円錐螺旋

数学において、円錐螺旋（コニカルらせん、英: conical spiral ^）[1]は、直円錐上の空間曲線であり、その床投影は平面螺旋です。床投影が対数螺旋の場合は、コンコスパイラル（conchから）と呼ばれます。

-平面におけるパラメトリック表現による螺旋 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

3番目の座標を追加して、空間曲線が次の式で円錐上に位置するようにすることができます 。 ${\displaystyle z(\varphi )}$${\displaystyle \;m^{2}(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}$

このような曲線は円錐螺旋と呼ばれます。^[2]これらはパッポスにも知られていました。

パラメータは、-平面に対する円錐の線の傾斜です。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

円錐スパイラルは、フロアプランのスパイラルを円錐に正射影したものと見ることができます。

1)アルキメデスの螺旋 から始めると円錐螺旋になります（図を参照）${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ 。 }$

この場合、円錐螺旋は円錐と螺旋の交差曲線として見ることができます。

2) 2 番目の図は、フェルマーの螺旋 を平面図として表した円錐螺旋です。${\displaystyle \;r(\varphi )=\pm a{\sqrt {\varphi }}\;}$

3) 3 番目の例は、対数螺旋の 平面図です。その特徴は、一定の傾斜があることです(下記参照)。${\displaystyle \;r(\varphi )=ae^{k\varphi }\;}$

略語を導入すると、説明は次のようになります。${\displaystyle K=e^{k}}$${\displaystyle r(\varphi )=aK^{\varphi }}$

4)例 4 は双曲螺旋 に基づいています 。このような螺旋には漸近線(黒線) があり、これは双曲線(紫色)の平面図です。円錐螺旋は の双曲線に近づきます。${\displaystyle \;r(\varphi )=a/\varphi \;}$${\displaystyle \varphi \to 0}$

以下の調査では、それぞれ と の形の円錐螺旋を扱います。 ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$

円錐螺旋の点における傾きは、この点の接線の-平面に対する傾きです。対応する角度がその傾斜角です(図を参照)。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {z'}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}}}}={\frac {mr'}{\sqrt {(r')^{2}+r^{2}}}}\ .}$

スパイラルは次のようになります。 ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$

• ${\displaystyle \tan \beta ={\frac {mn}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}}\ .}$

アルキメデスの螺旋の場合、となり、その傾きは${\displaystyle n=1}$${\displaystyle \\tan \beta ={\tfrac {m}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\ .}$

• 対数螺旋の場合、傾きは( )です。${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$${\displaystyle \ \tan \beta ={\tfrac {mk}{\sqrt {1+k^{2}}}}\ }$${\displaystyle \color {red}{\text{ 定数!}}}$

この特性のため、螺旋は等角円錐螺旋と呼ばれます。

円錐螺旋の弧の長さは次のように求められる。

${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {(1+m^{2})(r')^{2}+r^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

アルキメデスの螺旋の場合、平面の場合と同様に、 積分表を使用して積分を解くことができます。

${\displaystyle L={\frac {a}{2}}\left[\varphi {\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}+(1+m^{2})\ln \left(\varphi +{\sqrt {(1+m^{2})+\varphi ^{2}}}\right)\right]_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\ .}$

対数螺旋の場合、積分は簡単に解くことができます。

${\displaystyle L={\frac {\sqrt {(1+m^{2})k^{2}+1}}{k}}(r{\big (}\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

他の場合には楕円積分が発生します。

円錐螺旋^[3]の発達においては、曲線の点から円錐の頂点までの距離と、その角度と発達の対応する角度との関係を 決定する必要がある。 ${\displaystyle \rho (\varphi )}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (0,0,z_{0})}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-z_{0})^{2}}}={\sqrt {1+m^{2}}}\;r\ ,}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+m^{2}}}\psi \ .}$

したがって、展開された円錐螺旋の極表現は次のようになります。

• ${\displaystyle \rho (\psi )={\sqrt {1+m^{2}}}\;r({\sqrt {1+m^{2}}}\psi )}$

展開曲線の極座標表示 の場合、${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}^{\,n+1}\psi ^{n},}$

同じタイプの螺旋を表します。

• 円錐螺旋の平面図がアルキメデスの螺旋である場合、その展開図もアルキメデスの螺旋です。

双曲螺旋（ ）の場合、 展開図は平面図の螺旋と一致します。${\displaystyle n=-1}$

対数螺旋の場合、 展開は対数螺旋になります。 ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$

${\displaystyle \rho =a{\sqrt {1+m^{2}}}\;e^{k{\sqrt {1+m^{2}}}\psi }\ .}$

円錐螺旋の接線と-平面 (円錐の頂点を通る平面)との交点の集合を接線トレースと呼びます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

円錐螺旋の場合

${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,mr)}$

接線ベクトルは

${\displaystyle (r'\cos \varphi -r\sin \varphi ,r'\sin \varphi +r\cos \varphi ,mr')^{T}}$

そして接線:

${\displaystyle x(t)=r\cos \varphi +t(r'\cos \varphi -r\sin \varphi )\ ,}$

${\displaystyle y(t)=r\sin \varphi +t(r'\sin \varphi +r\cos \varphi )\ ,}$

${\displaystyle z(t)=mr+tmr'\ .}$

-平面との交点はパラメータを持ち、交点は ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t=-r/r'}$

• ${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{r'}}\sin \varphi ,-{\frac {r^{2}}{r'}}\cos \varphi ,0\right)\ .}$

${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$となり、接線は螺旋になります。 の場合(双曲螺旋)、接線は半径 の円に縮退します(図を参照)。 の場合、となり、接線は対数螺旋になります。対数螺旋の自己相似性により、これはフロアプランと一致します。 ${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {a}{n}}\varphi ^{n+1}\ }$${\displaystyle n=-1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$${\displaystyle \ {\tfrac {r^{2}}{r'}}={\tfrac {r}{k}}\ }$

• ジャムニッツァー-ギャラリー: 3Dスパイラル。Wayback Machineで 2021-07-02 にアーカイブされました。
• Weisstein、Eric W.「円錐スパイラル」。MathWorld。