シュトゥルムシリーズ

数学において、多項式のペアに関連付けられたシュトゥルム級数^[1]は、ジャック・シャルル・フランソワ・シュトゥルムにちなんで名付けられています。

と2 つの一変数多項式があるとします。これらには共通根がなく、 の次数が の次数より大きいとします。シュトゥルム級数は次のように構成されます。 ${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p_{1}}$

${\displaystyle p_{i}:=p_{i+1}q_{i+1}-p_{i+2}{\text{ }}i\geq 0.}$

これはユークリッドのアルゴリズムとほぼ同じですが、剰余には負の符号があります。 ${\displaystyle p_{i+2}}$

ここで、変数の特性多項式に関連付けられたシュトゥルム級数を見てみましょう。 ${\displaystyle p_{0},p_{1},\dots ,p_{k}}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{k}+a_{1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{k-1}\lambda +a_{k}}$

ここで、の は、 の座標系を持つ の有理関数です。この級数は、 で割って得られる 2 つの多項式から始まります。ここで、 は に等しい虚数単位を表し、実部と虚部を分離します。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \{1,\dots ,k\}}$${\displaystyle \mathbb {R} (Z)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle P(\imath \mu )}$${\displaystyle \imath^{k}}$${\displaystyle \imath}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{0}(\mu )&:=\Re \left({\frac {P(\imath \mu )}{\imath ^{k}}}\right)=a_{0}\mu ^{k}-a_{2}\mu ^{k-2}+a_{4}\mu ^{k-4}\pm \cdots \\p_{1}(\mu )&:=-\Im \left({\frac {P(\imath \mu )}{\imath ^{k}}}\right)=a_{1}\mu ^{k-1}-a_{3}\mu ^{k-3}+a_{5}\mu ^{k-5}\pm \cdots \end{aligned}}}$

残りの項は上記の関係で定義されます。これらの多項式の特殊な構造により、次の形式で記述できます。

${\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{ki}+c_{i,1}\mu ^{ki-2}+c_{i,2}\mu ^{ki-4}+\cdots }$

これらの表記では、商はに等しく、条件 が与えられます。さらに、上記の関係で置き換えられた多項式は、係数 を計算するための次の再帰式を与えます。 ${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle (c_{i-1,0}/c_{i,0})\mu }$${\displaystyle c_{i,0}\neq 0}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle c_{i,j}}$

${\displaystyle c_{i+1,j}=c_{i,j+1}{\frac {c_{i-1,0}}{c_{i,0}}}-c_{i-1,j+1}={\frac {1}{c_{i,0}}}\det {\begin{pmatrix}c_{i-1,0}&c_{i-1,j+1}\\c_{i,0}&c_{i,j+1}\end{pmatrix}}.}$

ある に対して の商はより高次の多項式であり、数列はで停止します。 ${\displaystyle c_{i,0}=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{h}}$${\displaystyle h<k}$