局所冪零導出

数学において、可換環の微分は 、 のすべての要素が の何らかの累乗によって消滅する場合、局所冪零微分( LND )と呼ばれます。 ${\displaystyle \partial}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \partial}$

局所冪零微分を研究する動機の1つは、ヒルベルトの第14問題に対する反例のいくつかが多項式環上の微分核として得られるという事実から来ている。 ^[1]

特性ゼロの体上で、体上で有限生成された積分領域上の局所冪零微分を与えることは、加法群の作用をアフィン多様体 に与えることと同値である。大まかに言えば、加法群の作用を「十分に」許容するアフィン多様体は、アフィン空間に類似していると考えられる。^[2]${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (k,+)}$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$

を環とします。の微分は任意の に対してライプニッツ則を満たす写像であることを思い出してください。が体 上の代数である場合、さらに-線型であることが求められるため、 となります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \partial \colon \,A\to A}$ ${\displaystyle \partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)}$${\displaystyle a,b\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \partial}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\subseteq \ker \partial }$

任意の に対してとなる正の整数が存在する場合、 その微分は局所冪零微分(LND)と呼ばれます。 ${\displaystyle \partial}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \partial ^{n}(a)=0}$

が次数である場合、任意の に対して、局所冪零微分は同次(次数)であるという。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \partial}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \deg \partial a=\deg a+d}$${\displaystyle a\in A}$

環の局所冪零微分全体の集合は と表記される。この集合には明らかな構造がないことに留意する。つまり、この集合は加算に対して閉じておらず（例えば ならば で あるが、なので）、 の元による乗算に対しても閉じていない（例えばだが）。しかし、ならば^[3]が成り立ち、ならばとなる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle \partial _{1}=y{\tfrac {\partial }{\partial x}}}$${\displaystyle \partial _{2}=x{\tfrac {\partial }{\partial y}}}$${\displaystyle \partial _{1},\partial _{2}\in \operatorname {LND} (k[x,y])}$${\displaystyle (\partial _{1}+\partial _{2})^{2}(x)=x}$${\displaystyle \partial _{1}+\partial _{2}\not \in \operatorname {LND} (k[x,y])}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x}}\in \operatorname {LND} (k[x])}$${\displaystyle x{\tfrac {\partial }{\partial x}}\not \in \operatorname {LND} (k[x])}$${\displaystyle [\partial _{1},\partial _{2}]=0}$${\displaystyle \partial _{1},\partial _{2}\in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle \partial _{1}+\partial _{2}\in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle h\in \ker \partial }$${\displaystyle h\partial \in \operatorname {LND} (A)}$

を特性ゼロの体上の代数とする（例えば ）。すると、上の局所冪零微分と、アフィン多様体 上の加法群の作用との間には、次のように一対一の対応関係がある。 ^[3]上の -作用は 、-代数準同型に対応する。そのようなものは、の局所冪零微分を、ゼロでの微分、すなわち で決定する。ここで はでの評価を表す。逆に、任意の局所冪零微分は、 による準同型を決定する。${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=\mathbb {C} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \rho \colon A\to A[t]}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \partial}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \partial =\epsilon \circ {\tfrac {d}{dt}}\circ \rho ,}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \rho \colon A\to A[t]}$${\displaystyle \rho =\exp(t\partial )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\partial ^{n}.}$

共役作用が共役導出に対応していることは容易に分かる。つまり、そしてならば、そして${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Aut} A}$${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle \alpha \circ \partial \circ \alpha ^{-1}\in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle \exp(t\cdot \alpha \circ \partial \circ \alpha ^{-1})=\alpha \circ \exp(t\partial )\circ \alpha ^{-1}}$

代数は対応する -作用の不変量から構成される。これはにおいて代数的かつ階乗的に閉じている。^[3]ヒルベルトの第 14 問題の特殊なケースは、が有限生成であるかどうか、または の場合に商がアフィンであるかどうかを問うものである。ザリスキの有限性定理^[4]により、の場合に真となる。一方、この問題は の場合であっても極めて非自明である。なぜなら、一般に答えは負であるからである。^[5]このケースは未解決である。^[3]${\displaystyle \ker \partial }$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \ker \partial }$${\displaystyle A=k[X]}$ ${\displaystyle X/\!/\mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \dim X\leq 3}$${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle n=4}$

しかし、実際には が有限生成であることが知られていることがよくあります。特に、マウラー・ヴァイツェンベック定理^[6]によれば、特性 0 の体上の多項式代数の線形LNDの場合がこれに該当します(線形とは、標準的な次数付けに関して次数 0 の同次性を意味します)。 ${\displaystyle \ker \partial }$

が有限生成であると仮定する。 が特性ゼロの体上の有限生成代数である場合、 はvan den Essen のアルゴリズム^[7]を使用して次のように計算できる。局所スライス、つまり元を選択し、 とする。が によって与えられるディクスミア写像であるとする。 ここで、任意の に対して、 となるような最小の整数を選択し、 とし、が によって生成されるの部分環であると帰納的に定義する。 帰納法により、 が有限生成であり、のときである場合、いくつかの に対してであることが証明される。 それぞれの生成元を見つけて であるかどうかを確認することは、グレブナー基底を使用した標準的な計算である。^[7]${\displaystyle \ker \partial }$${\displaystyle A=k[g_{1},\dots ,g_{n}]}$${\displaystyle \ker \partial }$${\displaystyle r\in \ker \partial ^{2}\setminus \ker \partial }$${\displaystyle f=\partial r\in \ker \partial }$${\displaystyle \pi _{r}\colon \,A\to (\ker \partial )_{f}}$${\displaystyle \pi _{r}(a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\partial ^{n}(a){\frac {r^{n}}{f^{n}}}}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle h_{i}\colon =f^{m_{i}}\pi _{r}(g_{i})\in \ker \partial }$${\displaystyle B_{0}=k[h_{1},\dots ,h_{n},f]\subseteq \ker \partial }$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{h\in A:fh\in B_{i-1}\}}$${\displaystyle B_{0}\subset B_{1}\subset \dots \subset \ker \partial }$${\displaystyle B_{i}=B_{i+1}}$${\displaystyle B_{i}=\ker \partial }$${\displaystyle B_{N}=\ker \partial }$${\displaystyle N}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle B_{i}=B_{i+1}}$

がスライス、つまりとなるものを許容すると仮定する。スライス定理^[3]は、 が多項式代数であり であることを主張する。${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle s\in A}$${\displaystyle \partial s=1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\ker \partial )[s]}$${\displaystyle \partial ={\tfrac {d}{ds}}}$

任意の局所スライスに対して、スライス定理を局所化に適用して、 が局所的に標準微分を持つ多項式代数であることを得ることができます。幾何学的に言えば、幾何商がアフィンである場合(たとえば、ザリスキ定理により のとき)、 が上で同型であるようなザリスキ開部分集合を持ちます。ここで、 は2 番目の因子に対して平行移動によって作用します。 ${\displaystyle r\in \ker \partial \setminus \ker \partial ^{2}}$ ${\displaystyle A_{\partial r}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi \colon \,X\to X//\mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \dim X\leq 3}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U\times \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

しかし、一般には が局所的に自明であるということは正しくありません。例えば、^[8]では とします。すると は特異多様体の座標環となり、特異点上の商写像のファイバーは2次元になります。 ${\displaystyle X\to X//\mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \partial =u{\tfrac {\partial }{\partial x}}+v{\tfrac {\partial }{\partial y}}+(1+uy^{2}){\tfrac {\partial }{\partial z}}\in \operatorname {LND} (\mathbb {C} [x,y,z,u,v])}$${\displaystyle \ker \partial }$

のとき、は曲線である。-作用を記述するには、幾何学 を理解することが重要だ。さらに、および が滑らかで収縮可能であると仮定し（その場合も滑らかで収縮可能である^[9]）、 が最小となることを選択する（包含に関して）。次に、カリマンは^[10]の各既約成分が多項式曲線である、つまりその正規化がに同型であることを証明した。フロイデンブルグの (2,5)-導出（下記参照）によって与えられる作用 の曲線は の 2 本の直線の和集合であるため、は既約ではない可能性がある。しかし、 は常に収縮可能であると推測される。^[11]${\displaystyle \dim X=3}$${\displaystyle \Gamma =X\setminus U}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle k=\mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

多項式代数の標準的な座標微分は局所的に冪零です。対応する-作用は、に対する変換です。 ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle t\cdot x_{i}=x_{i}+t}$${\displaystyle t\cdot x_{j}=x_{j}}$${\displaystyle j\neq i}$

、とし、 をヤコビ微分とします。このとき、および となります(下記参照)。つまり、 は変数を消滅させません。対応する- 作用の不動点集合はに等しくなります。 ${\displaystyle f_{1}=x_{1}x_{3}-x_{2}^{2}}$${\displaystyle f_{2}=x_{3}f_{1}^{2}+2x_{1}^{2}x_{2}f_{1}+x^{5}}$${\displaystyle \partial }$${\textstyle \partial (f_{3})=\det \left[{\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{i,j=1,2,3}}$${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (k[x_{1},x_{2},x_{3}])}$${\displaystyle \operatorname {rank} \partial =3}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \{x_{1}=x_{2}=0\}}$

を考える。その座標環の局所冪零微分は、上三角行列の右乗法によるへの自然な作用に対応する。この作用は上の非自明な -バンドルを与える。しかし、 の場合、このバンドルは滑らかなカテゴリ^{[13]では自明である。}${\displaystyle Sl_{2}(k)=\{ad-bc=1\}\subseteq k^{4}}$${\displaystyle a{\tfrac {\partial }{\partial b}}+c{\tfrac {\partial }{\partial d}}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle Sl_{2}(k)}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

を特性ゼロの体とし（神林の定理を用いると、ほとんどの結果を[14]の場合に帰着できる）^、を多項式代数とする。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k=\mathbb {C} }$${\displaystyle A=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

を の任意の変数系、つまり とします。 の微分は、およびについて である場合に、この変数系に関して三角的であるといいます。微分は、三角微分と共役である場合、または同等に、ある変数系に関して三角的である場合に、三角可能であるとされます。すべての三角微分は、局所的に冪零です。上記のレンチュラーの定理により、 についてはその逆が成り立ちますが、 については成り立ちません。 ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=k[f_{1},\dots ,f_{n}]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \partial f_{1}\in k}$${\displaystyle \partial f_{i}\in k[f_{1},\dots ,f_{i-1}]}$${\displaystyle i=2,\dots ,n}$${\displaystyle \leq 2}$${\displaystyle n\geq 3}$

バスの例

によって与えられるの導出は三角形化可能ではない。^[22]確かに、対応する -作用の不動点集合は二次円錐 であるが、ポポフの結果によれば、^[23]三角形化可能な -作用の不動点集合はあるアフィン多様体 に対してと同型であり、したがって孤立した特異点を持つことはできない。 ${\displaystyle k[x_{1},x_{2},x_{3}]}$${\displaystyle x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+2x_{2}x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{3}}}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle x_{2}x_{3}=x_{2}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle Z\times \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle Z}$

座標環のすべての局所冪零微分核の交差、または同等に、すべての- 作用の不変量の環は、「マカール・リマノフ不変量」と呼ばれ、アフィン多様体の重要な代数的不変量である。たとえば、これはアフィン空間では自明であるが、に微分同相であるコラス・ラッセル三次三次多様体 では自明ではない。^[25]${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

• A Nowicki、多項式導出に関するヒルベルトの第14の問題