グラフC*代数

数学において、グラフ C*-代数は、有向グラフから構築される普遍的な C*-代数です。グラフ C*-代数は、クンツ代数とクンツ-クリーガー代数を直接一般化したものですが、グラフ C*-代数のクラスには、広く研究されている他のいくつかのC*-代数のクラスも含まれることが示されています。その結果、グラフ C*-代数は、以前は個別に研究されていた多くのよく知られた C*-代数のクラスを調査するための共通のフレームワークを提供します。他の利点の中でも、これは、これらすべてのサブクラスに同時に適用され、各サブクラスの特定の結果を特殊なケースとして含む定理を定式化できるコンテキストを提供します。

グラフ C*-代数には多数の例が含まれていますが、驚くほど研究しやすく、一般的な C*-代数よりもはるかに扱いやすい C*-代数のクラスを提供します。グラフは、生成子の関係を指定して関連する C*-代数を決定するだけでなく、C*-代数の特性を記述および視覚化するための便利なツールも提供します。この視覚的な品質により、グラフ C*-代数は「目に見える作用素代数」と呼ばれます。 ^{[1] [2]} グラフ C*-代数のもう 1 つの利点は、その構造の多くと不変量の多くが簡単に計算できることです。グラフからのデータを使用して、関連する C*-代数が特定の特性を持っているかどうかを判断したり、イデアルの格子を記述したり、K 理論的不変量を計算したりできます。

C*-代数学者が使用するグラフの用語は、グラフ理論者が使用する用語とは少し異なります。グラフという用語は通常、頂点の可算集合、辺の可算集合、および各辺の範囲とソースをそれぞれ識別するマップで構成される有向グラフ を意味します。のとき、つまりにソース を持つ辺が 1 つも存在しないとき、頂点はシンクと呼ばれます。が無限のとき、つまり にソース を持つ辺が無限にあるとき、頂点は無限エミッタと呼ばれます。シンクまたは無限エミッタのいずれかである頂点は特異頂点と呼ばれ、特異頂点でない場合は正則頂点と呼ばれます。のソース を持つ辺の数が有限かつゼロでない場合にのみ、頂点は正則であることに注意してください。グラフに無限エミッタが1つも存在しないとき、つまりすべての頂点が正則頂点かシンクのいずれかであるとき、グラフは 行有限と呼ばれます。${\displaystyle E=(E^{0},E^{1},r,s)}$${\displaystyle E^{0}}$${\displaystyle E^{1}}$${\displaystyle r,s:E^{1}\rightarrow E^{0}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle s^{-1}(v)=\emptyset }$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle s^{-1}(v)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$

パスは、すべての に対してとなる辺の有限列です。無限パスは、すべてのに対して となる辺の可算無限列です。サイクルはとなるパスであり、サイクルの出口は、ある に対してとなり、とな​​る辺です。すべての に対して となる場合、サイクルは単純サイクルと呼ばれます。 ${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$${\displaystyle r(e_{i})=s(e_{i+1})}$${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots }$${\displaystyle r(e_{i})=s(e_{i+1})}$${\displaystyle i\geq 1}$${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$${\displaystyle r(e_{n})=s(e_{1})}$${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$${\displaystyle f\in E^{1}}$${\displaystyle s(f)=s(e_{i})}$${\displaystyle f\neq e_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$${\displaystyle s(e_{i})\neq s(e_{1})}$${\displaystyle 2\leq i\leq n}$

以下は、グラフ C* 代数の研究で生じる 2 つの重要なグラフ条件です。

条件 (L): グラフ内のすべてのサイクルには出口があります。

条件 (K):グラフには、ちょうど 1 つの単純閉路上にある頂点はありません。つまり、グラフ内の各頂点が閉路上にないか、2 つ以上の単純閉路上にある場合にのみ、グラフは条件 (K) を満たします。

クンツ・クリーガー族は${\displaystyle E}$、C*-代数の集合であり、 の要素は互いに直交する範囲を持つ部分等長変換であり、 の要素は互いに直交する射影であり、次の 3 つの関係 (クンツ・クリーガー関係と呼ばれる) が満たされます。 ${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle \left\{s_{e}:e\in E^{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{p_{v}:v\in E^{0}\right\}}$

1. (CK1)すべての に対して、${\displaystyle s_{e}^{*}s_{e}=p_{r(e)}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$
2. (CK2)が正則頂点であるときはいつでも、${\displaystyle p_{v}=\sum _{s(e)=v}s_{e}s_{e}^{*}}$${\displaystyle v}$
3. (CK3)すべての に対して。${\displaystyle s_{e}s_{e}^{*}\leq p_{s(e)}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$

に対応するグラフ C*-代数は と表記され、 がC*-代数におけるCuntz-Krieger族であるときはいつでも、すべての に対しての-準同型性が存在するという意味で普遍的であるCuntz-Krieger 族によって生成されるC*-代数として定義されます。任意のグラフに対するの存在は、Kumjian、Pask、および Raeburn によって確立されました。^[3] の一意性( -同型性を除く) は、普遍的性質から直接従います。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \left\{t_{e},q_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$${\displaystyle \phi (s_{e})=t_{e}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle \phi (p_{v})=q_{v}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle *}$

Cuntz-Krieger 関係における「エッジの方向」に関して、競合する慣習があることを認識することが重要です。この記事全体を通して、また上記の関係の記述方法では、グラフ C*-代数に関する独創的な論文で最初に確立された慣習を使用します。^{[3] [4]} Raeburn の CBMS のグラフ代数に関する本で使用されている代替の慣習^{[5] は}、Cuntz-Krieger 関係における範囲マップとソース マップの役割を交換します。この変更の影響は、1 つの慣習でのグラフの C*-代数が、他の慣習を使用したときにエッジが反転されたグラフの C*-代数に等しいことです。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$

Cuntz-Krieger 関係式では、(CK2) は正則頂点にのみ課されます。さらに、 が正則頂点である場合、(CK2) は、(CK3) が で成り立つことを意味します。さらに、がシンクである場合、(CK3) は で空虚に成り立ちます。したがって、 が行有限グラフである場合、関係式 (CK3) は不要であり、互いに直交する範囲と互いに直交する射影を持つ部分等長写像の集合は、(CK1) の関係式が のすべての辺で成り立ち、(CK2) の関係式が のシンクでないすべての頂点で成り立つ場合に限り、Cuntz-Krieger 族になります。Cuntz-Krieger 関係式が行有限グラフに対してより単純な形をとるという事実は、この主題の多くの結果に技術的な影響を及ぼします。行有限の場合に結果が証明しやすくなるだけでなく、行有限グラフの C*-代数を記述するときに定理のステートメントも簡略化されます。歴史的に、グラフ C*-代数に関する初期の研究の多くは、行有限の場合のみで行われていました。無限のエミッターが許可され、一般的なグラフの C*-代数が考慮される現代の研究でも、定理の行有限の場合を別々に、または系として述べるのが一般的です。これは、この状況では結果がより直感的でわかりやすいことが多いためです。 ${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

グラフ C*-代数は多くのグラフに対して計算されています。逆に、C*-代数の特定のクラスに対しては、そのクラスの特定の C*-代数と同型またはMorita 同値であるC*-代数を持つグラフを構築する方法が示されています。 ${\displaystyle *}$

次の表は、いくつかの有向グラフとその C* 代数を示しています。1 つの頂点から別の頂点に描かれラベルが付けられた二重矢印は、最初の頂点から 2 番目の頂点への辺が可算無限個あることを示すという規則を使用します。 ${\displaystyle \infty}$

グラフ C*-代数のクラスには、さまざまな C*-代数のクラスが含まれることが示されている。次の各クラスの C*-代数は、同型性 までグラフ C*-代数として実現できる。 ${\displaystyle *}$

• カンツ代数
• クンツ・クリーガー代数
• 有限次元C*-代数
• 安定したAF代数

以下の各クラスの C*-代数は、森田同値までグラフ C*-代数として実現できます。

• AF代数^[6]
• _{自由 K 1}群を持つキルヒベルク代数

グラフ C*-代数の注目すべき特徴の 1 つは、グラフが の生成元に対する関係を記述するだけでなく、 のさまざまなグラフ理論的特性がのC*-代数的特性と同等であることが示されることです。実際、グラフ C*-代数の研究の多くは、これらの特性間の対応関係を表す語彙の開発と、「グラフが特定のグラフ理論的特性を持つのは、C*-代数が対応するC*-代数的特性を持つ場合のみである」という形式の定理の確立に関係しています。次の表は、よりよく知られている同値関係のいくつかの短いリストを示しています。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$

普遍的性質により、円群 の への自然な作用が次のように生成されます。が普遍的な Cuntz-Krieger族である場合、任意のユニモジュラ複素数 に対して、コレクションはCuntz-Krieger族であり、 の普遍的性質により、すべての に対して、すべての に対しての-準同型が存在することになります。 各 に対して、-準同型はの逆であり、したがって は自己同型です。 これにより、を定義することにより、強連続作用が生成されます。 ゲージ作用は、への標準ゲージ作用と呼ばれることもあります。 標準ゲージ作用は、生成 Cuntz-Krieger族の選択に依存することに注意することが重要です。 標準ゲージ作用は、 の研究における基本的なツールです。 これは定理の記述に登場し、また、証明における技術的な手段として舞台裏で使用されます。 ${\displaystyle \mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle \left\{zs_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \gamma _{z}:C^{*}(E)\to C^{*}(E)}$${\displaystyle \gamma _{z}(s_{e})=zs_{e}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle \gamma _{z}(p_{v})=p_{v}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \gamma _{\overline {z}}}$${\displaystyle \gamma_{z}}$${\displaystyle \gamma_{z}}$${\displaystyle \gamma :\mathbb {T} \to \operatorname {Aut} C^{*}(E)}$${\displaystyle \gamma (z):=\gamma _{z}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$

グラフ C*-代数には、ゲージ不変一意性定理と Cuntz-Krieger 一意性定理という 2 つのよく知られた一意性定理があります。一意性定理は、グラフ C*-代数の研究における基本的な結果であり、理論の基礎となっています。それぞれが、からC*-代数への-準同型が に単射 となるための十分な条件を提供します。したがって、一意性定理を使用して、 Cuntz-Krieger -族によって生成された C*-代数が に同型である場合を判定できます。特に、 がCuntz-Krieger -族によって生成された C*-代数である場合、 の普遍的性質により、全射-準同型が生成され、一意性定理はそれぞれ が単射、つまり同型となる条件を与えます。一意性定理の正式な記述は次のとおりです。 ${\displaystyle *}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$${\displaystyle \phi}$

ゲージ不変一意性定理:をグラフとし、 関連するグラフ C*-代数をとします。 がC*-代数であり、 が次の 2 つの条件を満たす -準同型である場合:${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$${\displaystyle *}$

1. 全ての に対してとなるゲージ作用が存在する。ここで は上の標準ゲージ作用を表し、${\displaystyle \beta :\mathbb {T} \to \operatorname {Aut} A}$${\displaystyle \phi \circ \beta _{z}=\gamma _{z}\circ \phi }$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle C^{*}(E)}$
2. ${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$すべて、${\displaystyle v\in E^{0}}$

then は単射です。 ${\displaystyle \phi}$

クンツ・クリーガーの一意性定理: が条件 (L) を満たすグラフであり、 が関連するグラフ C*-代数であるとします 。がC*-代数であり、 がすべての に対しての-準同型である場合、 は単射です。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$${\displaystyle *}$${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle \phi}$

ゲージ不変一意性定理は、 が非ゼロの射影を持つCuntz-Krieger 族であり、すべての、、に対しておよび となるゲージ作用が存在する場合、と同型の C*-代数を生成することを意味します。 Cuntz-Krieger 一意性定理は、グラフが条件 (L) を満たす場合、ゲージ作用の存在は不要であることを示しています。グラフが条件(L) を満たす場合、非ゼロの射影を持つ任意の Cuntz-Krieger族は と同型の C*-代数を生成します。 ${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta _{z}(p_{v})=p_{v}}$${\displaystyle \beta _{z}(s_{e})=zs_{e}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle \{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$

の理想的な構造は から決定できます。頂点のサブセットは、すべての に対して が成り立つとき、遺伝的であるといいます。が の正則頂点であるときはいつでも となるとき、遺伝的サブセットは飽和であるといいます。 の飽和遺伝サブセットは包含によって部分的に順序付けられ、meetおよび join が を含む最小の飽和遺伝サブセットとして定義される格子を形成します。 ${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H\subseteq E^{0}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle s(e)\in H}$${\displaystyle r(e)\in H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \{r(e):e\in E^{0},s(e)=v\}\subseteq H}$${\displaystyle v\in H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H_{1}\wedge H_{2}:=H_{1}\cap H_{2}}$${\displaystyle H_{1}\vee H_{2}}$${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$

が飽和遺伝部分集合である場合、 はによって生成されるの閉じた両側イデアルとして定義されます。 の閉じた両側イデアルは、すべてのおよびに対して である場合にゲージ不変と呼ばれます。ゲージ不変イデアルは包含によって部分的に順序付けられ、によって生成されるイデアルとして定義されるmeetおよび joinを持つ格子を形成します。任意の飽和遺伝部分集合 に対して、イデアルはゲージ不変です。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle I_{H}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle \{p_{v}:v\in H\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle \gamma _{z}(a)\in C^{*}(E)}$${\displaystyle a\in I}$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle I_{1}\wedge I_{2}:=I_{1}\cap I_{2}}$${\displaystyle I_{1}\vee I_{2}}$${\displaystyle I_{1}\cup I_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle I_{H}}$

次の定理は、ゲージ不変イデアルが飽和遺伝部分集合に対応することを示しています。

定理:を行有限グラフと します。このとき、次のことが成り立ちます。${\displaystyle E}$

1. この関数は、の飽和遺伝部分集合の格子から のゲージ不変イデアルの格子への格子同型であり、逆関数は で与えられます。${\displaystyle H\mapsto I_{H}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle I\mapsto \left\{v\in E^{0}:p_{v}\in I\right\}}$
2. 任意の飽和遺伝部分集合 に対して、商はに -同型です。ここで は、頂点集合と辺集合を持つのサブグラフです。${\displaystyle H}$${\displaystyle C^{*}(E)/I_{H}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle C^{*}(E\setminus H)}$${\displaystyle E\setminus H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (E\setminus H)^{0}:=E^{0}\setminus H}$${\displaystyle (E\setminus H)^{1}:=E^{1}\setminus r^{-1}(H)}$
3. 任意の飽和遺伝部分集合 に対して、イデアルはと同値な森田集合 であり、ここで は頂点集合と辺集合を持つのサブグラフです。${\displaystyle H}$${\displaystyle I_{H}}$${\displaystyle C^{*}(E_{H})}$${\displaystyle E_{H}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{H}^{0}:=H}$${\displaystyle E_{H}^{1}:=s^{-1}(H)}$
4. が条件(K)を満たす場合、 のあらゆるイデアルはゲージ不変であり、 のイデアルはの飽和遺伝部分集合と1対1に対応します。${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$

ドリネン-トムフォード特異点除去 は、単に特異点除去とも呼ばれ、行有限グラフの C*-代数の結果を可算グラフの C*-代数に拡張するために使用される手法です。 がグラフである場合、 の特異点除去はが と森田同値である行有限グラフです。^[7] ドリネンとトムフォードは、任意の可算グラフから特異点除去を構築する方法について説明しました。 が可算グラフである場合、無限個の辺を放出する各頂点に対して、まず として出力辺のリストを選択し、次に の形式の 末尾を付加します。${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle C^{*}(F)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle s^{-1}(v_{0})=\{e_{0},e_{1},e_{2},\ldots \}}$

からまでを描画し、最後にグラフから辺を消去し、各 についてからへの新しい辺を描画することによって、各 を末尾に沿って再配布します。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2},\ldots }$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle r(e_{i})}$${\displaystyle i=0,1,2,\ldots }$

この構築の例をいくつか挙げる。最初の例では、グラフが ${\displaystyle E}$

すると、グラフによって 非特異化が与えられる。${\displaystyle F}$

2番目の例では、1つの頂点と、この頂点で始まり、終わる辺が可算無限個あるグラフを仮定します。この場合、グラフの特異点除去は次のようになります 。${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\infty }}$${\displaystyle F}$

特異点除去はグラフC*-代数の理論における標準的なツールとなっており、^[8] まず行有限の場合（通常ははるかに簡単）で結果を証明し、次に特異点除去を介して結果を可算グラフに拡張することで、結果の証明を簡素化できます。多くの場合、追加の労力はほとんどかかりません。

非特異化の手法は、数え切れないほど多くの辺を生成する頂点を含むグラフでは機能しない可能性があります。ただし、C*-代数の研究では、分離可能な C*-代数に注目するのが一般的です。グラフ C*-代数は、グラフが可算である場合にのみ分離可能であるため、グラフ C*-代数の理論の多くは可算グラフに焦点を当てています。 ${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$

グラフ C* 代数の K 群は、グラフから得られる情報のみで計算できます。 が行有限グラフの場合、の頂点行列は、からまでの辺の数として定義されるエントリを持つ行列です。は行有限であるため、にはエントリがあり、 の各行には、非ゼロのエントリが有限個しかありません。 (実際、これが「行有限」という用語の由来です。) その結果、転置の各列には、非ゼロのエントリが有限個しか含まれず、左乗算によって得られるマップが得られます。同様に、 が単位行列を表す場合、 は左乗算によって得られるマップを提供します。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{0}\!\times \!E^{0}}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle A_{E}(v,w)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$${\displaystyle A_{E}}$ ${\displaystyle A_{E}^{t}}$${\textstyle A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle E^{0}\!\times \!E^{0}}$ ${\textstyle I-A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$

定理:をシンクのない行有限グラフとし、 を の頂点行列とします。は左 乗算により明確に定義された写像を与えます。 さらに、 が単位である場合 (または、同値として有限である 場合)、同型性によりの単位の類が のベクトルの類に変換されます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle I-A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$$$${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))\cong \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})\quad {\text{ and }}\quad K_{1}(C^{*}(E))\cong \ker(I-A_{E}^{t}).}$$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E^{0}}$${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))\cong \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})}$${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))}$${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)}$${\displaystyle \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})}$

は自由群の部分群に同型な ので、は自由群であると結論付けることができます。一般的な場合 (つまり、 にシンクまたは無限エミッターが含まれることが許可されている場合) では、 は自由群のままであることが示されます。これにより、グラフ C* 代数ではない C* 代数の例を示すことができます。自由でない K ₁群を持つ C* 代数はいずれも、グラフ C* 代数と Morita 同値ではありません (したがって同型ではありません)。 ${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$ ${\textstyle \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$

• k-グラフ C*-代数
• リービットパス代数