1993年、1995年、1997年、1999年（共同）、2000年、2001年、2002年、2004年、2005年、2006年、2008年、2009年、2010年、2011年、2013年、2014年、2019年（共同）、2020年、2021年、2022年、2023年^[73]
• ロシア（ソ連を含む）、16回：1963年、1964年、1965年、1966年、1967年、1972年、1973年、1974年、1976年、1979年、1984年、1986年（共同）、1988年、1991年、1999年（共同）、2007年; ^{[74] [75]}
• アメリカ、9回：1977年、1981年、1986年（共同）、1994年、2015年、2016年、2018年、2019年（共同）、2024年^[76]
• ハンガリー、6回：1961年、1962年、1969年、1970年、1971年、1975年^[77]
• ルーマニア、5回：1959年、1978年、1985年、1987年、1996年^[78]
• 西ドイツ、2回：1982年と1983年^[79]
• 韓国、2回：2012年と2017年^[80]
• ブルガリア、1回：2003年^[81]
• イラン、1回：1998年^[82]
• 東ドイツ、1回：1968年。^[83]

以下の国々は、フルチームで全メンバーゴールド IMO を達成しました:

• 中国、15回：1992年、1993年、1997年、2000年、2001年、2002年、2004年、2006年、2009年、2010年、2011年、2019年、2021年、2022年、2023年^。[73]
• アメリカ、4回：1994年、2011年、2016年、2019年。^[76]
• 韓国、3回：2012年、2017年、2019年。^[80]
• ロシア、2002年と2008年の2回。^[74]
• ブルガリア、1回：2003年。^[84]

IMOでチーム全員が満点を取った国は、1994年のアメリカ、2022年の中国、そして1981年に1人チームが満点を取ったルクセンブルクの3国のみである。アメリカの成功はTIME誌で取り上げられた。[85] ハンガリーは、8人のチームメンバーのうち誰も金メダルを獲得しない（銀5個、銅3個）という型破りな形で1975年のIMOで優勝した。[ ⁷⁷ ] ²位の東ドイツチームも金メダルを1人も獲得しなかった（銀4個、銅4個）。^[83]

現在、史上最高の成績を収めている10カ国は以下のとおりです。^[86]

IMOで一貫して高得点を獲得し、メダルを獲得した選手は数名いる。カナダのZhuo Qun Songは金メダル5個（2015年には満点を取ったものを含む）と銅メダル1個を獲得し、最も多くのメダルを獲得した参加者である^{[87] 。 [88]米国の} Reid Bartonは金メダルを4回（1998～2001年）獲得した最初の参加者である。^{[89] Bartonは}パトナムフェローを4回受賞した8人のうちの1人でもある（2001～2004年）。クリスチャン・ライハー（ドイツ）、リサ・ザウアーマン（ドイツ）、テオドール・フォン・ブルク（セルビア）、ニプン・ピティマナリー（タイ）、ルーク・ロビタイユ（米国）は、他に4つの金メダル（それぞれ2000～2003年、2008～2011年、2009～2012年、2010～2013年、2011～2014年、2019～22年）を獲得した唯一の参加者である。ライハーは銅メダル（1999年）、ザウアーマンは銀メダル（2007年）、フォン・ブルクは銀メダル（2008年）と銅メダル（2007年）、ピティマナリーは銀メダル（2009年）も受賞している。^[90]ライハー、ザウアーマン、フォン・ブルク、ピティマナリー以外で、金メダル3個以上を含む5個のメダルを獲得した参加者は、ヴォルフガング・ブルマイスター（東ドイツ）、マルティン・ヘルテリッヒ（西ドイツ）、イウリエ・ボレイコ（モルドバ）、リム・イェック（シンガポール）の5人のみである。^[2] チプリアン・マノレスク（ルーマニア）は、この大会の歴史上、誰よりも多く、IMOに参加した3回（1995年、1996年、1997年）すべてで金メダルにふさわしい完璧な答案（42点）を書いた。^[91]マノレスクは、パトナム・フェローにも3回選ばれている（1997年、1998年、2000年）。^[92] エフゲニア・マリンニコワ（ソ連）は、IMO史上最高得点の女性出場者である。彼女は1989年のIMO（41ポイント）、1990年のIMO（42）、1991年のIMO（42）で金メダル3個を獲得しており、マノレスクの記録に先立つ1989年にはわずか1ポイントしか逃していない。^[93]

オーストラリアのテレンス・タオは、1986年、1987年、1988年のIMOに出場し、それぞれ銅、銀、金メダルを獲得した。彼は1988年のIMOで13歳になったばかりで金メダルを獲得し、金メダルを獲得した最年少の人物となった^[94]（カナダのジュオ・クン・ソンも2011年に13歳で金メダルを獲得したが、タオより年上だった）。タオはまた、1986年に銅メダルを獲得し、最年少のメダリストという栄誉も保持しており、2009年にはラウル・チャベス・サルミエント（ペルー）がそれぞれ10歳と11歳で銅メダルを獲得した。^[95]アメリカ代表のノアム・エルキースは、 1981年に14歳で完璧な論文で金メダルを獲得しました。エルキースとタオは、成功後、IMOに複数回参加することもできましたが、大学に入学したため、参加資格を失いました。

IMOは創設以来現在に至るまで、女性よりも男性の出場者の方がはるかに多く参加してきました。^{[96] [97] [98]} 2000年から2021年の間に、総出場者11,950人のうち女性出場者はわずか1,102人（9.2%）でした。IMOの金メダリストに関しては、その差はさらに顕著で、1959年から2021年の間に、女性が43人、男性が1295人の金メダリストを獲得しました。^[99]

IMOレベルでの参加と成績における男女格差が、ヨーロッパ女子数学オリンピック（EGMO）の設立につながった。^[100]

• 2006年のIMOアメリカチームに関するドキュメンタリー「難しい問題：世界で最も難しい数学コンテストへの道」が制作された。^[101]
• 2007 年 7 月、IMO に関する「Beautiful Young Minds」と題した BBC ドキュメンタリーが放映されました。
• 2014年9月に公開されたBBCのフィクション映画「X+Y」は、オリンピックに参加した自閉症の少年の物語です。
• スティーブ・オルソン著の『カウントダウン』という本は、2001年のオリンピックにおけるアメリカチームの成功の物語を語っています。^[102]

• 国際数学オリンピックのリスト
• 国際大学生数学コンテスト（IMC）
• 国際科学オリンピック
• 数学コンテスト一覧
• 汎アフリカ数学オリンピック
• ジュニアサイエンスタレント発掘試験
• 問題解決の芸術
• 数学カウント

• Xu, Jiagu (2012)。数学オリンピックコースの講義ノート、上級セクション向け。World Scientific Publishing。ISBN 978-981-4368-94-0。
• Xiong, Bin; Lee, Peng Yee (2013).中国数学オリンピック (2009-2010) . World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4390-21-7。
• Xu, Jiagu (2009)。数学オリンピックコースの講義ノート、ジュニアセクション用。World Scientific Publishing。ISBN 978-981-4293-53-2。
• オルソン、スティーブ（2004）。カウントダウン。ホートンミフリン。ISBN 0-618-25141-3。
• Verhoeff, Tom (2002 年 8 月)。第 43 回国際数学オリンピック: IMO 2002 の振り返りレポート(PDF)。コンピューティング サイエンス レポート、第 2 巻、第 11 号。アイントホーフェン工科大学、数学およびコンピューティング サイエンス学部。
• Djukić, Dušan (2006)。IMO概要: 1959-2004年の国際オリンピックに提案された問題集。Springer。ISBN 978-0-387-24299-6。
• ロード・メアリー（2001年7月23日）。「数学界のマイケル・ジョーダン - 米国の学生天才が暗号界を驚かせる」US News & World Report . 131 (3): 26。
• ソール、マーク (2003 )。「小さな場所の数学: ルーマニアとブルガリアの数学に関するノート」(PDF)。アメリカ数学会の通知。50 : 561–565。
• ヴァキル、ラヴィ（1997）。数学のモザイク：パターンと問題解決。ブレンダン・ケリー出版。p. 288。ISBN 978-1-895997-28-6。
• 劉、アンディ（1998）。中国の数学競技会とオリンピック。AMT出版。ISBN 1-876420-00-6。

• IMO公式ウェブサイト
• IMO 1959-2003 の問題と解決策のアーカイブ
• 旧中央IMOウェブサイト