テプリッツ代数

作用素環において、テプリッツ代数はヒルベルト空間l ² ( N )上の片側シフトによって生成されるC*代数である。^[1] l ² ( N ) をハーディ空間H ²とすると、テプリッツ代数は次のような形式の要素から構成される。

${\displaystyle T_{f}+K\;}$

ここで、T _{f は}連続記号を持つテプリッツ演算子であり、 K はコンパクト演算子です。

連続記号を持つテプリッツ演算子は、コンパクト演算子を法として可換です。そのため、テプリッツ代数は、コンパクト演算子による円上の連続関数の C* 代数拡張として考えることができます。この拡張はテプリッツ拡張と呼ばれます。

アトキンソンの定理によれば、テプリッツ代数T _f + Kの元がフレドホルム作用素となるのは、T _fの記号fが可逆である場合に限ります。その場合、 T _f + Kのフレドホルム指数は、円の基本群におけるfの同値類であるfの巻き数とまったく同じです。これは、アティヤ-シンガー指数定理の特殊なケースです。

ウォルド分解は、ヒルベルト空間に作用する適切な等長変換を特徴付ける。これとテプリッツ演算子の特性から、テプリッツ代数は適切な等長変換によって生成される普遍的な C* 代数であると結論付けることができる。これがコバーンの定理である。