カンツ代数

数学において、クンツ代数は、 ヨアヒム・クンツにちなんで名付けられ、特定の関係を満たす無限次元ヒルベルト空間の等長変換によって生成される普遍C*-代数である。 ^{[1]これらの代数は、}可分無限単純C*-代数の最初の具体的な例として導入された。つまり、ヒルベルト空間は、シーケンス空間に等長である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$

そして、非自明な閉じたイデアルは存在しません。これらの代数は、任意のnに対して、商としてを持つ部分代数を含むため、単純な無限 C* 代数の研究にとって基本的なものです。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

n ≥ 2で可分ヒルベルト空間とする。集合によって生成される C*-代数を考える。${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \{S_{i}\}_{i=1}^{n}}$

等長変換（すなわち）が満足 する${\displaystyle S_{i}^{*}S_{i}=1}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}S_{i}S_{i}^{*}=1.}$

この普遍的な C*-代数はCuntz 代数と呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

単純なC*-代数は、そのすべての遺伝的 C*-部分代数が無限である場合に純粋無限であると言われます。 は分離可能で単純な純粋無限 C*-代数です。任意の単純な無限 C*-代数には、商として を持つ部分代数が含まれます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

クンツ代数は対で非同型、つまりn ≠ mに対して非同型です。のK ₀群は、位数n  − 1の巡回群です。 K _0は関手なので、と は非同型です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /(n-1)\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{m}}$

定理。具体的なC*-代数は、すべてのiに対してs _i *s _i = 1 、∑ s _i s _i * = 1の関係に従って、 n個の生成元s ₁ ... s _nによって生成される普遍C*-代数と同型です。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

定理の証明は、次の事実にかかっています。直交範囲を持つn個の等長写像s ₁ ... s _nによって生成される任意のC*-代数は、 UHF代数 型n ^∞のコピーを含みます。つまり、次の形式の語によって張られます 。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}s_{j_{1}}^{*}\cdots s_{j_{k}}^{*},k\geq 0.}$

*-部分代数 は、ほぼ有限次元であるため、一意の C*-ノルムを持ちます。部分代数は、代数の元のフーリエ係数の空間の役割を果たします。Cuntz による重要な技術的補題は、代数の要素がゼロになるのは、そのすべてのフーリエ係数がゼロになる場合のみであるということです。これを使用して、からへの商写像が単射であることが示され 、定理が証明されます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

UHF 代数には、それ自身と正準同型の非単位部分代数があります。を定義する直接システムのM _n段階で、ランク 1 の射影e ₁₁、つまり左上隅で 1 でそれ以外は 0 である行列を考えます。この射影を直接システム全体に伝播します。直接システムの M _{n ^k}段階では、ランクn ^{k − 1 の}射影が得られます。直接極限では、これはの射影P を与えます。角 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle P{\mathcal {F}}P={\mathcal {F'}}}$

は と同型です。 に写る *-自己準同型 Φ は等長写像s ₁によって実装されます。つまり、 Φ(·) = s ₁ (·) s ₁ * です。は、実際は自己準同型Φとの交差積です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$${\displaystyle \;{\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

クンツ代数を定義する関係は、前加法カテゴリの二重積の定義と一致します。この類似性は、C*-代数上の単位*-自己準同型のC*-カテゴリで明確になります。このカテゴリの対象は単位*-自己準同型であり、射は要素です。ただし、任意のに対してです。単位*-自己準同型は、関係とを 満たす等長写像がある場合、自己準同型の直和です。${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle a:\rho \to \sigma }$${\displaystyle a\rho (b)=\sigma (b)a}$${\displaystyle b\in A}$${\displaystyle \rho :A\to A}$${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},...,\sigma _{n}}$${\displaystyle \{S_{k}\}_{k=1}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$

${\displaystyle \rho (x)=\sum _{k=1}^{n}S_{k}\sigma _{k}(x)S_{k}^{*},\forall x\in A.}$

この直和において、包含射影は、射影射影は です。 ${\displaystyle S_{k}:\sigma _{k}\to \rho }$${\displaystyle S_{k}^{*}:\rho \to \sigma _{k}}$

クンツ代数はさまざまな方法で一般化されています。その中でも注目すべきものとしては、クンツ-クリーガー代数、グラフ C*-代数、k-グラフ C*-代数があります。

信号処理では、正確な再構成を伴うサブバンドフィルタはクンツ代数の表現を生み出す。同じフィルタはウェーブレット理論の多重解像度解析構成からも得られる。 ^[2]

• 近似有限次元C*代数
• ヒルベルト C* モジュール