交互シリーズ

数学において、交代級数は正負の符号が交互に現れる項の無限級数です。大文字シグマ表記では_、これはまたはすべてのnに対して n > 0 として表現されます 。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$$

他の級数と同様に、交代級数は、級数の部分和のシーケンスが極限 に収束する場合に限り、収束級数です。交代級数テストは、項a _nが単調に0 に収束する場合に交代級数が収束することを保証しますが、この条件は収束に必須ではありません。

等比級数⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⋯を足すと⁠ 1 / 3 ⁠になります。

交代調和級数は有限和を持ちますが、調和級数は有限和を持ちません。級数 は に収束しますが、絶対収束しません。 $${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$

メルカトル級数は、自然対数の解析的冪級数表現を提供し、次のように表される。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=\ln(1+x),\;\;\;|x|\leq 1,x\neq -1.}$$

三角法で使用され、初等代数学で直角三角形の辺の比として導入された関数 sin と cosine は、微積分学で交代級数として定義することもできます。 これらの級数から 交代因子(–1) ^{n を}除去すると、 微積分学や統計学で使用される双曲関数sinh と cosh が得られます。 $${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$$${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.}$$

整数または正の指数αに対して、第一種ベッセル関数は交代級数で定義される 。ここでΓ( z )はガンマ関数である。 $${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$$

sが複素数の場合、ディリクレ イータ関数は、解析的数論 で使用される交代級数として形成されます 。 $${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$$

「ライプニッツ テスト」または交代級数テストとして知られる定理は、項a _{n が}単調に0 に収束する場合、交代級数は収束することを述べています。

証明: シーケンスがゼロに収束し、単調減少していると仮定します。 が奇数で の場合、次の計算によって 推定値が得られます。${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}}$$

は単調減少なので、項は負です。したがって、最終的な不等式は次のようになります。同様に、 であることが示されます。は に収束するので、部分和はコーシー数列を形成し(つまり、数列はコーシー基準を満たします)、したがって収束します。 の場合も同様の議論が成り立ちます。 ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}$${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$${\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}$${\displaystyle a_{m}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S_{m}}$${\displaystyle m}$

上記の推定値は に依存しません。したがって、が単調に 0 に近づく場合、推定値は部分和によって無限和を近似するための 誤差境界を提供します。これは、この推定値が常に、誤差が級数の次の項の係数よりも小さくなる最初の要素を見つけるということを意味するものではありません。確かに、 を取って、誤差が最大で 0.00005 になる項を見つけようとすると、上記の不等式から までの部分和で十分であることが示されますが、実際には必要な項の 2 倍になります。確かに、最初の 9999 個の要素を合計した後の誤差は 0.0000500025 なので、 までの部分和を取れば十分です。この級数には、 で新しい級数を構築すると、ライプニッツ テストが適用される交代級数も得られるという特性があり、そのためこの単純な誤差境界は最適ではありません。これは1962年に発見されたカラブレゼ境界^[1]によって改善され、この特性によりライプニッツ誤差境界よりも2倍少ない結果が許容されるという。実際、この特性が2回以上適用される級数に対しても最適ではない。これはジョンソンバウ誤差境界^[2]によって説明される。この特性を無限回適用できる場合、オイラー変換が適用される。^[3]${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n}}$$${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.}$$${\displaystyle 1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2}$${\displaystyle a_{20000}}$${\displaystyle a_{10000}}$${\displaystyle a_{n}-a_{n+1}}$

級数が収束する場合、その級数は絶対収束します。 ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$

定理: 絶対収束する級数は収束する。

証明:が絶対収束すると仮定します。すると、は収束し、も収束します。 なので、この級数は比較テストにより収束します。したがって、この級数は2 つの収束する級数の差として収束します。 ${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum |a_{n}|}$${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$

級数が収束するが絶対収束しない場合は、 その級数は条件付き収束であるといいます。

たとえば、調和級数は 発散しますが、交代バージョンは 交代級数テストによって収束します。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},}$$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},}$$

どのような級数でも、和の順序を入れ替えることで新しい級数を作ることができます。級数が無条件収束するとは、どのような入れ替えでも元の級数と同じ収束を示す級数を作ることです。絶対収束する級数は無条件収束します。しかし、リーマン級数定理によれば、条件収束する級数は任意の収束を作り出すように入れ替えることができます。^[4] アグニューの定理は、すべての収束級数に対して収束を保つ入れ替えについて説明しています。一般原理は、無限和の加算は絶対収束する級数に対してのみ可換であるということです。

たとえば、1=0 という誤った証明は、無限和の結合法則の不成立を悪用しています。

別の例として、メルカトル級数 $${\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}$$

しかし、この級数は絶対収束しないので、項を並べ替えて次の級数を得ることができます。 ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}$$

実際には、交代級数の数値和は、さまざまな級数加速技術のいずれかを使用して高速化できます。最も古い技術の 1 つはオイラー和ですが、さらに迅速な収束を実現できる最新の技術も数多くあります。

• グランディシリーズ
• ネルルンド・ライス積分

• Earl D. Rainville (1967) Infinite Series、pp 73-6、Macmillan Publishers。
• Weisstein、Eric W.「交代級数」。MathWorld。