フルヴィッツ行列式

数学において、フルヴィッツ行列式はアドルフ・フルヴィッツ(1895)によって導入され  、多項式のすべての根が負の実部を持つという基準を与えるために使用されました。

次の形式の 変数λの特性多項式 Pを考えます。

${\displaystyle P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_{n}}$

ここで、、は実数です。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n}$

Pに関連付けられた正方フルヴィッツ行列は以下のとおりです。

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

i 番目のフルヴィッツ行列式は、上記のフルヴィッツ行列Hのi番目の主要小行列式(小行列式は行列式) です。 n次特性多項式には n 個のフルヴィッツ行列式があります。

• 転送マトリックス

• Hurwitz, A. (1895)、「Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt」、Mathematische Annalen、46 (2): 273–284、doi :10.1007/BF01446812、S2CID  121036103
• ウォール、HS (1945)、「零点が負の実部を持つ多項式」、アメリカ数学月刊誌、52 (6): 308–322、doi :10.1080/00029890.1945.11991574、ISSN  0002-9890、JSTOR  2305291、MR  0012709