交差多面体

幾何学において、交差多面体[ ^1]、 超八面体、^[2]、正八面体、 [3]、スタウロトープ、^[4]、またはコキューブは、 n次元ユークリッド空間に存在する正凸多面体である。2次元交差多面体は正方形、3次元交差多面体は正八面体、 4次元交差多面体は16セルである。その面は前の次元の単体であり、交差多面体の頂点図形は前の次元の別の交差多面体である。

交差多面体の頂点は、各座標軸に沿った単位ベクトル、つまり(±1, 0, 0, ..., 0)のすべての順列として選択できます。交差多面体は、その頂点の凸包です。n 次元交差多面体は、 R ⁿ上のℓ ₁ ノルムの閉じた単位球(または、一部の著者によると、その境界)として定義することもできます。

\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.

1次元では、交差多面体は単に線分[ −1, +1] ですが、2次元では頂点 {(±1, 0), (0, ±1)} を持つ正方形(またはダイヤモンド) です。3次元では、正八面体(プラトン立体として知られる5 つの凸正多面体のうちの 1 つ) です。これは、 ( n −1) 正多面体を底とする両錐体として構築されるn正多面体で、より高い次元に一般化できます。

交差多面体は超立方体の双対多面体である。n次元交差多面体の1次元スケルトンはトゥラングラフT (2n , n ) （カクテルパーティーグラフ^[4]とも呼ばれる）である。

4次元

4 次元交差多面体は、ヘキサデカコロンまたは16 セルとも呼ばれます。これは、6 つの凸正則 4 次元多面体のうちの 1 つです。これらの4 次元多面体は、19 世紀半ばにスイスの数学者ルートヴィヒシュレーフリによって初めて説明されました。

高次元

交差多面体族は、コクセターによってβ _nと名付けられた3つの正多面体族のうちの1つです。他の2つは、γ _nと名付けられた超立方体族とα _nと名付けられた単体族です。4番目の族である超立方体の無限タイル張りは、コクセターによってδ _nと名付けられました。^[5]

n次元交差多面体には 2 n 個の頂点と 2 ⁿ個の面（( n − 1) 次元成分）があり、そのすべてが ( n − 1)単体である。頂点図形はすべて ( n − 1) 交差多面体である。交差多面体のシュレーフリ記号は {3,3,...,3,4} である。

n次元交差多面体の二面角はです。これは、δ ₂ = arccos(0/2) = 90°、δ ₃ = arccos(−1/3) = 109.47°、δ ₄ = arccos(−2/4) = 120°、δ ₅ = arccos(−3/5) = 126.87°、... δ _∞ = arccos(−1) = 180° となります。 $\delta _{n}=\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)$

n次元交差多面体の超体積は

{\frac {2^{n}}{n!}}.

反対でない頂点の各ペアには、それらを結ぶ辺が存在します。より一般的には、k + 1 個の直交頂点の各セットは、それらを含む個別のk次元コンポーネントに対応します。したがって、 n次元交差多面体のk次元コンポーネント (頂点、辺、面、...、ファセット)の数は次のように表されます (二項係数を参照)。

2^{k+1}{n \choose {k+1}}

^[6]

n直交複体の拡張f ベクトルは、多項式積の係数と同様に、 ( 1 ,2) ⁿで計算できます。たとえば、16 セルの場合は、( 1 ,2) ⁴ = ( 1 ,4,4) ² = ( 1 ,8,24,32,16) です。

交差多面体を 2 次元グラフとして表示できる正投影法は多数あります。ペトリ多角形投影法では、点を 2 n角形またはそれより低次の正多角形にマッピングします。2 番目の投影法では、低次元の2( n −1) 角形ペトリ多角形を二角錐として軸に沿って投影し、2 つの頂点を中心に配置します。

軸に沿った交差多面体の頂点はすべてマンハッタン距離（L1ノルム）で互いに等距離にあります。クスナーの予想に^よれば、この2次元点の集合は、この距離で可能な限り最大の等距離集合です。^[7]

全身性オルソプレックス

複素ヒルベルト空間では、一般化直交多面体（または交差多面体）と呼ばれる正則複素多面体が定義され、β ^pn
_の= ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} _p、または..実数解はp = 2、すなわちβで存在する。²
_位= β _n = ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} ₂ = {3,3,..,4}。p > 2 の場合、それらはに存在する。p一般化n直交プレックスはpn頂点を持つ。一般化直交プレックスは面として正則単体（実数）を持つ。^{[8]一般化直交プレックスは}完全な多部グラフβを形成する。 $\mathbb {\mathbb {C} } ^{n}$ ₂^ページ
K _{p、p を}完全二部グラフ、βとする₃^ページ
完全な三部グラフに対してK _{p , p , p}とする。β^pn
_のK _{p ^{n を}}作成します。nの倍数を除いて、すべての頂点のペアが接続された状態で、円上に等間隔で配置されたすべての頂点をマップする直交投影を定義できます。これらの直交投影の正多角形の周囲は、ペトリ多角形と呼ばれます。

参照

正多面体の一覧
超八面体群、交差多面体の対称群

引用

^ Coxeter 1973、pp. 121-122、§7.21。図7-2B。
^ Conway, JH; Sloane, NJA (1991). 「特定の格子のセル構造」。Hilton, P.; Hirzebruch, F.; Remmert, R. (編)。Miscellanea Mathematica 。ベルリン: Springer。pp. 89–90。doi : 10.1007/978-3-642-76709-8_5。ISBN 978-3-642-76711-1。
^ マクマレン、ピーター（2020）。幾何学正多面体。ケンブリッジ大学出版局。p.92。ISBN 978-1-108-48958-4。
^ ワイスタイン、エリック・W.「カクテルパーティーグラフ」。マスワールド。
^ コクセター 1973、120-124頁、§7.2。
^ Coxeter 1973、p. 121、§7.2.2.。
^ ガイ、リチャード・K. (1983)、「しばしば奇妙な形で提示される未解決問題の集合」、アメリカ数学月刊誌、90 (3): 196–200、doi :10.2307/2975549、JSTOR 2975549。
^ コクセター『正則複素多面体』108 ページ

参考文献

Coxeter, HSM (1973)。Regular Polytopes (第 3 版)。ニューヨーク: Dover。
- pp. 121-122、§7.21。図7.2Bを参照
- p. 296、表 I (iii): 正多面体、n 次元の 3 つの正多面体 (n≥5)

外部リンク

Weisstein、Eric W.「クロス多面体」。MathWorld。

[FOOTNOTECoxeter1973121–122§7.21._illustration_Fig_7-2<small>B</small>-1] Coxeter 1973、pp. 121-122、§7.21。図7-2B。

[2] Conway, JH; Sloane, NJA (1991). 「特定の格子のセル構造」。Hilton, P.; Hirzebruch, F.; Remmert, R. (編)。Miscellanea Mathematica 。ベルリン: Springer。pp. 89–90。doi : 10.1007/978-3-642-76709-8_5。ISBN 978-3-642-76711-1。

[3] マクマレン、ピーター（2020）。幾何学正多面体。ケンブリッジ大学出版局。p.92。ISBN 978-1-108-48958-4。

[4] ワイスタイン、エリック・W.「カクテルパーティーグラフ」。マスワールド。

[FOOTNOTECoxeter1973120–124§7.2-5] コクセター 1973、120-124頁、§7.2。

[FOOTNOTECoxeter1973121§7.2.2.-6] Coxeter 1973、p. 121、§7.2.2.。

[7] ガイ、リチャード・K. (1983)、「しばしば奇妙な形で提示される未解決問題の集合」、アメリカ数学月刊誌、90 (3): 196–200、doi :10.2307/2975549、JSTOR 2975549。

[8] コクセター『正則複素多面体』108 ページ

4次元

高次元

全身性オルソプレックス

関連する多面体族

参照

引用

参考文献

外部リンク