量子ハイゼンベルクモデル

ヴェルナー・ハイゼンベルクによって開発された量子ハイゼンベルクモデルは、磁気系の臨界点や相転移の研究に用いられる統計力学モデルであり、磁気系のスピンは量子力学的に扱われる。これは、格子の各サイトにスピンが存在する典型的なイジングモデルと関連している。$\displaystyle \sigma _{i}\in \{\pm 1\}}$は、磁気モーメントが上向きまたは下向きである微視的な磁気双極子を表します。磁気双極子モーメント間の結合とは別に、多極交換相互作用と呼ばれるハイゼンベルクモデルの多極バージョンもあります。

量子力学的な理由（交換相互作用または磁性§磁性 の量子力学的起源を参照）により、2つの双極子間の支配的な結合により、最近接双極子が整列したときにエネルギーが最小になる可能性がある。この仮定（磁気相互作用は隣接する双極子間でのみ発生する）の下で、1次元周期格子上では、ハミルトニアンは次の形式で記述できる。

${\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}}$、

どこ${\displaystyle J}$は結合定数であり、双極子は周期境界条件を満たす古典的なベクトル（または「スピン」）σ _jで表されます。$\displaystyle \sigma _{N+1}=\sigma _{1}}$ハイゼンベルクモデルは、スピンを量子力学的に扱い、スピンをテンソル積に作用する量子演算子に置き換えることで、より現実的なモデルとなっている。${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}}$寸法$2N$それを定義するには、パウリのスピン1/2行列を思い出してください。

${\displaystyle \sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$、

${\displaystyle \sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$、

${\displaystyle \sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$、

そして${\displaystyle 1\leq j\leq N}$そして${\displaystyle a\in \{x,y,z\}}$示す$\displaystyle \sigma _{j}^{a}=I^{\otimes j-1}\otimes \sigma ^{a}\otimes I^{\otimes Nj}}$、 どこ${\displaystyle I}$は$2×2$単位行列。実数値の結合定数の選択が与えられた場合${\displaystyle J_{x},J_{y},}$そして${\displaystyle J_{z}}$ハミルトニアンは次のように与えられる。

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}(J_{x}\sigma _{j}^{x}\sigma _{j+1}^{x}+J_{y}\sigma _{j}^{y}\sigma _{j+1}^{y}+J_{z}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}+h\sigma _{j}^{z})}$

どこで${\displaystyle h}$右側には周期境界条件を持つ外部磁場が示されています。目的はハミルトニアンのスペクトルを決定することであり、そこから分配関数を計算し、系の熱力学を研究することができます。

モデルの名前は、以下の値に応じて付けられるのが一般的です。${\displaystyle J_{x}}$、${\displaystyle J_{y}}$そして${\displaystyle J_{z}}$： もし${\displaystyle J_{x}\neq J_{y}\neq J_{z}}$このモデルはハイゼンベルクXYZモデルと呼ばれ、${\displaystyle J=J_{x}=J_{y}\neq J_{z}=\Delta }$これはハイゼンベルクXXZモデルです。${\displaystyle J_{x}=J_{y}=J_{z}=J}$これはハイゼンベルク XXX モデルです。1 次元のスピン 1/2 ハイゼンベルク モデルは、ベーテ仮説を使用して厳密に解くことができます。^{[ 1 ]}代数的定式化では、これらはそれぞれ XXZ および XYZ の場合の特定の量子アフィン代数および楕円量子群に関連しています。 ^{[ 2 ]}他のアプローチでは、ベーテ仮説を使用せずにこれを行います。^{[ 3 ]}

ベーテ仮説は、量子可積分系という分野を創始した先駆的な手法とみなされている。ハンス・ベーテがこの分野で開発した数学的手法は、後に他の多くの低次元量子多体モデルの解法に広く応用された。凝縮系物理学の研究者にとって、彼の論文は「近似理論」（平均場理論など）から「厳密解」への移行を示す画期的な出来事であった。

この画期的な発見は、ノーベル賞受賞者の楊振寧氏とその弟である楊振平氏に、一次元ハイゼンベルク模型とその拡張であるXXZ模型に関する重要な厳密な研究を行うきっかけを与えた。彼らの研究成果は、アメリカ物理学会の機関誌である『フィジカル・レビュー』に掲載された。1966年に発表されたこの一連の非常に影響力のある論文は、総称して楊兄弟の量子スピン鎖に関する古典的研究として知られている。

• 最初の論文：ベテ仮説の妥当性の証明。^{[ 6 ]}この研究は、有限長異方性ハイゼンベルク鎖（XXZモデル）の場合、ベテの仮説から得られる波動関数がハミルトニアンの固有状態であることを厳密に実証した。これは、ベテの元の研究の重要な数学的完成と形式化を提供した。
• 2番目の論文：基底状態エネルギー特性。^{[ 7 ]}無限鎖の熱力学的極限において、基底状態エネルギーを計算し、その解析的特性を分析した。
• 3番目の論文：応用と励起状態。^{[ 8 ]}この研究では、磁化曲線や磁化率など、モデルの物理的応用について検討しました。

リープ・シュルツ・マティス（LSM）定理^{[ 12 ]}は、半整数スピンを持つ一次元反強磁性ハイゼンベルクモデルにおいて、並進対称性とスピン回転対称性の下で、励起状態が存在しなければならないことを示している。この励起状態は基底状態と同じ磁化を持つが、結晶運動量は異なる。${\displaystyle \pi }$熱力学的極限では、基底状態エネルギーと縮退します。言い換えれば、半整数スピンを持つ一次元ハイゼンベルクモデルのエネルギースペクトルはギャップレスです。LSM定理は後に日本の物理学者押川正樹によって一般化され、元の一次元半整数スピン鎖からより高次元のシステムへの適用範囲が拡張されました^{[ 13 ]}。

LSM定理によれば、半整数スピンを持つ一次元反強磁性ハイゼンベルクモデルの基底状態は（${\displaystyle S=1/2,3/2,5/2}$、...）にはスピンギャップはありません。しかし、整数スピン（${\displaystyle S=1,2,3}$,...) は LSM 定理の枠組みには含まれず、したがって根本的に異なる特性を示す可能性がある。ダンカン・ホールデンは、整数スピン反強磁性ハイゼンベルク鎖の基底状態にはスピンギャップが存在すると提唱した。これは後にホールデン予想として知られるようになり、ギャップ自体はホールデンギャップと呼ばれている。

ホールデン予想は、整数スピン鎖を持つ物質のスピンギャップの数値計算と実験測定の両方を通じて、広く検証されてきた。このことは、物理学者たちにギャップの起源とトポロジカル特性との関係を研究するよう促し、物質におけるトポロジカル相とトポロジカル相転移の理解における画期的な出来事となった。ダンカン・ホールデンは、「物質のトポロジカル相転移とトポロジカル相に関する理論的発見」により、J・マイケル・コスターリッツ、デイビッド・サウレスとともに2016年のノーベル物理学賞を共同受賞した。

• もう1つの重要な対象はエンタングルメントエントロピーです。これを記述する1つの方法は、固有の基底状態をブロック（いくつかの連続するスピン）と環境（基底状態の残りの部分）に分割することです。ブロックのエントロピーはエンタングルメントエントロピーと考えることができます。臨界領域（熱力学的限界）のゼロ温度では、ブロックのサイズに対して対数的にスケーリングします。温度が上昇すると、対数依存性は線形関数に変わります。^{[ 14 ]}高温では、線形依存性は熱力学第二法則から導かれます。
• ハイゼンベルクモデルは、密度行列の繰り込みを適用するための重要かつ扱いやすい理論的例を提供する。
• 6頂点モデルは、ハイゼンベルクスピン鎖に対する代数的ベーテ仮説を用いて解くことができる（Baxter 1982 ）。 
• 強い反発相互作用の極限における半充填ハバードモデルは、ハイゼンベルクモデルにマッピングできる。${\displaystyle J<0}$超交換相互作用の強さを表している。
• 格子間隔をゼロに近づけたときのモデルの極限（理論に現れる変数に対してさまざまな極限が取られる）は、非線形シュレディンガー方程式のような非相対論的および相対論的な可積分場理論を記述します。${\displaystyle S^{2}}$シグマモデル、${\displaystyle S^{3}}$シグマモデル（これも主要なカイラルモデルである）とサイン・ゴルドンモデル。
• 平面または大きな空間における特定の相関関数を計算する${\displaystyle N}$N = 4 超対称ヤン・ミルズ理論の極限^{[ 15 ]}

可積分性は、異なるモデルに対して大きな対称性代数が存在することによって支えられている。XXXの場合、これはヤンギアンである。${\displaystyle Y({\mathfrak {sl}}_{2})}$XXZ の場合はこれが量子群である${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{q}(2)}$、アフィンリー代数のq 変形${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {sl}}}_{2}}$ファデエフ（1996 ）の注釈で説明されているように。 

これらは伝達行列を通して現れ、ベテベクトルが状態から生成されるという条件${\displaystyle \Omega }$満足${\displaystyle C(\lambda )\cdot \Omega =0}$これは、解が拡張対称代数の最高ウェイト表現の一部であることに対応する。

• 古典的なハイゼンベルクモデル
• ハイゼンベルクモデルのDMRG
• 量子回転子モデル
• tJモデル
• J1 J2モデル
• マジュムダル・ゴッシュモデル
• AKLTモデル
• 多極交換相互作用

• RJ・バクスター著『統計力学における厳密に解かれたモデル』、ロンドン、アカデミック・プレス、1982年
• ハイゼンベルク、W. (1928 年 9 月 1 日)。 「Zur Theorie des Ferromagnetismus」[強磁性の理論について]。Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。49 (9): 619–636。Bibcode : 1928ZPhy...49..619H。土井：10.1007/BF01328601。S2CID 122524239。 
• ベーテ、H. (1931 年 3 月 1 日)。 「Zur Theorie der Metalle」[金属の理論について]。Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。71 (3): 205–226。Bibcode : 1931ZPhy...71..205B。土井：10.1007/BF01341708。S2CID 124225487。