ねじ軸

ねじ軸（らせん軸またはねじれ軸）とは、回転軸であると同時に物体の並進運動が起こる線である。シャルルの定理によれば、3次元空間におけるすべてのユークリッド変位にはねじ軸が存在し、変位はこのねじ軸を中心とした回転と、このねじ軸に沿った滑りに分解できる。^{[ 1 ] [ 2 ]}

プリュッカー座標は、空間内のねじ軸の位置を特定するために使用され、3次元ベクトルのペアで構成されます。最初のベクトルは軸の方向を示し、2番目のベクトルはその位置を示します。最初のベクトルがゼロの特殊なケースは、2番目のベクトルの方向への純粋な並進として解釈されます。ねじ軸は、ねじ代数（ねじ理論とも呼ばれる）の各ベクトルのペアに関連付けられています。^{[ 3 ]}

物体の空間的な動きは、連続的な変位の集合によって表すことができます。これらの変位はそれぞれねじ軸を持つため、その動きにはねじ面と呼ばれる線織面が関連付けられます。この線織面は、物体の動きの瞬間的なねじ軸によって描かれる軸線とは異なります。瞬間ねじ軸、または瞬間螺旋軸（IHA）とは、運動する物体内のあらゆる点の速度によって生成される螺旋状の場の軸のことである。

空間変位が平面変位に特殊化されると、ねじ軸は変位極となり、瞬間ねじ軸は速度極、または瞬間回転中心（瞬間中心とも呼ばれる）となる。速度極にはセントロという用語も使用され、平面運動におけるこれらの点の軌跡はセントロードと呼ばれる。^{[ 4 ]}

空間変位が空間内の線を中心とした回転と線に沿った並進に分解できるという証明は、1830年にミシェル・シャールに帰せられている。 ^{[ 5 ]}最近、ジュリオ・モッツィの研究が1763年に同様の結果を示したことが確認されている。^{[ 6 ] [ 7 ]}

ねじ変位（ねじ操作または回転並進とも呼ばれる）は、軸（ねじ軸と呼ばれる）を中心とした角度φの回転と、この軸に沿った距離dの並進の合成です。正の回転方向は通常、右手の法則によって並進方向に対応する方向を意味します。つまり、回転が時計回りの場合、変位は観察者から遠ざかる方向になります。φ = 180°の場合を除き、ねじ変位とその鏡像を区別する必要があります。回転とは異なり、右ねじ操作と左ねじ操作では異なるグループが生成されます。

軸を中心とした回転と、その軸に垂直な方向への平行移動の組み合わせは、平行軸を中心とした回転です。しかし、軸に沿った非ゼロの平行移動ベクトルを持つねじ操作は、このように簡略化することはできません。したがって、回転と任意の平行移動を組み合わせた効果は、一般的にはねじ操作であり、純粋な平行移動、純粋な回転、および恒等変換は特殊な場合です。これらを合わせると、3D空間におけるすべての直接等長変換になります。

結晶学において、らせん軸対称性とは、軸を中心とした回転と、その軸に平行な並進運動の組み合わせであり、結晶構造は変化しません。ある正の整数 n に対して φ = 360° / n の場合、らせん軸対称性とは、並進ベクトルがらせん変位のn倍となる並進対称性を意味します。

空間群に適用できるのは、軸を中心とした360 ° / nの回転と、並進対称距離の倍数でnで割った値の軸に沿った並進の組み合わせです。この倍数は添え字で示されます。したがって、6 ₃は 60° の回転と格子ベクトルの半分の並進の組み合わせであり、この軸に関する 3 回回転対称性も存在することを意味します。可能性としては、2 ₁、3 ₁、4 ₁、4 ₂、6 ₁、6 ₂、および 6 ₃と、鏡像異性体である3 ₂、4 ₃、6 ₄、および 6 ₅があります。^{[ 8 ]}

ねじ軸n _mを考えると、gがnとmの最大公約数である場合、 g回回転軸も存在します。n / g回のねじ操作を実行すると、変位は m / g になります。これは整数なので、格子内の同等の点に移動しながら、360° / gだけ回転したことを意味します。したがって、4 _2、6 2、6 4_は2 回回転軸を形成し、6 _3は3 回回転軸を形成します。

非離散的なねじ軸等長変換群は、ある軸を中心とした回転と、その軸に沿った比例的な並進のすべての組み合わせを含みます（ライフリングでは、比例定数はねじれ率と呼ばれます）。一般に、これは同じ軸を中心としたk回の回転等長変換（ k ≥ 1）と組み合わされます。等長変換による点の像の集合はk回らせんです。さらに、垂直に交差する軸を中心とした 2 回の回転があり、そのような軸のk回らせんが存在する場合もあります。

ねじ軸は、空間変位D = ([A], d )のデュアル四元数表現に現れる。デュアル四元数は、ねじ軸を定義するデュアルベクトルS = ( S , V )と、この軸を中心とした回転と、この軸に沿ったスライドであるデュアル角度( φ , d )から構築され、これにより変位 D が定義される。

${\displaystyle {\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\varphi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\varphi }}{2}}{\mathsf {S}}.}$

ベクトル四元数で表される点qの空間変位は、マッピングとして四元数を使用して定義できます。

${\displaystyle \mathbf {q} \mapsto S\mathbf {q} S^{-1}+\mathbf {d} }$

ここで、dは並進ベクトル四元数であり、Sは単位四元数（バーソルとも呼ばれる）であり、次のように表される。

${\displaystyle S=\cos \theta +\mathbf {S} \sin \theta ,\ \ \mathbf {S} ^{2}=-1,}$

これは、軸Sを中心とした2θの回転を定義する。

適切なユークリッド群E ⁺ (3) では、回転を平行移動と共役させて平行回転軸に移動させることができます。四元数ホモグラフィを用いたこのような共役により、シャールの定理に従って、与えられた空間変位をねじ変位として表現するための適切なねじ軸が生成されます。

剛体の瞬間的な運動は、軸（ねじ軸）を中心とした回転と、その軸に沿った並進運動の組み合わせである。このねじ運動は、並進運動の速度ベクトルと、同じ方向または反対方向の角速度ベクトルによって特徴付けられる。これらの2つのベクトルが一定で、物体の主軸のいずれかに沿っている場合、この運動（移動と回転）には外力は必要ない。例えば、重力と空気抵抗を無視すれば、これはライフル銃から発射された弾丸の運動である。

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